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2013海淀区高三年级第二学期期末练习数学理科


海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 (理科) 2013.5

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题 卡上,在试卷上 作答无效。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项 中,选出符合题目要求的一项.
1.集合 A ? ? x | ( x ?

1)( x ? 2 ) ? 0 ? , B ? ? x A. ( ? ? , 0 ] B. ( ? ? ,1] C. [1, 2 ]
x ? 0 ? ,则 A ? B ?

D. [1, ? ? )

2.已知数列 ? a n ? 是公比为 q 的等比数列,且 a 1 ? a 3 ? 4 , a 4 ? 8 ,则 a 1 ? q 的值为 A. 3 B. 2 C. 3 或 ? 2 D. 3 或 ? 3

3. 如图,在边长为 a 的正方形内有不规则图形 ? . 向正方形内随机撒豆子,若 撒在图形 ? 内和正方形内的豆子数分别为 m , n ,则图形 ? 面积的估计值为 A.
ma n
?

B.

na m

C.

ma n

2

D.

na m

2

4.某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为 A. 1 8 0 C. 276 D. 3 0 0
?R

B. 2 4 0
5

5.在四边形 A B C D 中, ? ? “ 为平行四边形”的 A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

, 使得 A B

??? ?

???? ???? ??? ? ? ? DC , AD ? ? BC

” “四边形 A B C D 是
主视图 6 6 左视图

6

B. 必要而不充分条件
俯视图

D. 既不充分也不必要条件

6.用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,且 5 不排在百位,2,4 都不排在个 位和万位,则这样的五位数个数为 A. 3 2 B.
36

C. 4 2

D. 4 8
? 4x

7.双曲线 C 的左右焦点分别为 F1 , F 2 ,且 F 2 恰为抛物线 y 2

的焦点,设双曲线 C 与该抛

物线的一个交点为 A ,若 ? A F1 F 2 是以 A F1 为底边的等腰三角形,则双曲线 C 的离心率为

A.

2

B. 1 ? 2

C. 1 ? 3

D. 2 ?

3

8. 若数列 { a n } 满足:存在正整数 T ,对于任意正整数 n 都有 a n ? T ? a n 成立,则称数列 { a n }
? a n ? 1, ? 已知数列 { a n } 满足 a 1 ? m ( m ? 0 ) , a n ? 1 = ? 1 , ?a ? n a n ? 1, 0 ? an ? 1.

为周期数列,周期为 T .

则下列结论中错误的是 .. A. 若 a 3 ? 4 ,则 m 可以取 3 个不同的值 B. 若 m ?
2 ,则数列 { a n } 是周期为 3 的数列
?1

C. ? T ? N * 且 T ? 2 ,存在 m D. ? m ? Q 且 m

, { a n } 是周期为 T 的数列

? 2 ,数列 { a n } 是周期数列

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9.在极坐标系中,极点到直线 ? c os ? ? 2 的距离为_______. 10.已知 a ? ln
1 2 , b ? sin 1 2 ,c ? 2
? 1 2

,则 a , b , c 按照从大到小排列为______. ....

11.直线 l1 过点 ( ? 2 , 0 ) 且倾斜角为 3 0 ? , 直线 l 2 过点 ( 2 , 0 ) 且与直线 l1 垂直, 则直线 l1 与直线 l 2 的交点坐标为____. 12.在 ? A B C 中, ? A
? 30 , ? B ? 45 , a ?
? ?

2

,则 b

? _ _ _ _ _ ; S ?ABC ? _____ .

13.正方体 A B C D ? A1 B1 C 1 D1 的棱长为 1 ,若动点 P 在线段 B D 1 上运动,则 D C ? A P 的取值 范围是______________. 14.在平面直角坐标系中,动点 P ( x , y ) 到两条坐标轴的距离之和等于它到点 (1,1) 的距离,记 点 P 的轨迹为曲线 W . (I) 给出下列三个结论: ①曲线 W 关于原点对称; ②曲线 W 关于直线 y ? x 对称;

???? ??? ?

③曲线 W 与 x 轴非负半轴, y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于 其中,所有正确结论的序号是_____; (Ⅱ)曲线 W 上的点到原点距离的最小值为______.

1 2



三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明 过程.
15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? 1 ?
cos 2 x 2 sin ( x ? π 4 )

.

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ) 求函数 f ( x ) 的单调递增区间.

