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江西省南昌市莲塘一中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析


2015-2016 学年江西省南昌市莲塘一中高二(上)期中数学试卷(理科)

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (文科做)椭圆 2x +3y =1 的焦点坐标( A. (0, ) B. (0,±1)
2 2

) D. ( ,0)

C. (±1,0)

2

.焦点分别为(﹣2,0) , (2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为(

)

A.x ﹣

2

=1 B.

C.y ﹣

2

=1 D.

3.下列曲线中离心率为

的是(

)

A.

B.

C.

D.

4.一动圆与两圆 x +y =1 和 x +y ﹣8x+12=0 都外切,则动圆圆心轨迹为( A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线

2

2

2

2

)

5. (1999?广东)直线

x+y﹣2

=0 截圆 x +y =4 得的劣弧所对的圆心角是(

2

2

)

A.

B.

C.

D.

6.若圆 C1 的方程是 x +y ﹣4x﹣4y+7=0,圆 C2 的方程为 x +y ﹣4x﹣10y+13=0,则两圆的公切 线有( )

2

2

2

2

A.2 条 B.3 条 C.4 条 D.1 条

7.如果实数 x,y 满足等式(x﹣2) +y =3,那么 的最大值是( A. B. C. D.

2

2

)

8.顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴且经过点(﹣2,3)的抛物线方程是( A.y = xB.x = y C.y =﹣ x 或 x =﹣ y D.y =﹣ x 或 x = y
2 2 2 2 2 2

)

9.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,焦点在双曲线 (
2

上,则抛物线方程为

)
2 2 2

A.y =8x B.y =4x C.y =2x D.y =±8x

10.双曲线 C 以椭圆 ( )

=1 的焦点为顶点,以椭圆长轴端点为焦点,则双曲线 C 的方程为

A.

﹣y =1 B.﹣

2

+y =1

2

C.

=1

D.﹣

=1

11.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直.l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=12, P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为( A.18 B.24 C.36 D.48 )

12.如图,F1、F2 是双曲线

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线 )

的左右两支分别交于点 A、B.若△ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为(

A.4

B.

C.

D.

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点与抛物线 C:y =8x 的焦点重合, A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则|AB|=__________.
2

14.从抛物线 y =4x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为 F,则△MPF 的面积为__________.

2

15. 若中心在原点的双曲线的一条渐近线经过点 (3, ﹣4) , 则此双曲线的离心率为__________.

16.若直线 ax+2by﹣2=0(a,b>0)始终平分圆 x +y ﹣4x﹣2y﹣8=0 的周长,则 值为__________.

2

2

的最小

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分)

17.设椭圆 C:

+

=1(a>b>0)过点(0,4) ,离心率为 .

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被椭圆所截得线段的中点坐标.

18.求下列双曲线的标准方程

(1)与双曲线
2 2

有公共焦点,且过点(6



)的双曲线

(2)以椭圆 3x +13y =39 的焦点为焦点,以直线 y=± 为渐近线的双曲线.

19.已知直线 l 经过抛物线 y =4x 的焦点 F,且与抛物线相交于 A、B 两点. (1)若|AF|=4,求点 A 的坐标;

2

(2)求线段 AB 的长的最小值.

20.已知双曲线 离是 .

的离心率

,过 A(a,0) ,B(0,﹣b)的直线到原点的距

(1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y=kx+5(k≠0)交双曲线于不同的点 C,D 且 C,D 都在以 B 为圆心的圆上,求 k 的值.

21.在平面直角坐标系 xOy 中,经过点 两个不同的交点 P 和 Q. (Ⅰ)求 k 的取值范围;

且斜率为 k 的直线 l 与椭圆



(Ⅱ) 设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A, B, 是否存在常数 k, 使得向量 与 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.

22.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合,若直线 l 的 极坐标方程为 psin(θ ﹣ )=2 .

(1)把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标系方程;

(2)已知 P 为椭圆 C:

上一点,求 P 到直线 l 的距离的最小值.

