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第五课时直线。平面垂直的判定和性质


王新敞
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定义:如果一条直线 l 和一个平面α相交,并且和平面α内的任意一条直线都垂
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直,我们就说直线 l 和平面α互相垂直 其中直线 l 叫做平面的垂线,平面α叫做 直线 l 的垂面 交点叫做垂足
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直线 l 与平面α垂直记作:l⊥ α
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直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直,那么这条直线垂直于这个平面 .直线和平面垂直的性质定理: 如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行
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点到平面的距离的定义: 从平面外一点引一个平面的垂线, 这个点和垂足间的距 离叫做这个点到这个平面的距离. 直线和平面的距离的定义: 一条直线和一个平面平行, 这条直线上任意一点到平 面的距离,叫做这条直线和平面的距离. \ 三垂线定理 在平面内的一条直线, 如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直, 那么它也和这条斜线垂直 P
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O A

?

a

. 三垂线定理的逆定理: 在平面内的一条直线, 如果和这个平面的一条斜线垂直, 那麽它也和这条斜线的射影垂直 PO ? ? , O ? ? ? ? 推理模式: PA ? ? A ? ? a ? AO . a ? ? , a ? AP ? ?
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注意:⑴ 三垂线指 PA,PO,AO 都垂直 α 内的直线 a 其实质是:斜线和平面内 一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵ 要考虑 a 的位置,并注意两定理交替使用
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线面垂直的证明中的找线技巧 通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直 1

M 为 CC1 的中点,AC 交 BD 于点 O,求证: AO 如图 1,在正方体 ABCD ? A ?平 1B 1C1D 1 中, 1
面 MBD. 证明:连结 MO,

A1M ,∵DB⊥ A1 A ,DB⊥AC, A1 A

AC ? A ,

∴DB⊥平面

A1 ACC1 ,而 AO ? 平面 A1 ACC1 1
A1O 2 ?

∴DB⊥ AO 1 .

设正方体棱长为 a ,则 在

3 2 3 a , MO 2 ? a 2 . 2 4 9 2 2 2 a .∵ AO Rt△ A ? OM . ? MO2 ? A1M 2 ,∴ AO 1M ? 1C1M 中, A 1 1 4

∵OM∩

DB=O,∴

AO 1 ⊥平面 MBD.

评注:在证明垂直关系时,有时可以利用棱长、角度大小等数据,通过计算来证明. 利用面面垂直寻求线面垂直 2 如图 2, P 是△ABC 所在平面外的一点,且 PA⊥平面 ABC,平面 PAC⊥平面 PBC.求证: 证明:在平面 PAC 内作 AD⊥PC 交 PC 于 D. 因为平面 PAC⊥平面 PBC,且两平面交于 PC, BC⊥平面 PAC.

AD ? 平面 PAC,且 AD⊥PC, 由面面垂直的性质,得 AD⊥平面 PBC.
面 PBC,∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面 ABC, BC

又∵ BC

?平

? 平面 ABC,∴PA⊥BC.

∵AD∩PA=A,∴BC⊥平面 PAC. (另外还可证 BC 分别与相交直线 AD,AC 垂直,从而得到 BC⊥平面 PAC) . 3 如图1所示,ABCD 为正方形, SA ⊥平面 ABCD,过

A 且垂直于 SC 的平面分别交 SB,SC,SD 于

E,F,G .求证: AE ? SB , AG ? SD .

? 平面 ABCD, B ? B C , C ?A E ∴ SA ? BC . ∵A ∴ BC ? 平面 SAB. 又∵ AE ? 平面 SAB, ∴B 平面 AEFG,∴ SC ? AE .∴ AE ? 平面 SBC.∴ AE ? SB .同理可证 AG ? SD .
证明:∵ SA 用,同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征,从而顺利实现证明所需要的转化. 4 如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC=AC,AD=BD, 作 BE⊥CD,E为垂足,作 AH⊥BE 于H.求证:AH⊥平面 BCD. 证明:取 AB 的中点F,连结 CF,DF. ∵ AC

. ∵ SC

?

