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课时提升作业(八) 2.5


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课时提升作业(八)
对 数 函 数 (45 分钟 100 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.(2015·福州模拟)函数 f(x)= A.(-1,+

∞) C.(-1,1)∪(1,+∞) 【解析】选 C.要使 的定义域是( )

B.[-1,+∞) D.[-1,1)∪(1,+∞) 有意义,需满足 x+1>0 且 x-1≠0,得 x>-1 且 x≠1. )

2.下列函数中,既是偶函数,又在(0,1)上单调递增的函数是( A.y=|log3x| C.y=e|x| B.y=x3 D.y=cos|x|

【解析】选 C.函数 y=e|x|与 y=cos|x|是偶函数,函数 y=e|x|在(0,1)上单调递增, 故选 C. 3.(2015·厦门模拟)已知 0<a<1,b>1,且 ab>1,则 M=loga ,N=logab,P=logb 这三个数的大小关系为( A.P<N<M C.N<M<P ) B.N<P<M D.P<M<N

【解析】选 B.由题意,得 1>a> >0,b> , 所以 M=loga >logaa=1,
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N=logab<loga =-1, 而 P=logb =-1, 故 M>P>N. 4.已知函数 y=f(x)是奇函数, 当 x>0 时, f(x)=lgx, 则f A. B.C.lg 2 D.-lg 2 的值等于( )

【解析】选 D. 当 x<0 时, -x>0 ,则 f(-x)=lg(-x). 又函数 f(x) 为奇函数, f(-x)=-f(x),所以 f(x)=-lg(-x).所以 f f =f(-2)=-lg2. =lg =-2,

5.(2014·四川高考)已知 b>0,log5b=a,lgb=c,5d=10,则下列等式一定成立的 是( A.d=ac C.c=ad ) B.a=cd D.d=a+c = ,即 log510= ,又 5d=10,

【解析】选 B.因为 log5b=a,lgb=c,两式相除得 所以 log510=d, 所以 d= ,所以 a=cd.

6.(2015·漳州模拟)设函数 f(x)=loga|x|在(-∞,0)上单调递增,则 f(a+1)与 f(2)的大小关系是( A.f(a+1)>f(2) C.f(a+1)=f(2) ) B.f(a+1)<f(2) D.不能确定

【思路点拨】由 f(x)在(-∞,0)上的单调性先确定 a 的范围,进而比较 a+1 与 2 的大小,再利用 f(x)的单调性比较大小.
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【解析】选 A.由已知得 0<a<1,所以 1<a+1<2,根据函数 f(x)为偶函数,可以 判断 f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以 f(a+1)>f(2). 7.函数 f(x)= 的大致图象为( )

【解析】选 D.因为 f(x)= 8.已知函数 f(x)= A. B.

-

= =(

故结合图象知 D 正确. )

+ex,则 f(ln2)+f C. D.0

【思路点拨】根据 ln2 与 ln =-ln2 互为相反数,探究 f(-x)与 f(x)的关系,然 后求值. 【解析】选 A.令 g(x)= ,知 g(-x)==-g(x),

所以 f(x)+f(-x)=g(x)+g(-x)+ex+e-x=ex+e-x, 故 f(ln2)+f =eln2+e-ln2=2+ = .

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 9.(2014·陕西高考)已知 4a=2,lgx=a,则 x= 【解析】由 4a=2 得 a= ,又由 lgx=a 得 1 答案: 10.(2015·漳州模拟)函数 f(x)= 【 解 析 】 函 数 f(x)= {x|2<x≤12}. 答案:(2,12]
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. .

=x,即 x=

的定义域为 的定义域满足

. 解得

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11. 已知函数 f(x)=ln 是 .

,若 f(a)+f(b)=0 ,且 0<a<b<1,则 ab 的取值范围

【解析】由题意可知 ln 即 ln =0,从而

+ln 〓

=0, =1,

化简得 a+b=1,故 ab=a(1-a)=-a2+a =+ ,

又 0<a<b<1, 所以 0<a< ,故 0<答案: 12.( 能力挑战题)设定义在区间 [-m,m]上的函数 f(x)=log2 f ≠f ,则 nm 的范围为 是奇函数, . 是奇函数,且 + < .