2015-2016 学年江西省南昌市莲塘一中高二(上)期中数学试卷(理科)

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (文科做)椭圆 2x +3y =1 的焦点坐标( A. (0, ) B. (0,±1)
2 2

) D. ( ,0)

C. (±1,0)

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】先把椭圆方程化为标准方程,再确定其几何量,从而求出椭圆的焦点坐标.

【解答】解:椭圆方程化为标准方程为: ∵ ∴椭圆的焦点在 x 轴上,且 ∴ ∴ 故椭圆 2x +3y =1 的焦点坐标为 故选 D. 【点评】本题以椭圆方程为载体,考查椭圆的几何性质,解题的关键是把椭圆方程化为标准 方程.
2 2

2.焦点分别为(﹣2,0) , (2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为(

)

A.x ﹣

2

=1 B.

C.y ﹣

2

=1 D.

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】先根据双曲线上的点和焦点坐标,分别求得点到两焦点的距离二者相减求得 a,进而 根据焦点坐标求得 c,进而求得 b,则双曲线方程可得. 【解答】解:2a= ∴a=1 ∵c=2 ∴b= ﹣3=2

∴双曲线方程为 x ﹣ 故选:A.

2

=1.

【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程.考查了学生对双曲线基础知识的理解和灵活把 握.

3.下列曲线中离心率为

的是(

)

A.

B.

C.

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题.

【分析】通过验证法可得双曲线的方程为 【解答】解:选项 A 中 a= ,b=2,c= =

时, ,e= 排除.



选项 B 中 a=2,c= 选项 C 中 a=2,c= 选项 D 中 a=2,c= 故选 B

,则 e= ,则 e= 则 e=

符合题意 不符合题意 ,不符合题意

【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质.考查了双曲线方程中利用,a,b 和 c 的关系求 离心率问题.

4.一动圆与两圆 x +y =1 和 x +y ﹣8x+12=0 都外切,则动圆圆心轨迹为( A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线

2

2

2

2

)

【考点】双曲线的定义. 【专题】计算题. 【分析】设动圆 P 的半径为 r,然后根据⊙P 与⊙O:x +y =1,⊙F:x +y ﹣8x+12=0 都外切得 |PF|=2+r、|PO|=1+r,再两式相减消去参数 r,则满足双曲线的定义,问题解决. 【解答】解:设动圆的圆心为 P,半径为 r, 而圆 x +y =1 的圆心为 O(0,0) ,半径为 1; 圆 x +y ﹣8x+12=0 的圆心为 F(4,0) ,半径为 2. 依题意得|PF|=2+r|,|PO|=1+r, 则|PF|﹣|PO|=(2+r)﹣(1+r)=1<|FO|, 所以点 P 的轨迹是双曲线的一支. 故选 C. 【点评】本题主要考查双曲线的定义.
2 2 2 2 2 2 2 2

5. (1999?广东)直线

x+y﹣2

=0 截圆 x +y =4 得的劣弧所对的圆心角是(

2

2

)

A.

B.

C.

D.

【考点】直线和圆的方程的应用. 【分析】先求圆心到直线的距离,再求劣弧所对的圆心角.

【解答】解:圆心到直线的距离: 圆的半径是 2,劣弧所对的圆心角为 60° 故选 C.



【点评】本题考查直线与圆的方程的应用,是基础题.

6.若圆 C1 的方程是 x +y ﹣4x﹣4y+7=0,圆 C2 的方程为 x +y ﹣4x﹣10y+13=0,则两圆的公切 线有( )

2

2

2

2

A.2 条 B.3 条 C.4 条 D.1 条 【考点】圆与圆的位置关系及其判定.