评注:本题欲证线线垂直,可转化为证线面垂直,在线线垂直与线面垂直的转化中,平面起到了关键作

? BC ,∴ CF ? AB .

∵ AD ? BD ,∴ DF ? AB . 又 CF DF ? F ,∴ AB ? 平面 CDF.

? 平面 CDF,∴ CD ? AB . 又 CD ? BE , BE AB ? B , ∴ CD ? 平面 ABE, CD ? AH .
∵ CD

∵ AH ∴ 5

? CD , AH ? BE , CD

BE ? E ,
,E为垂足,F是 PB 上

AH ? 平面 BCD. 如图3, AB 是圆O的直径,C是圆周上一点, PA ? 平面 ABC.若 AE⊥PC
证明:∵AB 是圆O的直径,∴ AC

任意一点,求证:平面 AEF⊥平面 PBC.

? BC .

∵ PA ∵ BC

? 平面 ABC, BC ? 平面 ABC,

∴ PA ?

BC .∴ BC ? 平面 APC.

? 平面 PBC,

∴平面 APC⊥平面 PBC. ∵AE⊥PC,平面 APC∩平面 PBC=PC, ∴AE⊥平面 PBC. ∵

AE ? 平面 AEF,∴平面 AEF⊥平面 PBC.
A

6. 空间四边形 ABCD 中,若 AB⊥CD,BC⊥AD,求证:AC⊥BD

D B O C
证明:过 A 作 AO⊥平面 BCD 于 O

? AB?CD, ? CD?BO 于是BD?CO ? BD?AC

同 理

BC ⊥ DO

∴ O

为 △ ABC

的 垂 心

7. 证明:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1C⊥平面 BC1D

D1 A1 B1

C1

D A
证明:连结 AC

C B

? BD? AC
AC 为 A1C 在平面 AC 上的射影

? BD?A1C

? ? ? A1C?平面BC1 D 同理可证A1C?BC1 ?
MN? AB

8. 如图, PA ? 平面 ABCD,ABCD 是矩形,M、N 分别是 AB、PC 的中点,求证:

P N D A C

M

B

.

1 EN // DC 2 证:取 PD 中点 E,则
P E D A N C

M

B

? EN // AM
? AE / / MN

CD?AE ? 又 ? CD?AD? ? ? ? CD?平面PAD ? ? CD / / AB ? ? MN?AB PA?平面AC ? ? AE ? 平面PAD? AE / / MN ? ?

9 如图在Δ ABC 中, AD⊥BC, ED=2AE, 过 E 作 FG∥BC, 求证:A'E⊥平面 A'BC 分析: 弄清折叠前后,图形中各元素之间的数量关系和位置关系。 解: ∵FG∥BC,AD⊥BC ∴A'E⊥FG ∴A'E⊥BC 设 A'E=a,则 ED=2a 由余弦定理得: A'D =A'E +ED -2?A'E?EDcos60° =3a
2 2 2 2 2 2 2

