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河北省唐山市2015届高三上学期期末考试 数学理 Word版含答案


河北省唐山市 2014-2015 学年度高三年级期末考试

数学(理)试题
说明: 一、本试卷分为第 I 卷和第 II 卷.第 I 卷为选择题;第 II 卷为非选择题,分为必考和选考 两部 分. 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题. 三、做选择题时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需改 动,

用 橡皮将原选涂答案擦干净后,再选涂其他答案. 四、考试结束后,将本试卷与原答题卡一并交回,

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项符合题目要求. (1)函数 y ?

x(3 ? x) ? x ?1 的定义域为

(A)[0,3] (B)[1,3] (C)[1,+∞) (D)[3,+∞) (2)某品牌空调在元旦期间举行促销活动,下面的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况 (单位:台) ,则销售量的中位数是 (A) 13 (B) 14 (C) 15 (D) 16

(3)"k<9’’是“方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线”的 25 ? k k ? 9
(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分不必要条件 (C)充要条件

? x ? y ? 1 ? 0, ? (4)设变量 x、y 满足 ? x ? y ? 3 ? 0, 则目标函数 z=2x+3y 的最小值为 ? 2 x ? y ? 3 ? 0, ?
(A)7 (B) 8 (C) 22 (D) 23

(5)设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,若

S S4 ? 3 ,则 6 ? S4 S2

第 -1- 页 共 9 页

(A)2 (6)己知 f ( x) ? ? (A)(一∞,一 1]

(B)

7 3

(C)

3 10

(D)l 或 2

?(1 ? 2a) x ? 3a, x ? 1, 的值域为 R,那么 a 的取值范围是 x ? 1. ?1nx,
(B)(一 l,

1 ) 2

(C)[-1,

1 ) 2

(D)(0,

1 ) 2

(7)执行如图所示的算法,则输出的结果是 (A)1 (B)

4 3

(C)

5 4

(D)2

(8)右上图是某几何体的三视图,则该几何体的体积等于 (A)

2 3

(B)

4 3

(C)1

(D)

(9)己知函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x(? ? 0), f ( ) ? f ( ) ? 0 ,且 f ( x ) 在区间 (

?

?

1 3

递减,则 ? = (A)3 (B)2 (C)6 (D)5 (10)4 名大学生到三家企业应聘,每名大学生至多被一家企业录用,则每家企业至少录用一名 大学生的情况有 (A) 24 种 (B) 36 种 (C) 48 种 (D) 60 种 (11)椭圆 C :

6

2

? ? , ), 上 6 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,若 F 关于直线 3x ? y ? 0 的对称点 A 是 a 2 b2

椭圆 C 上的点,则椭圆 C 的离心率为 (A) 2

1 2

(B)

3 ?1 2

(C)

3 , 2

(D) 3 一 l

第 -2- 页 共 9 页

(12)设函数 f ( x) ? ax3 ? x ? 1( x ? R) ,若对于任意 x ? [一 1,1]都有 f ( x ) ≥0,则实数 a 的取 值范围为 (A)(- ? , 2] (B)[0+ ? )

(C)[0,2]

(D)[1,2]

第 II 卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上. (13)若复数 z 满足 z=i(2+z)(i 为虚数单位) ,则 z= 。 (14)过点 A(3,1)的直线 l 与圆 C: x 2 ? y 2 ? 4 y ?1 ? 0 相切于点 B,则 CACB . ? .

(15)在三棱锥 P-ABC 中,PB=6,AC=3,G 为△ PAC 的重心,过点 G 作三棱锥的一个截面,使截 面平行于直线 PB 和 AC,则截面的周长为 . (16)数列{an}的前 n 项和为 Sn,2Sn –nan=n(n∈ N*) ,若 S20= -360,则 a2=____. 三、解答题:本大题共 70 分,其中(17) - (21)题为必考题,(22),(23),(24)题为选考题.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 csinB=bcos C=3. (I)求 b; ( II)若△ ABC 的面积为

21 ,求 c. 2

(18)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,PA⊥ 底面 ABCD,∠ PCD=90°, PA =AB=AC. (I)求证:AC⊥ CD; ( II)点 E 在棱 PC 上,满足∠ DAE=60°,求二面甬 B-AE -D 的余弦值.

(19)(本小题满分 12 分) 某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口, 在早高峰时间段, 时常发生交通拥堵现象, 交 警部门统计 11 月份 30 天内的拥堵天数.东西南北四个主干道入口的拥堵天数分别是 18 天, 15 天, 9 天,15 天.假设每个入口发生拥堵现象互相独立,视频率为概率. (I)求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率;
第 -3- 页 共 9 页

( II)设翻乏示一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数,求 ? 的分布列及数学期望.