【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】把两圆的方程化为标准形式,分别求出圆心和半径,考查两圆的圆心距正好等于两 圆的半径之和,故两圆相外切.推出公切线的条数. 【解答】解:圆 C1 的方程即: (x+2) +(y﹣2) =1,圆心 C1(﹣2,2) ,半径 为 1, 圆 C2 的方程即: (x﹣2) +(y﹣5) =16,圆心 C2(2,5) ,半径 为 4, 两圆的圆心距为 两圆的公切线有三条, 故选:B. 【点评】本题考查两圆的位置关系,两圆相外切的充要条件是:两圆的圆心距等于两圆的半 径之和;两圆相外切时,公切线 3 条.考查计算能力. =5,正好等于两圆的半径之和,故两圆相外切,故
2 2 2 2

7.如果实数 x,y 满足等式(x﹣2) +y =3,那么 的最大值是( A. B. C. D.

2

2

)

【考点】简单线性规划. 【专题】转化思想. 【分析】 表示圆上动点与原点 O 连线的斜率,画出满足等式(x﹣2) +y =3 的图形,由数形 结合,我们易求出 的最大值. 【解答】解:满足等式(x﹣2) +y =3 的图形如图所示: 表示圆上动点与原点 O 连线的斜率, 由图可得动点与 B 重合时,此时 OB 与圆相切, 取最大值, 连接 BC,在 Rt△OBC 中,BC= 易得∠BOC=60° 此时 = 故选 D ,OC=2
2 2 2 2

【点评】本题考查的知识点是简单线性规划,分析出 表示圆上动点与原点 O 连线的斜率,是 解答本题的关键.

8.顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴且经过点(﹣2,3)的抛物线方程是( A.y = xB.x = y C.y =﹣ x 或 x =﹣ y D.y =﹣ x 或 x = y 【考点】抛物线的标准方程. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
2 2 2 2 2 2

)

【分析】对称轴分为是 x 轴和 y 轴两种情况,分别设出标准方程为 y =﹣2px 和 x =2py,然后 将 M 点坐标代入即可求出抛物线标准方程. 【解答】解: (1)抛物线的顶点在坐标原点,对称轴是 x 轴,并且经过点 (﹣2,3) , 设它的标准方程为 y =﹣2px(p>0) ∴9=4p,解得 p= , ∴y =﹣ x. (2)抛物线的顶点在坐标原点,对称轴是 y 轴,并且经过点 (﹣2,3) , 设它的标准方程为 x =2py(p>0) ∴4=6p, 解得:p= . ∴x = y
2 2 2 2

2

2

∴抛物线方程是 y =﹣ x 或 x = y. 故选:D. 【点评】本题考查了抛物线的标准方程,解题过程中要注意对称轴是 x 轴和 y 轴两种情况作 答,属于基础题.

2

2

9.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,焦点在双曲线 (
2

上,则抛物线方程为

)
2 2 2

A.y =8x B.y =4x C.y =2x D.y =±8x 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,焦点在双曲线

上,故抛物线的顶

点即为双曲线

的实轴顶点,结合双曲线的性质,和抛物线的性质可得答案.

【解答】解:∵抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,焦点在双曲线

上,

故抛物线的顶点即为双曲线

的实轴顶点,

由双曲线
2

的实轴顶点为(±2,0) ,

太抛物线方程为 y =±8x, 故选:D 【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质,双曲线的简单性质,难度不大,属于基础 题.

10.双曲线 C 以椭圆 ( )

=1 的焦点为顶点,以椭圆长轴端点为焦点,则双曲线 C 的方程为

A.

﹣y =1 B.﹣

2

+y =1

2

C.

=1

D.﹣

=1

【考点】双曲线的标准方程;椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先求出椭圆的焦点与顶点即所求双曲线的顶点与焦点可知且焦点位置确定,即可求 解双曲线的方程.

【解答】解:椭圆
2 2 2

=1 的焦点在 y 轴上,故设双曲线方程为



=1(a>0,b>0) .

则 a=1,c=2,∴b =c ﹣a =3,

∴双曲线方程为:﹣ 故选 B.

+y =1.

2

【点评】本题主要考查了利用椭圆与双曲线的性质求解双曲线的方程,解题的关键是熟练掌 握椭圆与双曲线的性质,正确找出题中的相关量.

