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高三数学第二轮专题复习3三角函数


高三数学第二轮专题复习——3 三角函数
熟练掌握基本公式:诱导公式,同角三角函数基本关系式,和差倍公式,降幂公式 熟练掌握三角函数的图象和性质(包括 y ? A sin(? x ? ? ) ? B 的图象) . 正弦定理和余弦定理. 解答题考查:1)画函数图象; 3)化为二次函数型求值域; 2)化为一角一函数的形式,讨论性质; 4)解三角形(正余弦定理) y 1. (2

008 年江苏 15)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做 两个锐角 ? , ? ,它们的终边分别与单位圆相交于 A、B 两点,已知 A,B O 的横坐标分别为 A B

2 2 5 , 10 5
( ? ? 2? ?

x

? ? ? ) 的值; (-3) (1)求 tan( (2)求 ? ? 2? 的值.
三角函数的概念

3? ) 4

复练: (2011 年丰台一模)如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的 终边与单位圆交于点 A,点 A 的纵坐标为

y A

4 3 ,则 cosα= . (? ) 5 5

?
O A x

2. (2011 年江苏 9)函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A, ? , ? 为常数,

A ? 0, ? ? 0 )的部分图象如图所示,则 f (0) 的值为

. (

6 ) 2

复练: (2010 年重庆理 6) 已知函数 y ? sin ?? x ? ? ? (? ? 0, ? ? 的部分图象如题 (6)图所示,则

?
2

)

? 6 ? C. ? =2 ? = 6
A.

? =1 ? =

? 6 ? D. ? =2 ? =6
B.

? =1

? =-

考查了函数的图象和性质

(2011 年丰台二模)已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象如图所示,则该函数的解析式可能是

4 4 1 sin( x ? ) 5 5 5 3 1 (B) y ? sin(2 x ? ) 2 5 4 4 1 (C) y ? sin( x ? ) 5 5 5 4 1 (D) y ? sin(2 x ? ) 5 5
(A) y ?

y
1

O -1

?

2?

x

3. (2011 年新课标文 11)设函数 f ( x) ? sin(2 x ? (A) y= f (x)在(0,

?

? )单调递增,其图像关于直线 x = 2 ? (B) y= f (x)在(0, )单调递增,其图像关于直线 x = 2 ? (C)y= f (x) 在(0, )单调递减,其图像关于直线 x = 2 ? (D)y= f (x) 在(0, )单调递减,其图像关于直线 x = 2
解: f ( x) ? sin(2 x ? x=

) ? cos(2 x ? ) ,则 4 4

?

? 对称 4 ? 对称 2 ? 对称 4 ? 对称 2

?

? ? 时,取到最小值- 2 ,即图像关于 x = 对称,故选 D. 2 2

) ? cos(2 x ? ) = 4 4

?

2 sin(2 x ? ) = 2

?

π 2 cos 2 x ,其在(0, )单调递减且 2

巧解:注意到函数的周期为 ? ,选项中单调区间相同, f (0) ?

? 2 > f ( ) ? ? 2 ,故选 D. 2

复练: (2010 年安徽理 9)动点 A? x, y ? 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 秒旋 转一周.已知时间 t ? 0 时,点 A 的坐标是 ( , 位:秒)的函数的单调递增区间是 A. ?0,1? B. ?1,7? C. ?7,12? D. ?0,1? 和 ?7,12?

1 3 ) ,则当 0 ? t ? 12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t (单 2 2

应用题,三角函数概念

4. (2010 年全国 1 理 2)记 cos(?80?) ? k ,那么 tan100 ? ?

A.

1? k2 k

B. -

1? k2 k

C.

k 1? k2

D. -

k 1? k2

? 2 ? 2 ? 2 法 1: sin 80 ? 1 ? cos 80 ? 1 ? cos ( ?80 ) ? 1 ? k ,

所以 tan100? ? ? tan 80 ? ?
?

sin 80? 1? k 2 ? ? . cos80? k

法 2: cos(?80?) ? k ? cos80? ? k ,
0 0 sin1000 sin ?180 ? 80 ? sin 80o 1? k 2 tan100? ? ? ? ? con100o con ?1800 ? 800 ? ?con80o ?k
? 法 3: cos(?80?) ? k ? cos80? ? k , tan100? ? ? tan 80 画直角三角形可得结果.

诱导公式、同角三角函数关系式 (突出了弦切互化的转化思想的应用)

( 复练: (2011 年辽宁理 7)设 sin
A. ?

