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【优化方案】2012高考数学总复习 第14章§14.2导数的应用精品课件 大纲人教版


§14.2 导数的应用

双基研习· 双基研习·面对高考 14.2 导数 的 应用 考向瞭望· 考向瞭望·把脉高考 考点探究·挑战高考 考点探究·

双基研习· 双基研习·面对高考

1.函数的单调性与导数的符号的关系 在某个 .函数的单调性与导数的符号的关系(在某个 区间上) 区间上 导数f′ 的符号 导数 ′(x)的符号 f′(x)>0 ′ f′(x)<0 ′ f′(x)=0 ′ = 函数f(x)的单调性 的单调性 函数 在该区间内为_______ 在该区间内为 增函数 在该区间内为_______ 在该区间内为 减函数 在该区间内为_________ 在该区间内为 常数函数

2.函数的极值与最值的辨析 函数的极值与最值的辨析 (1)设函数 设函数f(x)在点 0附近有定义,如果对 0附 在点x 设函数 在点 附近有定义,如果对x < 近的所有点,都有f(x)__ f(x0),我们就说 0) 近的所有点,都有 ,我们就说f(x 是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0); 的一个极大值,记作 是函数 的一个极大值 ; 如果对x0附近的所有点,都有 如果对 附近的所有点,都有f(x)__ f(x0),我 , > 们就说f(x 是函数 是函数f(x)的一个极小值,记作 极 的一个极小值, 们就说 0)是函数 的一个极小值 记作y .极大值与极小值统称为极值. 小值=f(x0).极大值与极小值统称为极值. (2)判别 0)是极值的方法 判别f(x 是极值的方法 判别 一般地,当函数 在点x 一般地,当函数f(x)在点 0处连续时, 在点 处连续时,

①如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0, ′ , ′ , 那么 f(x0)是_______. 是 极大值 . ′ , ′ , ②如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0, 是极小值. 那么 f(x0)是极小值. 是极小值 (3)函数的最大值与最小值 函数的最大值与最小值 在闭区间[a, 上连续的函数 在闭区间 ,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有 在 , 上必有 最大值与最小值, 但在开区间(a, 内连续的函数 最大值与最小值, 但在开区间 ,b)内连续的函数 1 f(x)不一定有最大值与最小值,例如 f(x)= ,x∈ 不一定有最大值与最小值, 不一定有最大值与最小值 =x ∈ (0,+∞). ,+∞ . ,+

思考感悟 1.如果f(x)在其定义域内恒有 ′(x)>0,则f(x) .如果 在其定义域内恒有f′ 在其定义域内恒有 , 是否一定是其定义域上的增函数?为什么? 是否一定是其定义域上的增函数?为什么?
提示:不一定.因为导数研究的函数的单调性 提示:不一定.因为 导数研究的函数的单调性 是一个区间概念,如果定义域为一个连续的区 是一个区间概念, 则一定是增函数.反之, 间,则一定是增函数.反之,则不一定是增函 1 数,如 f(x)=-x在其定义域 -∞,0)∪(0,+ =- 在其定义域(- ∪ ,+ f(x)在每个区间上都是递增 ∞)内恒有 f′(x)>0, 在每个区间上都是递增 内恒有 ′ , 在其定义域内不是增函数. 的,但 f(x)在其定义域内不是增函数. 在其定义域内不是增函数

2.函数y=x3在x=0处能取得极值吗? .函数 = 处能取得极值吗? = 处能取得极值吗 提示: 处不能取得极值. 提示:在x=0处不能取得极值.因为 ′(x)= = 处不能取得极值 因为f′ = 3x2≥0恒成立,在x=0两侧单调性没发生变化 恒成立, 两侧单调性没发生变化. 恒成立 = 两侧单调性没发生变化 故在x= 处不能取得极值 处不能取得极值. 故在 =0处不能取得极值.

课前热身 1. (教材例 改编 函数 . 教材例 改编)函数 教材例2改编 函数f(x)= 2x3 - 6x+ 7的极 = + 的极 大值为( 大值为 A.1 . C.3 . 答案: 答案:D ) B.-1 . D.11 .

