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上海2013届高三理科数学最新试题精选


上海 2013 届高三理科数学最新试题精选(13 份含 16 区二模)分类汇编 9: 圆锥曲线
解答题 1. (上海徐汇、松江、金山区 2013 年高考二模理科数学试题) 已知双曲线 C 的中心在原

点, D ?1,0? 是它的一个顶点, d ? (1, 2) 是它的一条渐近线的一个方向向量. (1) (2) 交于 A, B 两点 ( A, B 都

不同于点 D ), 求证: DA ? DB 为定值; (3) 对 于 双 曲 线 求双曲线 C 的方程; 若过点 ( ?3, 0 ) 任意作一条直线与双曲线 C

?:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0, a ? b) , E 为它的右顶点, M , N 为双曲线?上的两点(都不 a 2 b2

同于点 E ),且 EM ? EN ,那么直线 MN 是否过定点?若是,请求出此定点的坐标;若不 是,说明理由.然后在以下三个情形中选择一个,写出类似结论(不要求书写求解或证明 过程). 情形一:双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0, a ? b) 及它的左顶点; a 2 b2
2

情形二:抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 及它的顶点;

情形三:椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 及它的顶点. a 2 b2

2. (上海市闸北区 2013 届高三第二学期期中考试数学(理)试卷)本题满分 18 分,第 1 小题满

分 8 分,第 2 小题满分 10 分

3 1 , ) 的距离与到定直线 2 2 l1 : 3x ? y ? 2 ? 0 的距离相等的动点 P 的轨迹,曲线 C 2 是由曲线 C1 绕坐标原点 O 按 ? 顺时针方向旋转 30 形成的. (1)求曲线 C1 与坐标轴的交点坐标,以及曲线 C 2 的方程; (2)过定点 M 0 (m,0) (m ? 2) 的直线 l 2 交曲线 C 2 于 A 、 B 两点,已知曲线 C 2 上存在不
在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 曲 线 C1 为 到 定 点 F ( 同的两点 C 、 D 关于直线 l 2 对称.问:弦长 CD 是否存在最大值?若存在,求其最大值; 若不存在,请说明理由.

3. (上海市十二校 2013 届高三第二学期联考数学(理)试题 )本题共有 3 个小题,第 1 小题

满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的顶点和焦点分别是椭圆 E 的焦点和顶点 6 2

(1)求椭圆 E 的方程. (2)已知椭圆 E 上的定点 C( x0 , y0 ) 关于坐标原点的对称点为 D,设点 P 是椭圆 E 上的任 意一点,若直线 CP 和 DP 的斜率都存在且不为零,试问直线 CP 和 DP 的斜率之积是定值吗? 若是,求出此定值;若不是,请说明理由. (3)对于椭圆 E 长轴上的某一点 S ( s, 0) (不含端点),过 S ( s, 0) 作动直线 L (不与 x 轴重 合)交椭圆 E 于 M、N 两点,若点 T (t , 0) 满足 OS ? OT ? 8 ,求证: ?MTS ? ?NTS .
4. (上海市普陀区 2013 届高三第二学期(二模)质量调研数学(理)试题)本大题共有 3 小题,

第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分 ,第 3 小题满分 6 分. 在平面直角坐标系 xOy 中 , 方向向量为 d ? (1, k ) 的直线 l 经过椭圆 的右焦点 F ,与椭圆相交于 A 、 B 两点 (1)若点 A 在 x 轴的上方,且 | OA |?| OF | ,求直线 l 的方程; (2)若 k ? 0 , P(6,0) 且△ PAB 的面积为 6 ,求 k 的值;

x2 y2 ? ?1 18 9

(3)当 k ( k ? 0 )变化时,是否存在一点 C ( x0 ,0) ,使得直线 AC 和 BC 的斜率之和为 0 , 若存在,求出 x0 的值;若不存在,请说明理由.

y

O

F

x

第 22 题

5. (上海市黄浦区 2013 年高考二模理科数学试题)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第

2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 设抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,经过点 F 的动直线 l 交抛物线 C 于点

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 且 y1 y2 ? ?4 .
(1)求抛物线 C 的方程; (2)若 OE ? 2(OA ? OB) ( O 为坐标原点),且点 E 在抛物线 C 上,求直线 l 倾斜角; (3)若点 M 是抛物线 C 的准线上的一点,直线 MF , MA, MB 的斜率分别为 k0 , k1 , k2 .求 证: 当 k0 为定值时, k1 ? k2 也为定值.