11.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直.l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=12, P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为( A.18 B.24 C.36 D.48 )

【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【专题】数形结合法. 【分析】首先设抛物线的解析式 y =2px(p>0) ,写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线,然 后根据通径|AB|=2p,求出 p,△ABP 的面积是|AB|与 DP 乘积一半. 【解答】解:设抛物线的解析式为 y =2px(p>0) , 则焦点为 F( ,0) ,对称轴为 x 轴,准线为 x=﹣ ∵直线 l 经过抛物线的焦点,A、B 是 l 与 C 的交点, 又∵AB⊥x 轴 ∴|AB|=2p=12 ∴p=6 又∵点 P 在准线上
2 2

∴DP=( +|

|)=p=6

∴S△ABP= (DP?AB)= ×6×12=36 故选 C.

【点评】本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点;关于直线和圆锥曲线 的关系问题一般采取数形结合法.

12.如图,F1、F2 是双曲线

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线 )

的左右两支分别交于点 A、B.若△ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为(

A.4

B.

C.

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】解三角形;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由双曲线的定义,可得 F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a,BF2﹣BF1=2a,BF2=4a,F1F2=2c,再 在△F1BF2 中应用余弦定理得,a,c 的关系,由离心率公式,计算即可得到所求. 【解答】解:因为△ABF2 为等边三角形,不妨设 AB=BF2=AF2=m, A 为双曲线上一点,F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a, B 为双曲线上一点,则 BF2﹣BF1=2a,BF2=4a,F1F2=2c,



,则
2 2


2

在△F1BF2 中应用余弦定理得:4c =4a +16a ﹣2?2a?4a?cos120°, 得 c =7a ,则 故选:B. 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质,考查余弦定理的运用,考查运算能力,属于 中档题.
2 2



二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点与抛物线 C:y =8x 的焦点重合, A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则|AB|=6. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;方程思想;数学模型法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标,求出椭圆的半长轴,然后求解抛物线的 准线方程,求出 A,B 坐标,则|AB|可求. 【解答】解:椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点(c,0)与抛物线 C:y =8x 的焦点(2,0)重合,
2 2

可得 c=2,a=4,b =12,椭圆的标准方程为: 抛物线的准线方程为:x=﹣2,

2



联立

,解得 y=±3,

∴A(﹣2,3) ,B(﹣2,﹣3) . 则|AB|=3﹣(﹣3)=6. 故答案为:6. 【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用,考查计算能力,是基础题.

14.从抛物线 y =4x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为 F,则△MPF 的面积为 10.

2

【考点】抛物线的应用. 【专题】计算题. 【分析】先设处 P 点坐标,进而求得抛物线的准线方程,进而求得 P 点横坐标,代入抛物线 方程求得 P 的纵坐标,进而利用三角形面积公式求得答案. 【解答】解:设 P(x0,y0) 依题意可知抛物线准线 x=﹣1, ∴x0=5﹣1=4 ∴|y0|= =4,

∴△MPF 的面积为 ×5×4=10 故答案为 10. 【点评】本题主要考查了抛物线的应用.解题的关键是灵活利用了抛物线的定义.

15.若中心在原点的双曲线的一条渐近线经过点(3,﹣4) ,则此双曲线的离心率为 或 . 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;分类讨论;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据中心在原点的双曲线的一条渐近线经过点(3,﹣4) , = 或 ,利用离心率公 式,可得结论. 【解答】解:∵中心在原点的双曲线的一条渐近线经过点(3,﹣4) , ∴ = 或 , ∴e= = 或 . 故答案为: 或 . 【点评】本题考查双曲线的简单性质,考查学生的计算能力,比较基础.

16.若直线 ax+2by﹣2=0(a,b>0)始终平分圆 x +y ﹣4x﹣2y﹣8=0 的周长,则 值为 .

2

2

的最小

【考点】直线与圆的位置关系;基本不等式. 【专题】计算题.