2.函数 y=x-x3 的单调递增区间是( . = - 的单调递增区间是 A.(-∞,- ,(1,+∞) ,+∞ . - ,-1), ,+ B.(-1,1) .- 3 3 C.(-∞,- ),( ,+∞) .- , ,+∞ 3 3 3 3 D.(- , ) .- 3 3
答案: 答案:D

)

3.函数 函数f(x)=x3 - 3x+1在[- 3,0]上的最大值、 上的最大值、 函数 = + 在- 上的最大值 最小值分别是( 最小值分别是 A.1,-1 . , C.3,-17 . , 答案: 答案:C ) B.1,-17 . , D.9,-19 . ,

4 . 函 数 f(x) = 2x2 - lnx 的 增 区 间 为 ____________. . 1 答案: ,+∞ 答案:[ ,+∞) 2 5.f(x)=x(x-b)2在x=2处有极大值,则常数 处有极大值, . = - = 处有极大值 b的值为 的值为________. 的值为 . 答案: 答案:6

考点探究· 考点探究·挑战高考

考点突破 用导数研究函数的单调性 若函数y= 为连续函数, ′ 若函数 = f(x)为连续函数 , 使 f′(x)>0的 x的 为连续函数 的 的 取值区间为f(x)的增区间 ; 使 f′(x)<0的解集 的增区间; ′ 取值区间为 的增区间 的解集 的减区间, 为y=f′(x)的减区间,注意定义域. = ′ 的减区间 注意定义域.

1 例1 已知函数 f(x)= x2- alnx(a∈R),求函数 f(x) = ∈ , 2 的单调区间. 的单调区间 .

【思路分析】 思路分析】

定义域为(0,+∞),讨论 , 定义域为 , ,讨论a,

的解集. 求f′(x)>0和f′(x)<0的解集. ′ 和′ 的解集

依题意知函数的定义域为(0,+ . ,+∞ 【 解】 依题意知函数的定义域为 ,+∞ ). a ∵ f′(x)=x- ,∴当 a≤0 时 ,f(x)的单调递增区间 ′ = - ≤ 的单调递增区间 x a 为 (0 , + ∞) ; 当 a>0 时 , f′(x) = x - = ′ x )(x- ) (x+ a)( - a) + )( , f′(x)>0, x> a, 函数 f(x) 令 ′ , 有 , ∴ x 的 单 调递 增 区间 为 ( a, + ∞); 令 f′(x)<0, 有 , +∞ ; ′ , 0<x< a,∴函数 f(x)的单调递减区间为 , a). , 的单调递减区间为(0, 的单调递减区间为 .

名师点评】 【名师点评】

对于含有参数的函数研究单调

性时, 要根据参数是否影响 ′(x)正负取值来 性时 , 要根据参数是否影响f′ 正负取值来 确定是否讨论参数. 确定是否讨论参数.

用导数求函数的极值 对于求极值的问题,首先明确函数的定义域, 对于求极值的问题,首先明确函数的定义域, 并用导数为0的点把定义域分割成几部分, 并用导数为 的点把定义域分割成几部分,然 的点把定义域分割成几部分 后列表并判断导数在各部分取值的正负, 后列表并判断导数在各部分取值的正负,极值 点从表中就很清楚地显示出来. 点从表中就很清楚地显示出来.

1-x - 例2 已知函数 f(x)=ln(ax+1)+ = + + , x≥0,其中 ≥ , 1+x + a>0.若 f(x)在 x=1 处取得极值,求 a 的值 ;并判断 若 的值; 在 = 处取得极值, 此时 x=1 处是极大值还是极小值 ,并求其极值. = 处是极大值还是极小值,并求其极值.

【思路分析】 a→判断. →判断.

求 f′(x)→ 令 f′(1) = 0→ 求 ′ → ′ →

【 解】

ax2+ a-2 - a 2 f′(x)= ′ = - 2= 2, ax+1 (1+x) (ax+1)( + x) + )(1+ ) + ) + )(

- ∵ f(x)在 x=1 处取得极值,∴ f′(1)=0,即 a·12+ a-2 在 = 处取得极值, ′ = , = 0,解得 a=1. , = x-1 - ,+∞ 此时 f′(x)= ′ = ∈ ,+ 时 ′ 2 .x∈ (1,+∞ )时 ,f′(x)>0. (x+1) + ) x∈[0,1)时, f′(x)<0, ∈ 时 ′ , ∴ x=1 为极小值点 ,极小值 f(1),f(1)=ln2. = 为极小值点, , =

【思维总结】 思维总结】

求函数的极值点就是求f′ 求函数的极值点就是求 ′(x)

=0的点.但应注意 ′(x)=0是必要条件,而 的点. 是必要条件, 的点 但应注意f′ = 是必要条件 不是充分条件. 不是充分条件.