6. (上海市虹口区 2013 年高考二模数学(理)试题 )已知抛物线 C : y

2

? 2 px ( p ? 0) ,直

线 l 交此抛物线于不同的两个点 A( x1 , (1)当直线 l 过点 M ( p,

y1 ) 、 B( x2 ,

y2 ) .

0) 时,证明 y1 ? y 2 为定值;

(2)当 y1 y 2 ? ? p 时,直线 l 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明 理由; (3)如果直线 l 过点 M ( p,

0) ,过点 M 再作一条与直线 l 垂直的直线 l ? 交抛物线 C 于

E .设线段 AB 的中点为 P ,线段 DE 的中点为 Q ,记线段 PQ 的中点为 两个不同点 D 、

N .问是否存在一条直线和一个定点 ,使得点 N 到它们的距离相等?若存在,求出这条
直线和这个定点;若不存在,请说明理由.
7. (上海市奉贤区 2013 年高考二模数学(理)试题 ) 动圆 C 过定点 F ?

?p ? ,0 ? ,且与直线 ?2 ?

x??

(1)求 F ?x, y ? ? 0 ;

p 相切,其中 p ? 0 .设圆心 C 的轨迹 ? 的程为 F ?x, y ? ? 0 2

(2)曲线 ? 上的一定点 P?x0 , y0 ? ( y0 ? 0) ,方向向量 d ? ? y 0 ,? p ? 的直线 l (不过 P 点) 与曲线 ? 交与 A、B 两点,设直线 PA、PB 斜率分别为 k PA , k PB ,计算 k PA ? k PB ; ? ? ,分别过点 P , Q 作倾斜角互补的两 (3)曲线 ? 上的两个定点 P0 ?x0 , y 0 ? 、 Q0 ? ? x0 , y 0 ? ? 0 0 ? ? 条直线 P0 M , Q0 N 分别与曲线 ? 交于 M , N 两点,求证直线 MN 的斜率为定值;

8. (2013 年上海市高三七校联考(理) )本题共有 2 小题,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分

7 分.

0) 且斜率为 k1 的直线交抛物线于 如图,已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,过点 P(2,
2

BF 分别与抛物线交于点 M 、 N. A( x1, y1 ) , B( x2, y2 ) 两点,直线 AF、
(1)证明 OA ? OB 的值与 k1 无关,并用 y1,y2 表示 k1 ; (2)记直线 MN 的斜率为 k2 ,证明 y N 0 M B
第 21 题图

k1 为定值. k2

A

F

P

x

9. (2013 届浦东二模卷理科题) 本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,

第(3)小题满分 8 分. (1) 设椭圆 C1 :

x2 y2 9 y2 2 ? ? 1 9 x ? ? 1 有相同的焦点 F1、F2 , M 是 与双曲线 : C 2 8 a2 b2

椭圆 C1 与双曲线 C2 的公共点,且 ?MF 1F2 的周长为 6 ,求椭圆 C1 的方程; 我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”. (2)如图,已知“盾圆 D ”的方程为 y 2 ? ?

的任意一点 M 到 F ? 1,0 ? 的距离为 d1 , M 到直线 l : x ? 3 的距离为 d 2 ,求证: d1 ? d 2 为定值; y

(0 ? x ? 3) ? 4x .设“盾圆 D ”上 ? ? 12( x ? 4) (3 ? x ? 4)

o

3

x

2 (3) 由 抛 物 线 弧 E1 : y ? 4 x ( 0 ? x ?