【解析】函数 f(x)=log2 所以 f(-x)=log2 =-log2 所以 = =log2 , =-f(x) ,

所以 n2=4,n=〒2, 又当 n=-2 时,f(x)=log2 这与 f ≠f =0, ,易知 x∈ ,

矛盾,所以 n=2,f(x)=log2

所以由区间[-m,m]得 0<m< , 又f 所以 ,f ≤nm< 有意义,故 ≤m< , ,即 ≤n m< , ).
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所以 nm 的范围为[

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答案:[



)

三、解答题(13 题 12 分,14~15 题各 14 分) 13.设 f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且 f(1)=2. (1)求 a 的值及 f(x)的定义域. (2)求 f(x)在区间 上的最大值.

【解析】(1)因为 f(1)=2,所以 loga4=2(a>0,a≠1),所以 a=2. 由 得 x∈(-1,3),

所以函数 f(x)的定义域为(-1,3). (2)f(x)=log2(1+x)+log2(3-x) =log2(1+x)(3-x)=log2[-(x-1)2+4], 所以当 x∈(-1,1]时,f(x)是增函数; 当 x∈(1,3)时,f(x)是减函数, 函数 f(x)在 上的最大值是 f(1)=log24=2.

【加固训练】已知函数 f(x)=loga(3-ax). (1)当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有意义,求实数 a 的取值范围. (2)是否存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大 值为 1?如果存在,试求出 a 的值;如果不存在,请说明理由. 【解析】(1)由题设,3-ax>0 对一切 x∈[0,2]恒成立, 设 g(x)=3-ax,因为 a>0,且 a≠1, 所以 g(x)=3-ax 在[0,2]上为减函数. 从而 g(2)=3-2a>0,所以 a< . 所以 a 的取值范围为(0,1)∪ .
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(2)假设存在这样的实数 a,由题设知 f(1)=1, 即 loga(3-a)=1,所以 a= . 此时 f(x)=lo (3- x),

当 x=2 时,f(x)没有意义,故这样的实数 a 不存在. 14.函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(0)=0,当 x>0 时,f(x)=lo (1)求函数 f(x)的解析式. (2)解不等式 f(x2-1)>-2. 【解析】(1)当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=lo 因为函数 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x). 所以函数 f(x)的解析式为 (-x). x.

f(x)=

(2)因为 f(4)=lo

4=-2,

因为 f(x)是偶函数,所以不等式 f(x2-1)>-2 可化为 f(|x2-1|)>f(4). 又因为函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数, 所以|x2-1|<4,解得:即不等式的解集为(, <x< ). ,

15.(能力挑战题)若 f(x)=x2-x+b,且 f(log2a)=b,log2f(a)=2(a≠1). (1)求 f(log2x)的最小值及对应的 x 值. (2)x 取何值时,f(log2x)>f(1),且 log2f(x)<f(1). 【解析】(1)因为 f(x)=x2-x+b, 所以 f(log2a)=(log2a)2-log2a+b,
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由已知得(log2a)2-log2a+b=b, 所以 log2a(log2a-1)=0. 因为 a≠1,所以 log2a=1,即 a=2. 又 log2f(a)=2,所以 f(a)=4, 所以 a2-a+b=4,所以 b=4-a2+a=2, 故 f(x)=x2-x+2. 从而 f(log2x)=(log2x)2-log2x+2 = + . 时,f(log2x)有最小值 .

所以当 log2x= ,即 x= (2)由题意 ?

? 0<x<1. .

【加固训练】已知函数 f(x)=-x+log2 (1)求 f +f 的值.

(2)当 x∈(-a,a],其中 a∈(0,1),a 是常数时,函数 f(x)是否存在最小值? 若存在,求出 f(x)的最小值;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)由 f(x)+f(-x)=log2 所以 f +f =0. +log2 =log21=0.

(2)f(x)的定义域为(-1,1). 因为 f(x)=-x+log2 ,

当 x1<x2 且 x1,x2∈(-1,1)时,f(x)为减函数, 所以当 a∈(0,1),x∈(-a,a]时,f(x)单调递减,
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所以当 x=a 时,f(x)min=-a+log2

.

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