互动探究

对本题的函数f(x),要使其存在极 对本题的函数 ,

的取值范围. 值,求a的取值范围. 的取值范围

ax2+a-2 - 解:f′(x)= ′ = 2. )(1+ ) (ax+1)( +x) + )( 存在极值, ∵a>0,x≥0,函数 y=f(x)存在极值, , ≥ , = 存在极值 则 f′(x)=0 有正根. ′ = 有正根. 2 ,+∞ 即 ax +a-2=0 有正根,x∈[0,+∞), - = 有正根, ∈ ,+ , 2-a - ∴x = a >0.∴0<a<2.∴x= ∴ ∴ =
2

2-a - . a

当 x∈( ∈ ∴f′(x)>0. ′ 当 x∈[0, ∈ ∴x= =

2-a - ,+∞ 时 - ,+∞)时,x- a

2-a - >0, , a

2-a - 时 x- a )时,-

2-a - ∴′ a <0.∴f′(x)<0.

2-a - 的极值点. 为 f(x)的极值点.∴0<a<2. 的极值点 a

用导数求函数的最值或值域 (1)求闭区间上可导函数的最值时 , 对函数极 求闭区间上可导函数的最值时, 求闭区间上可导函数的最值时 值是极大值还是极小值可不再判断, 值是极大值还是极小值可不再判断,只需直接 与端点的函数值比较即可获得. 与端点的函数值比较即可获得. (2)当连续函数的极值只有一个时,相应的极 当连续函数的极值只有一个时, 当连续函数的极值只有一个时 值必为函数的最值. 值必为函数的最值.

=-x 已知函数 f(x)=- 3+ ax2- 4(a∈R). =- ∈ . (1)若函数 y=f(x)的图象在点 P(1,f(1))处的切线的 若函数 = 的图象在点 , 处的切线的 π 倾斜角为 , 求 a; ; 4 (2)设 f(x)的导函数是 f′(x), (1)的条件下. m, 设 的条件下. 的导函数是 ′ , 在 的条件下 若 , n∈[-1,1],求 f(m)+f′(n)的最小值. ∈- 的最小值. , + ′ 的最小值

例3

【思路分析】 思路分析】

(1)根据 ′(1)=1,求a; 根据f′ = , 根据 ;

(2)分别求出 分别求出f(m)与f′(n)的最小值. 的最小值. 分别求出 与 ′ 的最小值

【解】 2ax.

(1)∵f(x)=- 3+ ax2- 4.∴f′(x)=- 2+ ∵ =-x =-3x =- ∴ ′ =-

π 又 ∵函数 f(x)在(1,f(1))处的切线的倾斜角为 , 在 , 处的切线的倾斜角为 4 π 即 f′(1)=tan =1,∴- 3+2a=1,∴ a=2. ′ = , + = , = 4 (2)由(1)知 f(x)=- 3+2x2-4, f′(x)=- 2+ 4x. 由 知 =-x , ′ =-3x 则 =- =-

x -1 (-1,0) 0 - f′(x) -7 0 ′ - f(x) -1 -4 ?

(0,1) + ?

1 1 -3

=-4, ∴ 对于 m∈[-1,1],f(m)最小值为 f(0)=- , ∈- , 最小值为 =- 2 2 =-3x 且开口向下, ∵ f′(x)=- + 4x 的对称轴为 x= , ′ =- = 且开口向下, 3 ∴ x∈[-1,1]时,最小值为 f′(-1)与 f′(1)中较小 ∈- 时 ′ - 与 ′ 中较小 的. =-7, ∈- ∵ f′(1)=1,f′(-1)=- ,∴当 x∈[-1,1]时, ′ = , ′ - =- 时 f′(x)的最小值是- 7,即当 n∈[-1,1]时, f′(n) ′ 的最小值是 的最小值是- , ∈- 时 ′ 的最小值为- 的最小值为 -7. 的最小值为- - =- =-11. ∴ f(m)+f′(n)的最小值为-4-7=- + ′ 的最小值为

【思维总结】 思维总结】

对于f(m)的最小值,是通过比 的最小值, 对于 的最小值

的大小得出的, 较f(-1)、f(0)、与f(1)的大小得出的,对于 - 、 、 的大小得出的 对于f(n) 的最小值是比较f′ - 与 ′ 得出的 得出的. 的最小值是比较 ′(-1)与f′(1)得出的.