2 ) 与 第 (1) 小 题 椭 圆 弧 3

x2 y2 2 ? 2 ? 1 ( ? x ? a )所合成的封闭曲线为“盾圆 E ”.设过点 F ? 1,0 ? 的直 2 3 a b 线与“盾圆 E ”交于 A、B 两点 , | FA |? r1 , | FB |? r2 且 ?AFx ? ? ( 0 ? ? ? ? ), 试 r 用 cos? 表示 r1 ;并求 1 的取值范围. r2

E2 :

10. (2013 届闵行高三二模模拟试卷(数学)理科)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,

第(2)小题满分 8 分. 已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O , 焦点在坐标轴上 , 且经过 M (2,1)、N (2 2,0) 两 点, P 是 E 上的动点. (1)求 OP 的最大值; (2)若平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 b(b ? 0) ,直线 l 交椭圆 E 于两个不同点

A、B ,求证:直线 MA 与直线 MB 的倾斜角互补.
解:

上海 2013 届高三理科数学最新试题精选(13 份含 16 区二模)分类汇编 14:算 数 姓名________ ____班级___________学号____________分数______________
一、填空题 11 . (上海徐汇、松江、金山区 2013 年高考二模理科数学试题) 已知 x ? ?3 ? 2i ( i 为虚数单

位)是一元二次方程 x ? ax ? b ? 0 ( a , b 均为实数)的一个根,则 a ? b =__________.
2

12 . (四区(静安杨浦青浦宝山)联考 2012 学年度第二学期高三(理) ) 若复数

z 满足

z ? i (2 ? z ) ( i 是虚数单位),则 z ? _____________.
13 . (上海市闸北区 2013 届 高三第二学期期中考试数学 ( 理 ) 试卷) 设 i 为虚数单位 , 集合

1? i? ? A?? 1,?1, i,?i?,集合 B ? ?i10 ,1 ? i 4 , (1 ? i)(1? i), ? ,则 A ? B ? ____. 1? i? ?
14 . ( 上 海 市 普 陀 区 2013 届 高 三 第 二 学 期 ( 二 模 ) 质 量 调 研 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 若

z1 ? a ? 2i , z 2 ? 1 ? i ( i 表示虚数单位),且

z1 为纯虚 数,则实数 a ? ____ __. z2

(1 ? i) 3 15 . (上海市虹口区 2013 年高考二模数学 (理) 试题 ) 已知复数 z ? ,则 z ? _____ __. 1? i
16 . (上海市奉贤区 2013 年高考二模数学 (理) 试题 ) 关于 x 的方程 x ? m x ? 2 ? 0
2

的一个根是 1 ? ni n ? R

?

?

?,

?m ? R?

在复平面上的一点 Z 对应的复数 z 满足 z ? 1,则 z ? m ? ni 的取值范围是________
17 . (上海市长宁、嘉定区 2013 年高考二模数学(理)试题 )已知复数 z 满足

i =3,则 z ?1

复数 z 的实部与虚部之和为__________.
18 . (上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学(理)试题)若 z ? C ,且 (3 ? z )i ? 1 ,

则 z ? ________________.

z 在复平面 19 . (2013 年上海市高三七校联考(理) )已知复数 z ? 1 ? i 的共轭复数是 z , z、

B , O 为坐标原点,则 ?AOB 的面积是___________. 内对应的点分别是 A、
20 . ( 2013 届浦东二模卷理科 题) 已知复数

z 满足 i ? z ? 1 ? i ( 其中 i 为虚数单位 ), 则

z =_______.

上海交通大学附中 2014 版《创新设计》高考数学一轮复习考前抢分 必备单元训练:圆锥曲线与方程
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上)

C: 13.已知 F 1 、 F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,点 A ? C ,点 M 的坐标为 9 27
.

(2,0), AM 为 ?F 1 AF2 的平分线.则 | AF2 |?

14.直线 l : 3x ? y ? 3 ? 0 与抛物线 y 2 ? 4 x 相交于 A、B 两点,与 x 轴相交于点 F ,若

OF ? ?OA ? ?OB (? ? ? ) ,则

? ? ?