(20)(本小题满分 12 分) 已知抛物线 y2= 2px(p>0),过点 C(一 2,0)的直线 l 交抛物线于 A,B 两点,坐标原点为 O, OAOB . ? 12 . (I)求抛物线的方程; ( II)当以 AB 为直径的圆与 y 轴相切时,求直线 l 的方程.

(21)(本小题满分 12 分) 己知函数 f ( x) ? ae ? x , g ( x) ? sin
x 2

?x
2

? bx ,直线 l 与曲线 y ? f ( x) 切于点 (0, f (0))

且与 曲线 y=g(x)切于点(1,g(1)). (I)求 a,b 的值和直线 l 的方程. ( II)证明: f ( x) ? g ( x)

请考生在第(22),(23),(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作 答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (22)(本小题满分 1 0 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,四边形么 BDC 内接于圆,BD= CD,过 C 点的圆的切线与 AB 的延长线交于 E 点. (I)求证:∠ EAC=2∠ DCE; ( II)若 BD⊥ AB,BC=BE,AE=2,求 AB 的长.

(23)(本小题满分 10)选修 4—4;坐标系与参数方程 极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点,极轴为 x 轴的正半轴,两种坐标系中的长度单 位相同,已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2(cos ? ? sin ? ) ,斜率为 3 的直线 l 交 y 轴于 点 E(0,1). (I)求 C 的直角坐标方程, l 的参数方程;
第 -4- 页 共 9 页

( II)直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求|EA|+|EB |。 (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| (I)求 a; ( II)已知两个正数 m,n 满足 m2+n2=a,求

1 x ? 1| ? | x | ( x ? R) 的最小值为 a. 2
1 1 ? 的最小值. m n

参考答案
一、选择题: A 卷:BCAAB CAABD DC B 卷:ACADB AACBD CD 二、填空题: (13)-1+i (14)5 (15)8 三、解答题: (17)解: (Ⅰ)由正弦定理得 sin Csin B=sin Bcos C, 又 sin B≠0,所以 sin C=cos C,C=45°. 因为 bcos C=3,所以 b=3 2. 1 21 (Ⅱ)因为 S=2acsin B= 2 ,csin B=3,所以 a=7. 据余弦定理可得 c2=a2+b2-2abcos C=25,所以 c=5. (18)解: (Ⅰ)证明:
第 -5- 页 共 9 页 A x D B C y

(16)-1

…6 分

…12 分
P z

E

因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD, 因为∠PCD=90?,所以 PC⊥CD, 所以 CD⊥平面 PAC, 所以 CD⊥AC. …4 分 (Ⅱ) 因为底面 ABCD 是平行四边形,CD⊥AC,所以 AB⊥AC.又 PA⊥底面 ABCD,所以 AB,AC, AP 两两垂直. 如图所示,以点 A 为原点,以→ AB 为 x 轴正方向,以|→ AB |为单位长度,建立空间直角坐标 系. 则 B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,1),D(-1,1,0). 设→ PE =λ→ PC =λ(0,1,-1),则→ AE =→ AP +→ PE = (0,λ,1-λ), 1 又∠DAE=60°,则 cos ?→ AE ,→ AD ?= 2 , 即 λ 1 1 = 2 ,解得 λ= 2 . 2 2λ -2λ+1
2

…8 分

1 1 1 1 则→ AE =(0, 2 , 2 ),→ ED =→ AD -→ AE =(-1, 2 ,- 2 ), → → AB · ED 6 所以 cos ?→ AB ,→ ED ?= → → =- 3 . | AB || ED | → 因为→ AE · ED =0,所以→ AE ⊥→ ED .又→ AB ⊥→ AE , 6 故二面角 B-AE-D 的余弦值为- 3 . …12 分

(19)解: (Ⅰ)设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件 A,B,C,D. 18 3 15 1 9 3 15 1 则 P(A)=30= 5 ,P(B)=30= 2 ,P(C)=30= 10 ,P(D)=30= 2 . 设一天恰有三个入口发生拥堵为事件 M,则 M=- A BCD+A- B CD+AB- C D+ABC- D. 2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 7 1 3 1 3 1 则 P(M)= 5 × 2 × 10 × 2 + 5 × 2 × 10 × 2 + 5 × 2 × 10 × 2 + 5 × 2 × 10 × 2 45 9 =200= 40 . (Ⅱ)ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4. 14 7 P(ξ=0)=200=100, …5 分

第 -6- 页 共 9 页

55 11 P(ξ=1)=200=40, 77 P(ξ=2)=200, 45 9 P(ξ=3)=200= 40 , 9 P(ξ=4)=200. ξ 的分布列为: ξ p 0 7 100 1 11 40 2 77 200 3 4 9 9 40 200 …12 分

14 55 77 45 9 380 19 E(?)=0×200+1×200+2×200+3×200+4×200=200=10.