生活中的优化问题 生活中的利润最大、用料最省等优化问题, 生活中的利润最大、用料最省等优化问题, 转化为函数的最值,结合导数求解. 转化为函数的最值,结合导数求解.
例4 某分公司经销某种品牌产品 , 每件产品 某分公司经销某种品牌产品,

的成本为3元 并且每件产品需向总公司交a 的成本为 元 , 并且每件产品需向总公司交 的管理费, 元(3≤a≤5)的管理费,预计当每件产品的售 ≤ ≤ 的管理费

价为x元 ≤ ≤ 时 一年的销售量为(12- 价为 元 (9≤x≤11)时, 一年的销售量为 - 万件. x)2万件. (1)求分公司一年的利润 万元 与每件产品的 求分公司一年的利润L(万元 求分公司一年的利润 万元)与每件产品的 售价x的函数关系式; 售价 的函数关系式; 的函数关系式 (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一 当每件产品的售价为多少元时, 当每件产品的售价为多少元时 年的利润L最大,并求出 的最大值 的最大值Q(a). 年的利润 最大,并求出L的最大值 最大 . 【思路分析】 思路分析】 关键是抽象出具体函数关系 式,运用导数去解决. 运用导数去解决.

万元)与售价 【解】 (1)分公司一年的利润 L(万元 与售价 x 分公司一年的利润 万元 的函数关系式为: = - - 的函数关系式为 : L= (x- 3- a)(12- x)2 , x∈ - ∈ [9,11]. . (2)L′(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12- ′ = - - - - = - x)(18+2a-3x). + - . 2 令 L′=0 得 x=6+ a 或 x=12(不合题意,舍 ′ = + = 不合题意, 不合题意 3 去). . 2 28 ∵3≤a≤5,∴8≤6+ a≤ . ≤ ≤ , ≤ + ≤ 3 3 2 在 x=6+ a 两侧 L′的值由正变负. = + ′的值由正变负. 3

2 9 所以① 所以①当 8≤6+ a<9 即 3≤a< 时, ≤ + ≤ 3 2 Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a). = - - - - . 2 28 9 ②当 9≤6+ a≤ 即 ≤a≤5 时, ≤ + ≤ ≤ 3 3 2 2 2 2 2 Lmax= L(6+ a)= (6+ a-3-a)[12- (6+ a)] + = + - - - + 3 3 3 1 3 =4(3- a) . - 3

9 元时, ∴若 3≤a< ,则当每件售价为 9 元时,分公 ≤ 2 最大, 司一年的利润 L 最大,最大值 Q(a)= 9(6- = - 9 2 a)(万元 ;若 ≤a≤5,则当每件售价为 + a) 万元); 万元 ≤ ,则当每件售价为(6+ 2 3 元时, 分公司一年的利润 L 最大, 最大, 元时, 最大值 Q(a)
? 1 ?3 ? - ? 万元 万元). =4?3-3a? (万元 . ? ?

【思维总结】 思维总结】

解决优化问题的基本思路是: 解决优化问题的基本思路是:

方法感悟 方法技巧 1.求可导函数单调区间的一般步骤 . (1)确定函数 确定函数f(x)的定义域; 的定义域; 确定函数 的定义域 (2)求导数 ′(x); 求导数f′ ; 求导数 (3)由f′(x)>0(或f′(x)<0),解出相应的 的范 由′ 或′ ,解出相应的x的范 围.当f′(x)>0时,f(x)在相应的区间上是增函 ′ 时 在相应的区间上是增函 数;当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间上是减函 ′ 时 在相应的区间上是减函 数.如例1. 如例

2.求可导函数f(x)的极值的步骤 .求可导函数 的极值的步骤 (1)求导数 ′(x); 求导数f′ ; 求导数 (2)求方程 ′(x)=0的根; 求方程f′ = 的根; 求方程 的根 (3)检查 ′(x)在方程根左右的值的符号,如果 检查f′ 在方程根左右的值的符号 在方程根左右的值的符号, 检查 左正右负,那么 在这个根处取得极大值; 左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值; 在这个根处取得极大值 如果左负右正,那么 如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小 在这个根处取得极小 值.