且将Δ AFG 沿 FG 折起,使∠A'ED=60°,

A' G A E F

C D B

∴ED =A'D +A'E ∴A'D⊥A'E

∴A'E⊥平面 A'BC 10 如图, 在空间四边形 SABC 中, SA?平面 ABC, ?ABC = 90?, AN?SB 于 N, AM?SC 于 M。 求证: ①AN?BC; ② SC?平面 ANM 分析: ①要证 AN?BC, 转证, BC?平面 SAB。 ②要证 SC?平面 ANM, 转证, SC 垂直于平面 ANM 内的两条相交直线, 即证 SC?AM, SC?AN。要证 SC?AN, 转证 AN?平面 SBC, 就可以了。 证明: ①∵SA?平面 ABC ∴SA?BC 又∵BC?AB, 且 AB ? SA = A ∴BC?平面 SAB ∵AN ? 平面 SAB ∴AN?BC ②∵AN?BC, AN?SB, 且 SB ? BC = B ∴AN?平面 SBC ∵SCC 平面 SBC ∴AN?SC 又∵AM?SC, 且 AM ? AN = A ∴SC?平面 ANM 11 已知如图,P ? 平面 ABC,PA=PB=PC,∠APB=∠APC=60°,∠BPC=90 °求证:平面 ABC⊥平面 PBC 分析:要证明面面垂直,只要在其呈平面内找一条线,然后证明直线与另一平面垂直即可。显然 BC 中点 D,证明 AD 垂直平 PBC 即可 证明:取 BC 中点 D 连结 AD、PD ∵PA=PB;∠APB=60° 设 PA=a ∴Δ PAB 为正三角形 在 RTΔ BPC 中,PB=PC=a 同理Δ PAC 为正三角形

BC=

2a

∴PD=
2

2 2

a

在Δ ABC 中
2

AD=

AB2 ? BD2

= ⊥BC

2 2

? 2 ? ? 2 ? ? ? ? a∵AD +PD = ? ? 2 a? ? ? 2 a? ? ? ? ?
2 2

=a =AP ∴Δ APD 为直角三角形即 AD⊥DP 又∵AD

2

2

∴AD⊥平面 PBC ∴平面 ABC⊥平面 PBC 12. 如图,直角 BAC 在 ? 外, 角。

AB // ?



AC ? ? ? C ,求证: ?BAC

在 ? 内射影 ?CA?B ? 为直

A

B

A' C

B' α

证:如图所示,

AA ? ? ? 、 B B ? ? ?

?B ?A?C 为射影

AA? // BB ? 确定平面 ?

? ? ? ? ? A?B ?? ? ? AB ? ? ? ? AB // AB ?? ? ? AB ? AA? ? AB // ? ? ? AA? ? A?B ? ? ? AB ? AC

? ? ? ? ? ? AB ? 面AA?C ? ? ? ?

? A?B? ? 面CA?A ? A?B? ? CA? ? ?CA?B? 为直角
13 以 AB 为直径的圆在平面 ? 内, PA 于 F,试判断图中还有几组线面垂直。

? ? 于 A,C 在圆上,连 PB、PC 过 A 作 AE⊥PB 于 E,AF⊥PC

P E F A C
解:

B

? ? ? PA ? ? ? ? ? ? ? PA ? BC ? BC ? ? ? ? ? BC ? 面PAC? ? ? ? AF ? BC? ? AF ? 面 PAC AB为直径 ? AC ? BC? ? AF ? PC ? ? ? ? ? ? ?

? AF ? 面PBC ?

AF ? PB? ? ? PB ? AE ? PB? 面 AEF


两个平面垂直例题解析 1.在三棱锥 A—BCD 中,若 AD⊥BC,BD⊥AD,△BCD 是锐角三角形,那么必有( A.平面 ABD⊥平面 ADC B.平面 ABD⊥平面 ABC C.平面 ADC⊥平面 BCD D.平面 ABC⊥平面 BCD 【解析】由 AD⊥BC,BD⊥AD ∴平面 ADC⊥平面 BCD.

?AD⊥平面 BCD,面 AD ? 平面 ADC

【答案】C 2.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ACB=90°,AC=AA1=a,则点 A 到平面 A1BC 的距离是( A.a B. 2 a C. a D. 3 a 【解析】取 A1C 的中点 O,连结 AO,∵AC=AA1,∴AO⊥A1C 又该三棱柱是直三棱柱.∴平面 A1C⊥平面 ABC.又∵BC⊥AC∴BC⊥AO,