16.(本小题满分 13 分) 福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面 值为 5 元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下: (1)该福利彩票中奖率为 50%; (2)每张中奖 彩票的中奖奖金有 5 元,50 元和 150 元三种; (3)顾客购买一张彩票获得 150 元奖金的概 率为 p ,获得 50 元奖金的概率为 2 % . (I)假设某顾客一次性花 10 元购买两张彩票,求其至少有一张彩票中奖的概率; (II)为了能够筹得资金资助福利事业, 求 p 的取值范围.

17. (本小题满分 14 分) 如图 1,在直角梯形 A B C D 中, ? A B C ? ? D A B ? 9 0 ? , ? C A B ? 3 0 ? , B C
AD ? 4 .
? 2



把 ? D A C 沿对角线 A C 折起到 ? P A C 的位置,如图 2 所示,使得点 P 在平面 A B C
[来源:Z。xx。k.Com]

上的正投影 H 恰好落在线段 A C 上,连接 P B ,点 E , F 分别为线段 P A , A B 的中点. (I) 求证:平面 E F H
//

平面 P B C ;

(II)求直线 H E 与平面 P H B 所成角的正弦值; (III)在棱 P A 上是否存在一点 M ,使得 M 到点 P , H , A , F 四点的距离相等?请说明理由.

D

P E
C

A

图1

B

A F

H B
图2

C

18.(本小题满分 13 分) 已知函数
f (x) ? e
x

,点 A ( a , 0 ) 为一定点,直线 x ? t ( t ? a ) 分别与函数 f ( x ) 的图象和 x

轴交于点 M , N ,记 ? A M N 的面积为 S ( t ) . (I)当 a ? 0 时,求函数 S ( t ) 的单调区间; (II)当 a ? 2 时, 若 ? t 0 ? [0, 2 ] ,使得 S ( t 0 ) ? e , 求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 M : 的四个顶点. (I)求椭圆 M 的方程; (II)直线 l 与椭圆 M 交于 A ,B 两点,且线段 A B 的垂直平分线经过点 ( 0 , ? ) ,求 ? AOB
2 1

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的四个顶点恰好是一边长为 2, 一内角为 6 0 ? 的菱形

( O 为原点)面积的最大值.

20.(本小题满分 13 分)

1

2

3

?7

设 A 是由 m ? n 个实数组成的 m 行 n 列的数表,如果某一行 (或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数 的符号,称为一次“操作”.

?2

1

0

1

(Ⅰ) 数表 A 如表 1 所示,若经过两次“操作” ,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数 之和均为非负实数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可) ;表 1 (Ⅱ) 数表 A 如表 2 所示,若必须经过两次“操作” ,才可使得到的数表每行的各数之和与每 列的各数之和均为非负整数,求整数 a 的所有可能值; .. (Ⅲ)对由 m ? n 个实数组成的 m 行 n 列的任意一个数表 A , 能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之 表 2 和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由.
a 2?a a ?1
2

?a a ?2

?a a
2

2

1? a

2

海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 (理科) 2013.5

参考答案及评分标准
说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 D 3
[来源:Zxxk.Com]

4 B

5 C

6 A

7 B

8 D

C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分)

9. 2 12. 2 ;
3 ?1 2

10. c

? b ? a

11.

(1,

3)

13. [0,1]

14.②③; 2 ?

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (I)因为 sin ( x ? 所以 x ?
源:Z_xx_k.Com]

π 4

)? 0

π 4

? kπ, k ? Z

????????2 分

[来

所以函数的定义域为 { x | x ? k π + (II)因为 f ( x ) ? 1 ?
c o s x ? sin x
2 2

π 4

, k ? Z}

????????4 分 ????????6 分

sin x ? c o s x

= 1 ? (c os x ? sin x )
? 1 ? sin x ? c os x

= 1?

2(x ?

π 4

)

????????8 分

又 y ? sin x 的单调递增区间为 ( 2 k π ? 令 解得
2kπ ? 2kπ ? π 2 3π 4 ? x? π 4 ? x ? 2kπ ? π 4 π 4 , 3π 4 ? 2kπ ? π 2

π 2

, 2kπ ?

π 2

) ,k ? Z

????????11 分

又注意到 x ? k π +

所以 f ( x ) 的单调递增区间为 ( 2 k π ?

