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【同步课件】高中数学人教A版选修2-1课件:1-1-1 命题:3-1-3 空间向量的数量积运算


第三章 空间向量与立体几何 3.1 3.1.3 空间向量及其运算 空间向量的数量积运算 目标了然于胸,让讲台见证您的高瞻远瞩 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法,掌握两个 向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律. 2.掌握两个向量的数量积的主要用途,会用它解 决立体几何中一些简单的问题. 新 知 视 界 1.空间向量的夹角 (1)夹角的定义 已知两个非零

向量 a、 b,在空间任取一点 O, → → 作OA= a,OB= b,则∠ AOB 叫做向量 a、b 的夹角, 记为〈 a, b〉 . (2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角 θ 的取值范围是 0≤ θ≤ π.特别是,当 θ= 0 时,两向量同向共线;当 θ= π 时,两向量反向共线,所以若 a∥ b,则〈 a,b〉 π = 0 或 π;当 θ= 时,两向量垂直,记为 a⊥ b. 2 思考感悟 〈 a,b〉与〈 b,a〉的关系是怎样的?〈a,b〉 与〈- a, b〉 、 〈 a,- b〉的关系呢? 提示: 〈 a,b〉=〈b,a〉 , 〈 a,- b〉=〈- a, b〉= π-〈 a, b〉 . 2.两个向量的数量积的定义 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把 |a||b |cos θ 叫做向量 a 与 b的数量积,记为 a· b, 即 a ·b = |a||b|cosθ. 规定,零向量与任何向量的数量积为0,即0·a=0. 3.两个向量数量积的性质 若 a 、 b 是非零向量, e 是与 b 方向相同的单位向量, θ是a与e的夹角,则 ①e·a=a·e=|a|cosθ. ②a⊥b?a·b=0. ③若a与b同向,则a·b=|a|·|b|; 若a与b反向,则a·b=-|a|·|b|. 特别地:a· a=|a|2 或|a|= a· a. a· b ④若 θ 为 a、b 的夹角,则 cosθ= . |a||b | ⑤|a· b|≤|a||b|. 4.两个向量数量积的运算律 空间向量的数量积满足如下的运算律: ①(结合律)(λa)· b=λ(a· b); ②(交换律)a· b=b· a; ③(分配律)a· (b+c)=a· b+a· c. 思考感悟 类比平面向量, 你能说出 a· b 的几何意义吗? 提示:数量积 a· b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的 方向上的投影 |b|· cosθ 的乘积. 尝 试 应 用 1 .下列各命题中,不正确 的命题的个数 ... 为( ) ① a· a= |a| ② m(λa)· b=(mλ)a· b(m、 λ∈ R) ③ a· (b+ c)= (b+ c)· a ④ a2b= b2a A.4 B.3 C.2 D.1 解析:①②③正确,④不正确. 答案:D 2.已知 PA⊥平面 ABC,∠ ABC= 120° , PA= AB=BC= 6,则 PC 等于 ( A. 6 2 B. 6 C. 12 D. 144 图1 ) → → → → 解析:∵PC=PA+AB +BC , → → → → → → ∴ PC 2 = PA 2 + AB 2 + BC 2 + 2AB · BC = 36+ 36+ 36+ 2× 36cos60° = 144. ∴ |PC|= 12. 答案:C 3.已知向量a、b、c两两之间的夹角都为60°, 其模都为1,则|a-b+2c|等于________. 解析:(a-b+2c)2=a2+b2+4c2-2a· b+4a· c- 4b

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