2 2

因 AO⊥平面 A1BC,即 A1O 等于 A 到平面 ABC 的距离.解得:A1O= a【答案】C 3.三个平面两两垂直,它们的三条交线交于一点 O,P 到三个面的距离分别是 3,4,5,则 OP 的长 为( ) A.5 3 B.5 2 C.3 5 D.2 5 【解析】构造一个长方体,OP 为对角线. 【答案】B 4. 在两个互相垂直的平面的交线上, 有两点 A、 B, AC 和 BD 分别是这两个平面内垂直于 AB 的线段, AC=6,AB=8,BD=24,则 C、D 间距离为_____. 【解析】如图,CD=

2 2

CA2 ? AD2

=

CA2 ? AB2 ? BD2

=

62 ? 82 ? 242

=

676 =26

【答案】26 5.设两个平面α 、β ,直线 l,下列三个条件:①l⊥α ,②l∥β ,③ α ⊥β .若以其中两个作为前 提,另一个作为结论,则可构成三个命题,这三个命题中正确的命题个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 【解析】①② ?③,其余都错【答案】C 【典型例题精讲】 [例 1] 如图 9—39,过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°, ∠BSC=90°,求证:平面 ABC⊥平面 BSC.

图 9—39 【证明】∵SB=SA=SC,∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC 取 BC 的中点 O,连 AO、SO,则 AO⊥ BC,SO⊥BC,

∴∠AOS 为二面角的平面角,设 SA=SB=SC=a,又∠BSC=90°,∴BC=

2 a,SO=

2 2

a,

1 AO =AC -OC =a - 2
2 2 2 2

a2,∴SA2=AO2+OS2,∴∠AOS=90°,从而平面 ABC⊥平面 BSC. 【评述】要证两平面垂直,证其二面角的平面角为直角.这也是证两平面垂直的常用方法. [例 2]如图 9—40,在三棱锥 S—ABC 中,SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC.

1 a=2
2

图 9—40 (1)求证:AB⊥BC; (2)若设二面角 S—BC—A 为 45°,SA=BC,求二面角 A—SC—B 的大小. (1) 【证明】 作 AH⊥SB 于 H, ∵平面 SAB⊥平面 SBC. 平面 SAB∩平面 SBC=SB, ∴AH⊥平面 SBC, 又 SA⊥平面 ABC,∴SA⊥BC,而 SA 在平面 SBC 上的射影为 SB,∴BC⊥SB,又 SA∩SB=S, ∴BC⊥平面 SAB.∴BC⊥AB. (2) 【解】∵SA⊥平面 ABC,∴平面 SAB⊥平面 ABC,又平面 SAB⊥平面 SBC,∴∠SBA 为二面角 S—BC—A 的平面角, ∴∠SBA=45°.设 SA=AB=BC=a,

作 AE⊥SC 于 E, 连 EH, 则 EH⊥SC, ∴∠AEH 为二面角 A—SC—B 的平面角, 而 AH=

2 2

a, AC=

2 a,

SC=

3 a,AE=

6 3

a

∴sin∠AEH= 【注】三垂线法是作二面角的平面角的常用方法. [例 3]如图 9—41,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是矩形,PA=AD=a,M、N 分别是 AB、PC 的 中点.

3 2 ,二面角 A—SC—B 为 60°.

(1)求平面 PCD 与平面 ABCD 所成的二面角的大小; (2)求证:平面 MND⊥平面 PCD (1) 【解】PA⊥平面 ABCD,CD⊥AD, ∴PD⊥CD,故∠PDA 为平面 ABCD 与平面 PCD 所成二面角的平面角,在 Rt△PAD 中,PA=AD, ∴∠PDA=45°

(2) 【证明】取 PD 中点 E,连结 EN,EA,则 EN CD AM,∴四边形 ENMA 是平行四边 形,∴EA∥MN. ∵AE⊥PD,AE⊥CD,∴AE⊥平面 PCD,从而 MN⊥平面 PCD,∵MN ? 平面 MND,∴平面 MND ⊥平面 PCD. 【注】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直,本题中要证 MN⊥平面 PCD 较困难,转化为证明 AE⊥ 平面 PCD 就较简单了.另外,在本题中,当 AB 的长度变化时,可求异面直线 PC 与 AD 所成角的范围. [例 4]如图 9—42,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、M、N 分别是 A1B1、BC、C1D1、B1C1 的 中点.