【分析】 由题意可知圆 x +y ﹣4x﹣2y﹣8=0 的圆心 (2, 1) 在直线 ax+2by﹣2=0 上, 可得 a+b=1, 而 =( ) (a+b) ,展开利用基本不等式可求最小值

2

2

【解答】解:由圆的性质可知,直线 ax+2by﹣2=0 即是圆的直径所在的直线方程 ∵圆 x +y ﹣4x﹣2y﹣8=0 的标准方程为(x﹣2) +(y﹣1) =13, ∴圆心(2,1)在直线 ax+2by﹣2=0 上 ∴2a+2b﹣2=0 即 a+b=1 ∵ ∴ =( ) (a+b)= =3+2
2 2 2 2

的最小值

故答案为: 【点评】本题主要考查了圆的性质的应用,利用基本不等式求解最值的问题,解题的关键技 巧在于“1”的基本代换

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分)

17.设椭圆 C:

+

=1(a>b>0)过点(0,4) ,离心率为 .

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被椭圆所截得线段的中点坐标. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】 (1)椭圆 C: 即可得到椭圆 C 的方程;

+

=1(a>b>0)过点(0,4) ,可求 b,利用离心率为 ,求出 a,

(2)过点(3,0)且斜率为 的直线为 y= (x﹣3) ,代入椭圆 C 方程,整理,利用韦达定理, 确定线段的中点坐标.

【解答】解: (1)将点(0,4)代入椭圆 C 的方程得

=1,∴b=4,?

由 e= = ,得 1﹣

=

,∴a=5,?

∴椭圆 C 的方程为

+

=1.?

(2)过点(3,0)且斜率为 的直线为 y= (x﹣3) ,? 设直线与椭圆 C 的交点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 将直线方程 y= (x﹣3)代入椭圆 C 方程,整理得 x ﹣3x﹣8=0,? 由韦达定理得 x1+x2=3, y1+y2= (x1﹣3)+ (x2﹣3)= (x1+x2)﹣ =﹣ .?
2

由中点坐标公式 AB 中点横坐标为 ,纵坐标为﹣ , ∴所截线段的中点坐标为( ,﹣ ) .? 【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运 用,确定椭圆的方程是关键.

18.求下列双曲线的标准方程

(1)与双曲线
2 2

有公共焦点,且过点(6



)的双曲线

(2)以椭圆 3x +13y =39 的焦点为焦点,以直线 y=± 为渐近线的双曲线. 【考点】双曲线的标准方程. 【专题】综合题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】 (1)设出双曲线方程,利用与双曲线

有公共焦点,且过点(6



) ,

建立方程,即可求出双曲线的标准方程,并写出其渐近线方程.

(2)利用椭圆的方程求出双曲线的焦点坐标,设双曲线方程为 y=± 为渐近线求出 a ,可得答案.
2

=1,根据直线

【解答】解: (1)设双曲线方程为

(a>0,b>0) ,

由已知双曲线方程 ∵两双曲线有公共的焦点, ∴a +b =20①
2 2

可求得 c =20.

2

又双曲线过点(6
2


2

) ,∴

=1

由①②可解得:a =18,b =2,

故所求双曲线的方程为



(2)椭圆 3x +13y =39 可化为

2

2

=1,其焦点坐标为(±

,0) ,

∴设双曲线方程为 ∵直线 y=± 为渐近线, ∴ = ,

=1,

∴ ∴a =8,
2



故双曲线方程为

=1.

【点评】本题考查椭圆、双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,属于中档题.

19.已知直线 l 经过抛物线 y =4x 的焦点 F,且与抛物线相交于 A、B 两点. (1)若|AF|=4,求点 A 的坐标; (2)求线段 AB 的长的最小值. 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】综合题;分类讨论;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.