3.设函数 . 设函数f(x)在[a,b]上连续, 在 (a,b)内可 上连续, 在 , 上连续 , 内可 导 , 求 f(x)在 [a, b]上的最大值与最小值的步 在 , 上的最大值与最小值的步 骤如下: 骤如下: 内的极值; ①求f(x)在(a,b)内的极值; 在 , 内的极值 的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大 比较, ②将f(x)的各极值与 的各极值与 , 比较 的一个是最大值,最小的一个是最小值. 的一个是最大值,最小的一个是最小值.

失误防范 1.求函数的单调区间时 , 切莫忘求函数的定 . 求函数的单调区间时, 义域,不连续的单调区间不能合并.如例 义域,不连续的单调区间不能合并.如例1. 2.已知f(x)在(a,b)上的单调性,求参数取值 .已知 上的单调性, 在 , 上的单调性 范围, ′ ≥ 或 ′ ≤ 在 , 内恒成 范围,则f′(x)≥0或f′(x)≤0在(a,b)内恒成 立.注意验证等号是否成立. 注意验证等号是否成立.

考向瞭望· 考向瞭望·把脉高考

考情分析 从近两年的高考试题来看, 从近两年的高考试题来看,导数的综合应用是 高考的热点之一,每年必考且题型多为解答题 高考的热点之一,每年必考且题型多为解答题, 题目难易程度属中、高档题,并且多为压轴题 题目难易程度属中、高档题,并且多为压轴题. 结合求导,研究函数的极值, 结合求导,研究函数的极值,单调性或证明不 等式等. 等式等.

年的高考中, 在2010年的高考中,各省市都对此进行了考 年的高考中 如大纲全国卷Ⅰ和卷Ⅱ理中, 查,如大纲全国卷Ⅰ和卷Ⅱ理中,结合函数求 证明不等式,重庆理利用导数求切线, 导,证明不等式,重庆理利用导数求切线,求 极值和单调性等. 极值和单调性等. 预测2012年导数的综合应用仍是高考的热点, 年导数的综合应用仍是高考的热点, 预测 年导数的综合应用仍是高考的热点 会在一道解答题或压轴题中考查学生借用导数 处理综合问题的能力,难度可能中等或较大. 处理综合问题的能力,难度可能中等或较大.

规范解答

(本题满分 13 分)(2010 年高考重庆卷 已知 本题满分 年高考重庆卷)已知 x-1 - 函数 f(x)= = +ln(x+1),其中实数 a≠-1. + , ≠ x+a +


(1)若 a=2,求曲线 y=f(x)在点 ,f(0))处的切 若 = , 在点(0, = 在点 处的切 线方程; 线方程; (2)若 f(x)在 x=1 处取得极值,试讨论 f(x)的单 若 在 = 处取得极值, 的单 调性. 调性.

x+a-(x-1) + - - ) 1 【解】 (1)f′(x)= ′ = + 2 x+1 (x+a) + ) + a+1 + 1 . 2分 = 2+ + ) + (x+a) x+1 2+1 + 1 7 当 a=2 时,f′(0)= = ′ = = ,而 f(0) 2+ (0+2) 0+1 4 + ) + 1 在点(0, =- ,因此曲线 y=f(x)在点 ,f(0))处的切线 = 在点 处的切线 2 方程为
? 1? 7 ? - ?= (x-0),即 y-? 2? - - , 4 ? ?