1 2

图 9—42 (1)求证:平面 MNF⊥平面 ENF. (2)求二面角 M—EF—N 的平面角的正切值. (1) 【证明】∵M、N、E 是中点,∴ EB1 ? B1 N ? NC1 ? C1 M ∴ ?ENB1 ? ?MNC1 ? 45? ∴ ?MNE ? 90? 即 MN⊥EN,又 NF⊥平面 A1C1, MN ? 平面A1C1 ∴MN⊥NF,从而 MN⊥平面 ENF.∵MN ? 平面 MNF, ∴平面 MNF⊥平面 ENF. (2) 【解】过 N 作 NH⊥EF 于 H,连结 MH.∵MN⊥平面 ENF,NH 为 MH 在平面 ENF 内的射影, ∴由三垂线定理得 MH⊥EF ,∴∠MHN 是二面角 M —EF—N 的平面角.在 Rt△MNH 中,求得

MN=

2 2

a,NH=

3 3 a,
6 ,即二面角 M—EF—N 的平面角的正切值为 2 .

MN 6 ? 2 ∴tan∠MHN= NH

[例 5]在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 分别是 AB1、CB1 的中点,求证:平面 D1EF⊥平面 AB1C. 【证明】如图 9—43,∵E、F 分别是 AB1、CB1 的中点,

2 的正方形,侧棱长为 3 ,E、F

图 9—43∴EF∥AC.∵AB1=CB1,O 为 AC 的中点.∴B1O⊥AC.故 B1O⊥EF.在 Rt△B1BO 中,∵ BB1=

3 ,BO=1.

OB1=1(O1 为 BO 与 EF 的交点) ∴△D1B1O1 是直角三角形,即 B1O⊥D1O1,∴B1O⊥平面 D1EF.又 B1O ? 平面 AB1C,∴平面 D1EF ⊥平面 AB1C. 1.棱长都是 2 的直平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,∠BAD=60°,则对角线 A1C 与侧面 DCC1D1 所成角的正弦值为_____. 【解】过 A1 作 A1G⊥C1D1 于 G,由于该平行六面体是直平行六面体,∴A1G⊥平面 D1C,连结 CG, ∠A1CG 即为 A1C 与侧面 DCC1D1 所成的角.

1 ∴∠BB1O=30°,从而∠OB1D1=60°,又 B1D1=2,B1O1= 2



A1G=
2

A1
2

D1

·

sin



A1

D1

G=2sin60

°

=2

·

3 2

=

3



AC= A1C=

AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos120?
A1 A ? AC ? 4 ? 12 ? 4 ,
2 2

=

1 22 ? 22 ? 2 ? 2 ? 2 ? (? ) ? 2 3 2



∴sin∠A1CG= 2.E、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 CD 的中点,EF、BD 相交于 O,以 EF 为棱将正方形折成直 二面角,则∠BOD=_____. 【解析】设正方形的边长为 2a.

A1G 3 3 ? A1C 4 . 【答案】 4


2

DO2=a2+a2=2a2OB2=a2+a2=2a2DB2=DF2+FB2=a2+4a2+a2=6a2
2 2



cos



2a ? 2a ? 6a 1 ?? 2 DOB= 2 ? 2a ? 2a
∴∠DOB=120°

? 3.如图 9—44,已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的各棱长均为 2,侧棱与底面成 3 的角,侧面 ABB1A1
垂直于底面,

图 9—44 (1)证明:B1C⊥C1A. (2)求四棱锥 B—ACC1A1 的体积.