, 2 kπ ?

π 4

),

k?Z

???????13 分

16. 解: (I)设至少一张中奖为事件 A
2 则 P ( A ) ? 1 ? 0 .5 ? 0 .7 5

???????4 分

(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为 ? 则 ? 可以取 5, 0, ? 4 5, ? 1 4 5
学科网]

???????6 分

[来源:

? 的分布列为 ?
P
5
50 %

0

?45
2%

?145

50 % ? 2 % ? p

p

???????8 分 所以 ? 的期望为 E ? ? 5 ? 50 % ? 0 ? (50 % ? 2 % ? p ) ? ( ? 4 5) ? 2 % ? ( ? 1 4 5) ? p
? 2 .5 ? 9 0 % ? 1 4 5 p

???????11 分 ???????12 分

所以当 1 .6 ? 1 4 5 p ? 0 时,即 p ? 所以当 0 ? p ?
8 725

8 725

时,福彩中心可以获取资金资助福利事业???????13 分

17.解: (I)因为点 P 在平面 A B C 上的正投影 H 恰好落在线段 A C 上 所以 P H ? 平面 A B C ,所以 P H ?
AC

???????1 分

因为在直角梯形 A B C D 中, ? A B C ? ? D A B ? 9 0 ? , ? C A B ? 3 0 ? ,
BC ? 2

, AD ? 4
? 4

所以 A C

, ? C A B ? 6 0 ? ,所以 ? A D C 是等边三角形, ???????2 分

所以 H 是 A C 中点,

所以 H E

/ /PC / /PB

???????3 分

同理可证 E F

又 HE ? EF ? E ,CP ? PB ? P 所以 E F H
/ /PBC

平面 P B C

???????5 分

(II)在平面 A B C 内过 H 作 A C 的垂线 如图建立空间直角坐标系, 则 A (0, ? 2 , 0 ) , P ( 0, 0, 2
3)

, B(

3 ,1, 0 )

???????6 分

因为 E ( 0, ? 1,

3)

, HE

????

z
? ( 0 , ? 1, ? 3)

P E A
3)

设平面 P H B 的法向量为 n
???? 因为 H B ? (

? ( x, y, z)

???? 3 ,1, 0 ) , H P ? ( 0 , 0 , 2

H F x B

C

y

???? ?HB ? 所以有 ? ???? ?HP ?

? ?n ? 0 ? ?n ? 0

,即 ?

? ?

3x ? y ? 0

?z ? 0 ?
y ? ? 3,


? n ? (



x ?

3,







3 , ? 3, 0 )

???????8 分
? ???? ? ???? n ? HE 3 3 ? c o s ? n , H E ? ? ? ????? ? ? 4 | n | ?| H E | 2 ? 2 3

???????10 分 所
3 4





线

HE







PHB

















???????11 分 ???????12 分
1 2 PA ? 2 ,

(III)存在,事实上记点 E 为 M 即可
E 因为在直角三角形 P H A 中, H ? P E ? E A ?

???????13

分 在直角三角形 P H B 中,点 P B ? 4 , E F ? 所 以 点
E
1 2 PB ? 2









P ,O ,C , F









等 18.解: (I) 因为 S ( t ) ? 当a 当t 所 增, 当t
? 0 ? 0

???????14 分
1 2 | t ? a | e ,其中 t ? a
t t

???????2 分

, S (t ) ?

1 2

| t | e ,其中 t ? 0 1 2 t e , S '( t ) ?
t

? 0

时, S ( t ) ?

1 2

( t ? 1)e ,
t



S ' t ?(

) ,

0 所



S (t )



(0, ? ? )





???????4 分 时, S ( t ) ? ?
1 2
t

1 2

t e , S '( t ) ? ?
t

1 2

( t ? 1)e ,
t

令 S '( t ) ? ? 令 S '( t ) ? ?

( t ? 1)e ? 0 , 解得 t ? ? 1 ,所以 S ( t ) 在 ( ? ? , ? 1) 上递增 ( t ? 1)e ? 0 , 解得 t ? ? 1 ,所以 S ( t ) 在 ( ? 1, 0 ) 上递减 ?????7 分
t

1 2

综上, S ( t ) 的单 调递增区间为 ( 0 , ? ? ) , ( ? ? , ? 1)
S (t )

的单调递增区间为 ( ? 1, 0 )
t

(II)因为 S ( t ) ? 当a
? 2

1 2

| t ? a | e ,其中 t ? a 1 2 ( a ? t )e
t

, t ? [0 , 2 ] 时, S ( t ) ?