(20)解: (Ⅰ)设 l:x=my-2,代入 y2=2px,得 y2-2pmy+4p=0. (?)
2 y2 1y2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=2pm,y1y2=4p,则 x1x2= 4p2 =4.

→ 因为→ OA · OB =12,所以 x1x2+y1y2=12,即 4+4p=12, 得 p=2,抛物线的方程为 y2=4x. …5 分 2 (Ⅱ)由(Ⅰ) (?)化为 y -4my+8=0. y1+y2=4m,y1y2=8. …6 分 2 设 AB 的中点为 M,则|AB|=2xm=x1+x2=m(y1+y2)-4=4m -4, ① 又|AB|= 1+m2| y1-y2|= (1+m2)(16m2-32), 由①②得(1+m2)(16m2-32) =(4m2-4)2, 解得 m2=3,m=± 3. 所以,直线 l 的方程为 x+ 3y+2=0,或 x- 3y+2=0. ②

…12 分

(21)解: ?x ? (Ⅰ)f ?(x)=aex+2x,g ?(x)= 2 cos 2 +b, f (0)=a,f ?(0)=a,g (1)=1+b,g ?(1)=b, 曲线 y=f (x)在点(0,f (0))处的切线为 y=ax+a, 曲线 y=g (x)在点(1,g (1))处的切线为 y=b(x-1)+1+b,即 y=bx+1.
第 -7- 页 共 9 页

依题意,有 a=b=1,直线 l 方程为 y=x+1. ?x (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f (x)=ex+x2,g (x)=sin 2 +x.

…4 分 …5 分

设 F (x)=f (x)-(x+1)=ex+x2-x-1,则 F ?(x)=ex+2x-1, 当 x∈(-∞,0)时,F ?(x)<F ?(0)=0; 当 x∈(0,+∞)时,F ?(x)>F ?(0)=0. F (x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增, 故 F (x)≥F (0)=0. …8 分 ?x 设 G (x)=x+1-g (x)=1-sin 2 , 则 G (x)≥0,当且仅当 x=4k+1(k∈Z)时等号成立. …10 分 由上可知,f (x)≥x+1≥g (x),且两个等号不同时成立, 因此 f (x)>g (x). …12 分 (22)解: (Ⅰ)证明:因为 BD=CD,所以∠BCD=∠CBD. 因为 CE 是圆的切线,所以∠ECD=∠CBD. 所以∠ECD=∠BCD,所以∠BCE=2∠ECD. 因为∠EAC=∠BCE,所以∠EAC=2∠ECD. …5 分 (Ⅱ)解:因为 BD⊥AB,所以 AC⊥CD,AC=AB. 因为 BC=BE,所以∠BEC=∠BCE=∠EAC,所以 AC=EC. 由切割线定理得 EC2=AE?BE,即 AB2=AE?( AE-AB),即 AB2+2 AB-4=0,解得 AB= 5-1. (23)解: (Ⅰ)由 ρ=2(cos θ+sin θ),得 ρ2=2(ρcos θ+ρsin θ), 即 x2+y2=2x+2y,即(x-1) 2+(y-1) 2=2. …10 分

?x= 2 t, l 的参数方程为? (t 为参数, t∈R) 3 ?y=1+ 2 t.
1

…5 分

?x= 2 t, (Ⅱ)将? 代入(x-1) +(y-1) =2 得 t -t-1=0, 3 y = 1 + t . ? 2
1
2 2 2

1+ 5 1- 5 解得,t1= 2 ,t2= 2 ,则 |EA|+|EB|=| t1|+| t2|=|t1-t2|= 5. (24)解: …10 分

第 -8- 页 共 9 页

3 - 2 x-1 , x<-2, 1 (Ⅰ)f (x)= - 2 x+1,-2≤x≤0, 3 x>0. 2 x+1, 当 x∈(-∞,0]时,f (x)单调递减, 当 x∈[0,+∞)时,f (x)单调递增, 所以当 x=0 时,f (x)的最小值 a=1. 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 m2+n2=1,由 m2+n2≥2mn,得 mn≤ 2 , 1 1 则 m + n ≥2 1 2 mn≥2 2,当且仅当 m=n= 2 时取等号. …10 分

? ? ? ? ?

…5 分

1 1 所以 m + n 的最小值为 2 2. 注:如有其他答案,请参考评分标准给分.

第 -9- 页 共 9 页


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