(1) 【证明】过 B1 作 B1O⊥AB 于 O,∵面 ABB1A1⊥底面 ABC,面 ABB1 A1 ? 面ABC ? AB ∴

? B1O⊥面 ABC,∴∠B1BA 是侧棱与底面所成角,∴∠B1BA= 3 ,又各棱长均为 2,∴O 为 AB 的中点,
连 CO,则 CO⊥AB,而 OB1∩CO=O, ∴AB⊥平面 B1OC,又 B1C ? 平面 OB1C,∴B1C⊥AB,连 BC1,∵BCC1B1 为边长为 2 的菱形,∴B1C ⊥BC1,而 AB∩BC1=B, ∴B1C⊥面 ABC1∵A1C ? 面 ABC1∴B1C⊥AC1

(2) 【解】在 Rt△BB1O 中,BB1=2,BO=1,B1O= 柱=1,

3 ,V



=Sh=

1 3 4 ·4· 3 =3,∴ VB? A1B1C1 = 3 V

- B? A1B1C1 =3-1=2 4.如图 9—45,四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,PA⊥底面 ABCD,E 为 AB 的中点, 且 PA=AB.


VB? AA1C1C =V

V

图 9—45 (1)求证:平面 PCE⊥平面 PCD; (2)求点 A 到平面 PCE 的距离. (1) 【证明】PA⊥平面 ABCD,AD 是 PD 在底面上的射影, 又∵四边形 ABCD 为矩形,∴CD⊥AD,∴CD⊥PD,∵AD∩PD=D∴CD⊥面 PAD,∴∠PDA 为二面 角 P—CD—B 的平面角, ∵PA=PB=AD, PA⊥AD∴∠PDA=45°, 取 Rt△PAD 斜边 PD 的中点 F, 则 AF⊥PD, ∵AF ? 面 PAD ∴CD⊥AF,

又 PD∩CD=D∴AF⊥平面 PCD, 取 PC 的中点 G, 连 GF、 AG、 EG, 则 GF

1 2

CD 又 AE

1 2

CD,

∴GF AE∴四边形 AGEF 为平行四边形∴AF∥EG,∴EG⊥平面 PDC 又 EG ? 平面 PEC, ∴平面 PEC⊥平面 PCD. (2) 【解】由(1)知 AF∥平面 PEC,平面 PCD⊥平面 PEC,过 F 作 FH⊥PC 于 H,则 FH⊥平面 PEC ∴FH 为 F 到平面 PEC 的距离,即为 A 到平面 PEC 的距离.在△PFH 与 △PCD 中,∠P 为公共角,

而 ∠ FHP= ∠ CDP=90 ° , ∴ △ PFH ∽ △ PCD . ∴ PC=

FH PF ? CD PC

, 设 AD=2 , ∴ PF=

2



PD2 ? CD2 ? 8 ? 4 ? 2 3 ,
2 6 ?2 ? 3 ∴FH= 2 3
∴A 到平面 PEC 的距离为

6 3



5.已知直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面是菱形,对角线 AC=2,BD=2 BB1 上的点,且满足 EC=BC=2FB.

3 ,E、F 分别为棱 CC1、

图 9—46 (1)求证:平面 AEF⊥平面 A1ACC1; (2)求异面直线 EF、A1C1 所成角的余弦值. (1) 【证明】∵菱形对角线 AC=2,BD=2

3 ∴BC=2,EC=2,FB=1,取 AE 中点 M,连结 MF,设

BD 与 AC 交于点 O,MO

1 2

EC

FB ?

平面 AEF⊥平面 ACC1A1 (2)在 AA1 上取点 N,使 AN=2,连结 NE,则 NE AC A1C1

故∠NEF 为异面直线 A1C1 与 EF 所成的角,连结 NF,在直角梯形 NABF 中易求得 NF= 得 EF=

5 ,同理求

5.