因为 ? t 0 ? [0, 2 ] ,使得 S ( t 0 ) ? e ,所以 S ( t ) 在 [0 , 2 ] 上的最大值一定大于等于 e
S '( t ) ? ? 1 2 [ t ? ( a ? 1)]e
t





S' t ?

(

) ,

得0

t ? a ?1

???????8 分 当a
?1? 2

时,即 a

? 3
t



S '( t ) ? ?

1 2

[ t ? ( a ? 1)]e ? 0 对 t ? ( 0, 2 ) 成立, S ( t ) 单调递增

所以当 t
1

? 2

时, S ( t ) 取得最大值 S ( 2 ) ? ,解得
a ? 2 e ?2

1 2

( a ? 2 )e

2

2 令 ( a ? 2 )e ? e

, 以

2


a ? 3

???????10 分

当a

?1? 2

时,即 a

? 3时

S '( t ) ? ? S '( t ) ? ?

1 2 1 2

t [ t ? ( a ? 1)]e ? 0 对 t ? ( 0, a ? 1) 成立, S ( t ) 单调递增

t [ t ? ( a ? 1)]e ? 0 对 t ? ( a ? 1, 2 ) 成立, S ( t ) 单调递减

所以当 t

? a ? 1 时, S ( t )

取得最大值 S ( a ? 1) ? ,解得 a
? ln 2 ? 2

1 2

e

a ?1

令 S ( a ? 1) ? 所

1 2

e

a ?1

? e



l

?

a

n

???????12 分 综
l ? ? a n


2


2





???????13 分 19.解:(I)因为椭圆 M
:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的四个顶点恰好是一边长为 2,

一内角为 6 0 ? 的菱形的四个顶点, 所
x
2


? y
2

a ?

3 b ? ,

,

1 椭



M









?1

???????4 分
1

3

(II)设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 因为 A B 的垂直平分线通过点 ( 0 , ? ) , 显然直线 A B 有斜率,
2

当直线 A B 的斜率为 0 时,则 A B 的垂直平分线为 y 轴,则 x 1 ? ? x 2 , y 1 ? y 2
1 2 x1 3
2

所以 S ? A O B =

| 2 x 1 || y 1 |? | x 1 || y 1 |? | x 1 | 1 ?
x1 ? ( 3 ? x1 )
2 2

?

x 1 (1 ?
2

x1 3

2

) ?

1 3

x1 ( 3 ? x1 )
2 2

因为 x 1 2 ( 3 ? x 1 2 ) ? 所以 S ? A O B
? 3 2

?

3 2

, 时, S ? A O B 取得最大值为
3 2

2
|?

,当且仅当 | x 1

6 2

??????7 分

当直线 A B 的斜率不为 0 时,则设 A B 的方程为 y ? k x ? t

? y ? kx ? t ? 2 2 2 所以 ? x 2 ,代入得到 ( 3 k ? 1) x ? 6 k t ? 3 t ? 3 ? 0 2 ? y ?1 ? ? 3
2 2 当 ? ? 4 ( 9 k ? 3 ? 3t ) ? 0 ,

即 3k 2 ? 1 ? t 2



方程有两个不同的解 又
x1 ? x 2 2 ? ? 3k t 3k ? 1
2

x1 ? x 2 ?

?6kt 3k ? 1
2

, ???????8

分 所以
y1 ? y 2 2
y1 ? y 2 ? 1

?

t 3k ? 1
2





2 0?

2 ? ? 1 x1 ? x 2 k 2

,化简得到 3 k 2 ? 1 ? 4 t




0? t ? 4











???????10 分 又原点到直线的距离为 d ?
|t | k ?1
2

| A B |?

1? k

2

| x 1 ? x 2 |?

1? k

2

4(9 k

2

? 3 ? 3t )
2 2

3k ? 1

所以 S ? A O B = 化
S ?A = 1 4 ?

1 2

| A B || d |?

1 2

|t | k ?1
2

1? k

2

4 ( 9 k ? 3 ? 3t )
2 2

3k ? 1
2


2 O


3 t
B


t 4

(

???????12 分 因为 0 ?
t ? 4

,所以当 t

? 2

时,即 k ? ?