7 9

B. ?

( 法一:将 sin

?

1 9

1 +?) = ,则 sin 2? ? 4 3 1 7 C. D. 9 9

?

1 +?) = 展开得到和,再两边平方——同角关系式的结论. 4 3

法二: sin 2? ? ? cos 2(

?

? ? ) ? ?[1 ? 2sin 2 ( ? ? )] 4 4 4 , ? 是第三象限的角,则 5
(D) -2

?

复练: (2010 年全国新课标理 9)若 cos ? ? ?

1 ? tan 1 ? tan

? ?
2 ?

2

(A) ?

1 2

(B)

1 2

(C) 2

切化弦

5. (2009 年全国 1 理 8)如果函数 y=3cos(2 x+? ) 的图象关于点 ? 小值为( )

? 4? ? ,0 ? 中心对称,那么 | ? | 的最 ? 3 ?

(A)

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2

三角函数的图象和性质;正、余弦函数的对称中心,对称轴

6. (2011 年北京理 15 文 20)已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? ) ? 1 . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [ ?

? 6

? ? , ] 上的最大值和最小值. 6 4
公式的基本应用,函数图象和性质

7. (2010 年北京理 15 文 20)已知函数 f ( x ) ? 2cos 2 x ? sin x ? 4cos x .
2

(Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的最大值和最小值.

?

3

二次函数型

8. (2011 年北京理 9)在△ABC 中,若 b=5, ?B = 则 sin A= ,a= . ( a ? 2 10 )

? , tan A=2 , 4

解:由 tan A ? 2 ? sin A ?

2 5 ,正弦定理可得. 5

(2011 年北京文 9)在 ?ABC 中,若 b ? 5 , ?B ? 解三角形——正余弦定理

? 1 , sin A ? ,则 a ? 4 3

.(

5 2 ) 3

复练: ( 2011 年 全 国 文 18 ) △ ABC 的 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c . 己 知

a s i nA? c s i C n?
(Ⅰ)求 B;

a 2 sC in ? b

. s B in

(Ⅱ)若 A ? 750 , b ? 2, 求a,c . 解:(I)由正弦定理得 a ? c ? 2ac ? b ,由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B .
2 2 2
2 2 2

故 cos B ?

2 ? ,因此 B ? 45 . 2
? ? ? ?

(II) sin A ? sin(30? ? 45? ) ? sin 30 cos 45 ? cos30 sin 45 ?

2? 6 4

故 a ? b?

sin C sin 60? sin A 2? 6 ? 2? ? 6. ? ? 1? 3 , c ? b ? sin B sin 45? sin B 2

9. (2011 年湖南文 7)曲线 y ? A. ?

sin x 1 ? ? 在点 M( ,0)处的切线的斜率为 sin x ? cos x 2 4
C. ?

1 2

B.

1 2

2 2

D.

2 2

利用导数讨论三角函数的性质 解: y' ?

cos x(sin x ? cos x) ? sin x(cos x ? sin x) 1 ? , 2 (sin x ? cos x) (sin x ? cos x)2
x?

所以 y'|

?
4

?

1 ? . ? ? (sin ? cos )2 2 4 4

1

复练: (2010 年安徽文 20)设函数 f ? x ? ? sin x ? cos x ? x ?1, 0 ? x ? 与极值. (单调递增区间是 (0, ? ) 与 (

?
2

,求函数 f ? x ? 的单调区间

3? 3? 3? 3? , 2? ) ,单调递减区间是 (? , ) ,极小值为 f ( ) ? ,极大值为 2 2 2 2

f (? ) ? ? ? 2 )

公式的应用 必修 4 第 146 页复习题 A 组: 8(1)余弦二倍角公式的选择与运用,学生练习(4) ; 8(3)两角和公式的运用,认清公式的实质,掌握“凑角”技能; 5(2)切化弦名称统一.辅助角公式、二倍角,互余,学生练习(1,3,4) ; 4(2)正切公式的变形应用; 补充: 化简: tan 20? ? 2 tan 40? ?

4 sin 20? sin 40? cos80? ? ? 2? ? 4? tan 80? cos 20? cos 40? sin 80?

带有技巧性,虽说现在淡化,思考其中不乏认为灵活运用“化异为同” ,变通式子结构——分式通 分两项有机的结合.

必修 4 第 146 页 A 组其他题目可作练习用


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