3? 4 ?5 5 5 ? 5 ,即 EF 与 A1C1 所成角的余弦值为 5 . 在△ENF 中,cos∠NEF= 2 ? 2 ? 5
【拓展练习】 一、备选题 1.如图,AB 是圆 O 的直径,C 是圆周上一点,PA⊥平面 ABC. (1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC; (2)若 D 也是圆周上一点,且与 C 分居直径 AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.

(1) 【证明】∵C 是 AB 为直径的圆 O 的圆周上一点,AB 是圆 O 的直径 ∴BC⊥AC; 又 PA⊥平面 ABC,BC ? 平面 ABC, ∴BC⊥PA,从而 BC⊥平面 PAC. ∵BC ? 平面 PBC, ∴平面 PAC⊥平面 PBC. (2) 【解】平面 PAC⊥平面 ABCD;平面 PAC⊥平面 PBC;平面 PAD⊥平面 PBD;平面 PAB⊥平面 ABCD;平面 PAD⊥平面 ABCD.

1 2.ABC—A′B′C′是正三棱柱,底面边长为 a,D,E 分别是 BB′,CC′上的一点,BD= 2
EC=a. (1)求证:平面 ADE⊥平面 ACC′A′; (2)求截面△ADE 的面积.

a,

(1) 【证明】分别取 A′C′、AC 的中点 M、N,连结 MN, 则 MN∥A′A∥B′B, ∴B′、M、N、B 共面,∵M 为 A′C′中点,B′C′=B′A′,∴B′M⊥A′C′,又 B′M⊥AA′ 且 AA′∩A′C′=A′ ∴B′M⊥平面 A′ACC′. 设 MN 交 AE 于 P,

a ∵CE=AC,∴PN=NA= 2 . 1 又 DB= 2 a,∴PN=BD.
∵PN∥BD, ∴PNBD 是矩形,于是 PD∥BN,BN∥B′M, ∴PD∥B′M. ∵B′M⊥平面 ACC′A′, ∴PD⊥平面 ACC′A′,而 PD ? 平面 ADE, ∴平面 ADE⊥平面 ACC′A′. (2) 【解】∵PD⊥平面 ACC′A′,

∴PD⊥AE,而 PD=B′M= AE=

3 2 a,

∴S△

2 a. 1 ADE= 2 ×AE×PD
2a ?
×

1 =2

3 6 2 a? a 2 4 .

2009~2013 年高考真题备选题库
1.(2012 广东,13 分)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中, AB⊥平面 PAD,AB∥CD,PD=AD,E 是 PB 的中点,F 是 DC

1 上的点且 DF= AB,PH 为△PAD 中 AD 边上的高. 2 (1)证明:PH⊥平面 ABCD; (2)若 PH=1,AD= 2,FC=1,求三棱锥 E-BCF 的体积; (3)证明:EF⊥平面 PAB. 解:(1)证明:因为 AB⊥平面 PAD,所以平面 PAD⊥平面 ABCD;因为 PH 为△PAD 中 AD 边上的高,所以 PH⊥AD,又平面 PAD∩平面 ABCD=AD,PH?平面 PAD,所以 PH⊥ 平面 ABCD. 1 1 (2)因为 E 为 PB 的中点,所以 E 点到平面 ABCD 的距离为 PH= , 2 2 1 1 2 S△BCF= ×CF×AD= ×1× 2= . 2 2 2 1 1 2 2 所以三棱锥 E-BCF 的体积 V= × × = . 3 2 2 12 (3)证明:如右图,取 AB 的中点 M,连接 MF、EM,取 PA 的中点 N,连接 NE、DN. 1 因为 AB∥CD,DF= AB,所以 NE 綊 AM 綊 DF,所以四边 2 形 DNEF 为平行四边形,所以 EF 綊 DN. 因为 PD=AD,所以 DN⊥PA,又因为 AB⊥平面 PAD,所以 DN⊥AB,PA∩AB=A,所 以 DN⊥平面 PAB,所以 EF⊥平面 PAB. 2.(2012 福建,12 分)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB =AD=1,AA1=2,M 为棱 DD1 上的一点. (1)求三棱锥 A-MCC1 的体积; (2)当 A1M+MC 取得最小值时,求证:B1M⊥平面 MAC. 解:(1)由长方体 ABCD-A1B1C1D1 知, AD⊥平面 CDD1C1, ∴点 A 到平面 CDD1C1 的距离等于 AD=1, 1 1 又 S△MCC1= CC1×CD= ×2×1=1, 2 2 1 1 ∴VA-MCC1= AD· S△MCC1= . 3 3 (2)证明:将侧面 CDD1C1 绕 DD1 逆时针转 90° 展开,与侧面 ADD1A1 共面(如图),当 A1, M,C′共线时,A1M+MC 取得最小值. 由 AD=CD=1,AA1=2,得 M 为 DD1 中点. 连接 C1M,在△C1MC 中,MC1= 2,MC= 2,CC1=2,
2 2 ∴CC2 ,即 CM⊥MC1. 1=MC1+MC ,得∠CMC1=90°