7 3

时, S ? A O B 取得最大值

3 2


3 2





?A

O



B













???????14 分

20.(I)解:法 1:
1 ?2 2 1 3 0 ?7 1 ????? ?
改 变 第 4列

1 ?2

2 1

3 0

7 ?1

????? ?

改 变 第2行

1 2

2 ?1

3 0

7 1

法 2:
1 ?2 2 1 3 0 ?7 1 ????? ?
改 变 第2行

1 2

2 ?1

3 0

?7 ?1

????? ?

改 变 第 4列

1 2

2 ?1

3 0

7 1

法 3:
1 ?2 2 1 3 0 ?7 1 ????? ?
改 变 第 1列

?1 2

2 1

3 0

?7 1

????? ?

改 变 第 4列

?1 2

2 1

3 0

7 ?1

???????3 分 (II) 每一列所有数之和分别为 2,0, ? 2 ,0,每一行所有数之和分别为 ? 1 ,1; ①如果首先操作第三列,则
a 2?a a ?1
2

a 2?a

?a a
2

2

1? a

2

则第一行之和为 2 a

? 1 ,第二行之和为 5 ? 2 a



这两个数中,必须有一个为负数,另外一个为非负数, 所以 a ?
1 2

或a ?
1 2

5 2

当a ?
?a 2?a

时,则接下来只能操作第一行,
2 2

1? a 1? a

?a 2?a

a a

2 2

此时每列之和分别为 2 ? 2 a , 2 ? 2 a , 2 ? 2 a , 2 a
2

2

必有 2 ? 2 a 2 ? 0 ,解得 a ? 0, ? 1 当a ?
5 2

时,则接下来操作 第二行

a a ?2

a ?1
2 2

a a ?2

?a ?a

2 2

a ?1

此 意. ?6 分





4



















??????

② 如果首先操作第一行
?a 2?a 1? a 1? a
2 2

a a ?2

a a

2 2

则每一列之和分别为 2 ? 2 a , 2 ? 2 a 2 , 2 a 当a 当a
?1

?2

, 2a 2

时,每列各数之和已经非负,不需要进行第二次操 作,舍掉 时, 2 ? 2 a , 2 a
?2

?1

至少有一个为负数,
a ? 1 ,所以 a ? 0

所以此时必须有 2 ? 2 a 2 ? 0 ,即 ? 1 ? 经检验, a 综
a ?0 ?
? 0

或a

? ?1

[来源:Zxxk.Com]

或a

? ? 1 符合要求


,


1

???????9 分 (III)能经过有限次操作以后,使得得到的 数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。 证明如下: 记数表中第 i 行第 j 列的实数为 c ij ( i ? 1, 2 , ? , m ; j ? 1, 2 , ? , n ) ,各行的数字之和分别 为
a 1 , a 2 ,? , a m

, 各 列 的 数 字 之 和 分 别 为 b1 , b 2 , ? , b n , ,数表中 m ? n 个实数之和为 S ,则 S
? A? B

A ? a1 ? a 2 ? ? ? a m



B ? b1 ? b 2 ? ? ? b n

。记

K ? m in k 1 c i 1 ? k 2 c i 2 ? ? ? k n c in
1? i ? m

?

|k

l

? 1或 ? 1( l ? 1, 2 , ? , n ) 且 k 1 c i 1 ? k 2 c i 2 ? ? ? k n c in ? 0

?

T ? m in t1 c 1 j ? t 2 c 2 j ? ? ? t m c m j
1? j ? n

?

|t

s

? 1或 ? 1( s ? 1, 2 , ? , m ) 且 t1 c 1 j ? t 2 c 2 j ? ? ? t m c m j ? 0

?

? ? m in ? K , T ? .

按要求操作一次时,使该行的行和(或该列的列和)由负变正,都会引起 A (和 B )增 大,从而也就使得 S 增加,增加的幅度大于等于 2 ? ,但是每次操作都只是改变数表中某行 (或某列)各数的符号,而不改变其绝对值,显然, S 必然小于等于最初的数表中 m ? n 个 实数的绝对值之和,可见其增加的趋势必在有限次之后终止。终止之时,必是所有的行和与 所有的列和均为非负实数,否则,只要再改变该行或该列的符号, S 就又会 继续上升,导





















???13 分


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