15.设 AB 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的不垂直于对称轴的弦, M 为 AB 的中点, O 为坐标原点, a 2 b2

则 k AB ? kOM ? ____________。 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 19.已知抛物线的顶点是椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 的中心 O ,焦点与该椭圆的右焦点重合. 4 3

(Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)设椭圆 C 的右准线交 x 轴于点 Q,过点 Q 的直线 l 交抛物线于 D、E 两点。求 ?ODE 面 积的最小值; B 分别为椭圆 C 的左、 (Ⅲ) 设A、 右顶点, P 为右准线上不同于点 Q 的任意一点, 若直线 AP 、 BP 分别与椭圆相交于异于 A 、 B 的点 M 、 N 。求证:点 B 在以 MN 为直径的圆内. 【答案】 (1)由题意,可设抛物线方程为 y ? 2 px? p ? 0? .
2
2 2 由 a ? b ? 4 ? 3 ? 1 ,得 c ? 1 . ? 抛物线的焦点为 ?1,0? ,? p ? 2 .

? 抛物线的方程为 y 2 ? 4 x . (2)? 椭圆的右准线方程为 x ? 4 ,? Q(4,0) 设直线 l 的方程为 x ? ay ? 4 , D?x1 , y1 ? , E ?x2 , y2 ? . ? x ? ay ? 4 联立 ? 2 ,整理得: y 2 ? 4ay ? 16 ? 0 ? y1 ? y2 ? 4a, y1 y2 ? ?16 ? y ? 4x 1 ? S ?ODE ? OQ ? y1 ? y2 ? 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 8 a 2 ? 4 2 ? 当 a ? 0 时, (S?ODE )min ? 16
(3) ? A(-2,0) ,B(2,0).设 M(x0,y0) (-2<x0<2). ∵M 点在椭圆上,∴y0=

3 2 (4-x0 ). 4

1 ○

又直线 AP 的方程为 y=

6 y0 y0 ). ( x ? 2) ,则 P(4, x0 ? 2 x0 ? 2 6 y0 ). x0 ? 2

从而 BM =(x0-2,y0) , BP =(2,

∴ BM · BP =2x0-4+

6 y0 2 2 2 = (x0 -4+3y0 ). x0 ? 2 x 0 ? 2
5 (2-x0). 2

2

2 ○

将○ 1 代入○ 2 ,化简得 BM · BP =

∵2-x0>0,∴ BM · BP >0,则∠MBP 为锐角,从而∠MBN 为钝角, 故点 B 在以 MN 为直径的圆内。 20.已知抛物线 C 的一个焦点为 F( ,0) ,对应于这个焦点的准线方程为 x=- . (1)写出抛物线 C 的方程; (2)过 F 点的直线与曲线 C 交于 A、B 两点,O 点为坐标原点,求△AOB 重心 G 的轨迹方程; 2 2 (3)点 P 是抛物线 C 上的动点,过点 P 作圆(x-3) +y =2 的切线,切点分别是 M,N.当 P 点在何处时,|MN|的值最小?求出|MN|的最小值. 2 【答案】 (1)抛物线方程为:y =2x. (2)①当直线不垂直于 x 轴时,设方程为 y=k(x- ),代入 y =2x,得:k x -(k +2)x+ 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2),则 x1+x2=
k2 ?2 2 ,y1+y2=k(x1+x2-1)= . 2 k k
1 2
2 2 2 2

1 2

1 2

k2 ?0. 4

? 0 ? x1 ? x 2 k 2 ? 2 x? ? ? ? 3 3k 2 2 2 2 ? 设△AOB 的重心为 G(x,y)则 ? 0 ? y1 ? y 2 2 ,消去 k 得 y = x ? 为所求, y? ? 3 9 ? 3 3k ?

②当直线垂直于 x 轴时,A( ,1) ,B( ,-1) ,△AOB 的重心 G( ,0)也满足上述方 程.
[.Com]

1 2

1 2

1 3

综合①②得,所求的轨迹方程为 y = x ? , (3)设已知圆的圆心为 Q(3,0) ,半径 r= 2 , 根据圆的性质有:|MN|=2
2

2

2 3

2 9

| MP || MQ | | PQ | 2 ?r 2 2 ? 2r ? 2 2 ? 1? . | PQ | | PQ | 2 | PQ | 2

当|PQ| 最小时,|MN|取最小值, 2 2 2 设 P 点坐标为(x0,y0),则 y 02 =2x0.|PQ| =(x0-3) + y 02 = x 02 -4x0+9=(x0-2) +5, ∴当 x0=2,y0=±2 时,|PQ| 取最小值 5, 故当 P 点坐标为(2,±2)时,|MN|取最小值
2 30 5
2


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