又由长方体 ABCD-A1B1C1D1 知,B1C1⊥平面 CDD1C1, ∴B1C1⊥CM. 又 B1C1∩C1M=C1,∴CM⊥平面 B1C1M,得 CM⊥B1M; 同理可证,B1M⊥AM, 又 AM∩MC=M,∴B1M⊥平面 MAC. 3.(2011 新课标全国,12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ DAB=60° ,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (1)证明:PA⊥BD; (2)设 PD=AD=1,求棱锥 D-PBC 的高. 解:(1)证明:因为∠DAB=60° ,AB=2AD, 由余弦定理得 BD= 3AD. 从而 BD2+AD2=AB2,故 BD⊥AD. 又 PD⊥底面 ABCD,可得 BD⊥PD. 所以 BD⊥平面 PAD.故 PA⊥BD. (2)如图,作 DE⊥PB,垂足为 E. 已知 PD⊥底面 ABCD,故 PD⊥BC. 由(1)知 BD⊥AD,又 BC∥AD,所以 BC⊥BD.故 BC⊥平面 PBD,BC⊥DE. 则 DE⊥平面 PBC. 由 PD=AD=1 知 BD= 3,PB=2. 由 DE· PB=PD· BD,得 DE= 即棱锥 D-PBC 的高为 3 . 2 3 . 2

4.(2010 广东,14 分)如图, AEC 是半径为 a 的半圆,AC 为 直径,点 E 为 AC 的中点,点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点,平 面 AEC 外一点 F 满足 FC⊥平面 BED,FB= 5a. (1)证明:EB⊥FD; (2)求点 B 到平面 FED 的距离. 解:(1)证明:∵点 E 为 AC 的中点,且 AB=BC,AC 为直径, ∴EB⊥AC. ∵FC⊥平面 BED,且 BE?平面 BED. ∴FC⊥EB. ∵FC∩AC=C,

∴EB⊥平面 BDF, ∵FD?平面 BDF, ∴EB⊥FD. (2)∵FC⊥平面 BED,且 BD?平面 BED, ∴FC⊥BD. 又∵BC=DC, ∴FD=FB= 5a. 1 11 2a3 ∴VE-FBD= · S△FBD· EB= ·· 2a· 5a2-a2· a= . 3 32 3 ∵EB⊥平面 BDF,且 FB?平面 BDF,∴EB⊥BF, ∴EF= FB2+EB2= a2+5a2= 6a. ∵EB⊥BD, ∴ED= EB2+BD2= a2+4a2= 5a. 1 6 21 2 ∴S△FED= · 6a· ? 5a?2-? a?2= a. 2 2 2

VE-FBD 4 21 ∴点 B 到平面 FED 的距离 d= = a. 1 21 ·S△FED 3


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