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人教版高中数学必修四(1.3-1三角函数的诱导公式)


1.3

三角函数的诱导公式

第一课时

问题提出

? 1 ? 5730 p=? ? ?2?

t

1.任意角α的正弦、余弦、 1.任意角α的正弦、余弦、正切是怎样 任意角 定义的? 定义的?

sin α = y
cosα = x

y
α的终边 P(x, P(x,y)

O

x

y tan α = ( x ≠ 0) x

2kπ+ k∈Z) 2. 2kπ+α(k∈Z)与α的三角函数 之间的关系是什么? 之间的关系是什么?
公式一: 公式一: sin(α + 2kπ ) = sin α
cos(α + 2kπ ) = cos α

( tan(α + 2kπ ) = tan α k ∈ Z)

3.你能求sin750° sin930°的值吗? 3.你能求sin750°和sin930°的值吗? 你能求sin750

4.利用公式一, 4.利用公式一,可将任意角的三角函数 利用公式一 转化为0 值,转化为00~3600范围内的三角函数 其中锐角的三角函数可以查表计算, 值.其中锐角的三角函数可以查表计算, 而对于90 范围内的三角函数值, 而对于900~3600范围内的三角函数值, 如何转化为锐角的三角函数值, 如何转化为锐角的三角函数值,是我们 需要研究和解决的问题. 需要研究和解决的问题.

知识探究( 知识探究(一):π+α的诱导公式 + 的诱导公式

思考1 210°角与30 角有何内在联系? 30° 思考1:210°角与30°角有何内在联系? 210°=180°+30° 210°=180°+30° 思考2:若α为锐角,则 思考2 为锐角, 180° 270° (180°,270°)范围内的角可以怎样 表示? 表示? 180° 180°+α

思考3 对于任意给定的一个角α 思考3:对于任意给定的一个角α,角 的终边与角α的终边有什么关系? π+α的终边与角α的终边有什么关系?
y α的终边

o

x π+α的终边 +α的终边 +α

思考4 设角α的终边与单位圆交于点P 思考4:设角α的终边与单位圆交于点P ),则角 则角π (x,y),则角π+α的终边与单位圆 的交点坐标如何? 的交点坐标如何?
y α的终边

P(x, P(x,y) x o Q(Q(-x,-y) π+α的终边 +α的终边 +α

思考5 根据三角函数定义, 思考5:根据三角函数定义, sin( + ) cos( sin(π+α) 、cos(π+α)、 tan( 的值分别是什么? tan(π+α)的值分别是什么?
y α的终边

sin(π+α)=sin(π+α)=-y cos(π+α)=cos(π+α)=-x
y tan(π+ tan(π+α)= x x
o Q(Q(-x,-y) π+α的终边 +α的终边 +α

P(x, P(x,y)

思考6 对比sinα cosα,tanα的值 sinα, 的值, 思考6:对比sinα,cosα,tanα的值, 的三角函数与α π+α的三角函数与α的三角函数有什 么关系? 么关系?
sin( π + α ) = ? sin α 公式二: 公式二: cos(π + α ) = ? cosα tan( π + α ) = tan α

思考7 该公式有什么特点,如何记忆? 思考7:该公式有什么特点,如何记忆?

知识探究(二):-α,π-α的诱导公式: 知识探究( ):的诱导公式:

思考1:对于任意给定的一个角α,-α 思考1 对于任意给定的一个角α,-α 的终边与α的终边有什么关系? 的终边与α的终边有什么关系?
y α的终边

o

x

-α的终边

思考2 设角α 思考2:设角α的终边与单位圆交于点 ),则 P(x,y),则-α的终边与单位圆的交 点坐标如何? 点坐标如何?
y α的终边

P(x,y)
o x

P(x,P(x,-y)
-α的终边

思考3 根据三角函数定义,-α 思考3:根据三角函数定义,-α的三角 ,- 函数与α的三角函数有什么关系? 函数与α的三角函数有什么关系?
y α的终边

P(x,y)
o x

P(x,P(x,-y)
-α的终边

公式三: 公式三:

sin( ?α ) = ? sin α cos(?α ) = cos α tan( ?α ) = ? tan α

思考4 利用π 思考4:利用π-α=π+(-α),结 α), 合公式二、 你能得到什么结论? 合公式二、三,你能得到什么结论?
sin( π ? α ) = sin α cos(π ? α ) = ? cos α tan( π ? α ) = ? tan α

公式四: 公式四:

思考5 思考5:如何根据三角函数定义推导公式 四?
y α的终边

π-α的终边 P(x,y)
o

P(P(-x,y)
x

-α的终边

思考6 公式三、四有什么特点, 思考6:公式三、四有什么特点,如何记 忆? 公式三: 公式三:
sin( ?α ) = ? sin α cos(?α ) = cos α tan( ?α ) = ? tan α

公式四: 公式四:

sin( π ? α ) = sin α cos(π ? α ) = ? cos α tan( π ? α ) = ? tan α

思考7 公式一~四都叫做诱导公式, 思考7:公式一~四都叫做诱导公式,他 们分别反映了2kπ 2kπ+ k∈Z), ),π 们分别反映了2kπ+α(k∈Z),π+ ,-α 的三角函数与α的三角 α,-α,π-α的三角函数与 的三角 - 的三角函数与 函数之间的关系, 函数之间的关系,你能概括一下这四组 公式的共同特点和规律吗? 公式的共同特点和规律吗? 2kπ+α(k∈Z),π+α,-α,π 2kπ+ k∈Z),π ,-α ), -α的三角函数值,等于α的同名函数 的三角函数值,等于α 再放上原函数的象限符号. 值,再放上原函数的象限符号.

理论迁移

例1 求下列各三角函数的值: 求下列各三角函数的值:
(1)cos225
o

11π (2)sin 3
(4)cos(-2040 )
o

16π ) (3)sin(3

1 已知cos(π cos(π+ 例2 已知cos(π+x)= 3 各式的值: 各式的值:

,求下列

cos(2π- ;(2 cos(π- (1)cos(2π-x);(2)cos(π-x).

例3 化简: 化简:
cos(180 + α ) ? sin( α + 360 ) (1) sian(- α -180o ) ? cos(-180o -α ) ; o o cos190 ? sin (?210 ) (2 ) o o . cos(-350 ) ? tan585
o o

小结作业 1.诱导公式都是恒等式, 1.诱导公式都是恒等式,即在等式有意 诱导公式都是恒等式 义时恒成立. 义时恒成立. 2.以诱导公式一~四为基础,还可以 2.以诱导公式一~四为基础, 以诱导公式一 产生一些派生公式, 产生一些派生公式, sin(2π- sinα, 如sin(2π-α)=-sinα, sin(3π- =sinα等 sin(3π-α)=sinα等.

3.利用诱导公式一~ 3.利用诱导公式一~四,可以求任意 利用诱导公式一 角的三角函数,其基本思路是: 角的三角函数,其基本思路是:
任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数

锐角的三角 函数

0~2π的角 2π的角 的三角函数

这是一种化归与转化的数学思想. 这是一种化归与转化的数学思想.

作业: 作业: P27练习:1,2,3,4. P27练习: 练习


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