7x-4y-2=0. - - = 5分

(2)∵a≠-1, ∵ ≠ , a+1 + 1 1 1 由(1)知 f′(1)= 知 ′ = = + ,6 分 2+ + ) + + (1+a) 1+1 a+1 2 又∵f(x)在 x=1 处取得极值,∴f′(1)=0, 在 = 处取得极值, ′ = , 1 1 =-3. 8分 即 + =0,解得 a=- , =- a+1 2 + x-1 - 此时 f(x)= = +ln(x+1), + , x-3 - 其定义域为(- ,+∞ 其定义域为 -1,3)∪(3,+∞), ∪ ,+ ,

)(x- ) -2 (x-1)( -7) - )( 1 且 f′(x)= ′ = = 2+ 2 (x-3) x+1 (x-3) (x+1) - ) + - ) + ) x 由 f′(x)=0 得 x1=1, 2=7. ′ = , f′(x)>0; 当-1<x<1 或 x>7 时,f′(x)>0; 当 1<x<7 且 x≠3 时,f′(x)<0. ≠ ′

9分 10 分 12 分

由以上讨论知, 在区间(- ,+∞ 由以上讨论知, f(x)在区间 - 1,1], [7,+∞) 在区间 , ,+ 上是增函数,在区间 上是减函数. 上是增函数,在区间[1,3),(3,7]上是减函数 , 上是减函数 13 分

【名师点评】 名师点评】

本题主要考查了利用导数研究

函数性质的方法,及学生的计算能力, 函数性质的方法,及学生的计算能力,属中档 题.从题型看,学生不生疏,从方法上看,是 从题型看,学生不生疏,从方法上看, 学生平时练习的通法,易于入手. 学生平时练习的通法,易于入手.但学生明显 的问题是①求导运算出错; 不求定义域, 的问题是①求导运算出错;②不求定义域,这 显现了基础不牢固,平时练习不规范的毛病. 显现了基础不牢固,平时练习不规范的毛病.

名师预测 已知函数f(x)=x2-8lnx,g(x)=- 2+14x. = =-x 已知函数 , =- (1)求函数 求函数f(x)在点 ,f(1))处的切线方程; 在点(1, 处的切线方程; 求函数 在点 处的切线方程 (2)若函数 若函数f(x)与g(x)在区间 ,a+1)上均为增 在区间(a, + 上均为增 若函数 与 在区间 函数, 的取值范围; 函数,求a的取值范围; 的取值范围 (3)若方程 若方程f(x)=g(x)+m有唯一解,试求实数 有唯一解, 若方程 = + 有唯一解 m的值. 的值. 的值

8 解:(1)因为 f′(x)=2x-x, 因为 ′ = - =-6. 所以切线的斜率 k=f′(1)=- = ′ =- =-6(x- , 又 f(1)=1, = , 故所求的切线方程为 y-1=- -1), - =- =-6x+ 即 y=- +7. =- 2(x+2)( -2) )(x- ) ( + )( (2)因为 f′(x)= 因为 ′ = , x 又 x>0,所以当 x>2 时,f′(x)>0;当 0<x<2 时, , ′ ; f′(x)<0.即 f(x)在(2,+∞)上单调递增,在 (0,2) ′ ,+∞ 上单调递增, 即 在 ,+ 上单调递增 上单调递减. 上单调递减. 递减

=-(x- 又 g(x)=- -7)2+49,所以 g(x)在(-∞,7) =- , 在- 上单调递增, ,+∞ 上单调递减, 上单调递增,在(7,+∞)上单调递减,欲使函 ,+ 上单调递减 在区间(a, + 上均为增函数 上均为增函数, 数 f(x)与 g(x)在区间 ,a+1)上均为增函数,则 与 在区间 ?a≥2, ≥ , ? 解得 2≤a≤6. ≤ ≤ + ≤ , ?a+1≤7, (3)原方程等价于 2x2-8lnx-14x=m,令 h(x) 原方程等价于 - = , =2x -8lnx-14x,则原方程即为 h(x)=m,因 - , = , 时原方程有唯一解, 为当 x>0 时原方程有唯一解,所以函数 y=h(x) = 轴右侧有唯一的交点. 与 y=m 的图象在 y 轴右侧有唯一的交点. =
2

2(x-4)( +1) )(2x+ ) ( - )( 8 又 h′(x)=4x-x-14= ′ = - = , x>0, 且 , x h′ h′ 所以当 x>4 时, ′(x)>0; 0<x<4 时, ′(x)<0. ; 当 即 h(x)在(4,+∞)上单调递增,在(0,4)上单调递 ,+∞ 上单调递增, 在 ,+ 上单调递增 上单调递 减,故 h(x)在 x=4 处取得最小值,从而当 x>0 在 = 处取得最小值, 时原方程有唯一解的充要条件是 m= h(4)=- = =- 16ln2-24. -



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