2

【分析】 (1)由 y =4x,得 p=2,其准线方程为 x=﹣1,焦点 F(1,0) .设 A(x1,y1) ,B(x2, y2) .由抛物线的定义可知,|AF|=x1+ ,从而 x1=3.由此能得到点 A 的坐标. (2)分类讨论,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣1) ,代入 y =4x 整理得 x ﹣6x+1=0,其两根为 x1, x2,且 x1+x2=6.由抛物线的定义可知线段 AB 的长. 【解答】解:由 y =4x,得 p=2,其准线方程为 x=﹣1,焦点 F(1,0) . 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . (1)由抛物线的定义可知,|AF|=x1+ ,从而 x1=3. 代入 y =4x,解得 y1= ∴点 A 的坐标为(3,2
2 2 2 2

2

. )或(3,﹣2 ) .
2 2 2 2 2

(2)斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣1) ,代入 y =4x 整理得:k x ﹣(2k +4)x+k =0.

再设 B(x2,y2) ,则 x1+x2=2+



∴|AB|=x1+x2+2=4+

> 4.

斜率不存在时,|AB|=4, ∴线段 AB 的长的最小值为 4. 【点评】本题考查了抛物线的定义及其几何性质,以及直线与抛物线的位置关系.直线与抛 物线的位置关系问题,一般是将直线方程代入抛物线方程消元得到关于 x 的一元二次方程, 然后借助于韦达定理解决后续问题.

20.已知双曲线 离是 .

的离心率

,过 A(a,0) ,B(0,﹣b)的直线到原点的距

(1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y=kx+5(k≠0)交双曲线于不同的点 C,D 且 C,D 都在以 B 为圆心的圆上,求 k 的值. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;双曲线的标准方程. 【专题】综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】 (1)由离心率为 ①②及 c =a +b 可求得 b,a;
2 2 2

可得

①,原点到直线 AB 的距离是

,得

=

②,由

(2)把 y=kx+5 代入 x ﹣3y =3 中消去 y,得 x 的二次方程,设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,CD 的

2

2

中点是 E(x0,y0) ,由 C,D 都在以 B 为圆心的圆上,得 kBE= 标公式可得 k 的方程,解出即可;

=﹣ ,由韦达定理及中点坐

【解答】解:∵(1)
2 2 2

①,原点到直线 AB: ,

的距离

=

=

②,

联立①②及 c =a +b 可求得 b=1,a=

故所求双曲线方程为
2 2


2 2

(2)把 y=kx+5 代入 x ﹣3y =3 中消去 y,整理得 (1﹣3k )x ﹣30kx﹣78=0. 设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,C、D 的中点是 E(x0,y0) ,





=

,y0=kx0+5=

,kBE=

=﹣ ,

∴x0+ky0+k=0,即 故所求 k=± .

,解得 k=



【点评】本题考查直线方程、双曲线方程及其位置关系,考查圆的性质,考查学生解决问题 的能力.

21.在平面直角坐标系 xOy 中,经过点 两个不同的交点 P 和 Q. (Ⅰ)求 k 的取值范围;

且斜率为 k 的直线 l 与椭圆



(Ⅱ) 设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A, B, 是否存在常数 k, 使得向量 与 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.

【考点】向量的共线定理;平面的概念、画法及表示.

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)直线 l 与椭圆有两个不同的交点,即方程组有 2 个不同解,转化为判别式大于 0. (2)利用 2 个向量共线时,坐标之间的关系,由一元二次方程根与系数的关系求两根之和, 解方程求常数 k. 【解答】解: (Ⅰ)由已知条件,直线 l 的方程为 ,

代入椭圆方程得 整理得

. ①

直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q,等价于①的判别式 △= 解得 或 , .即 k 的取值范围为 .

(Ⅱ)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则



由方程①, 又 而 所以 与 共线等价于

. ② . ③ . , . ,

将②③代入上式,解得 由(Ⅰ)知 或

故没有符合题意的常数 k. 【点评】本题主要考查直线和椭圆相交的性质,2 个向量共线的条件,体现了转化的数学而思 想,属于中档题.

22.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合,若直线 l 的 极坐标方程为 psin(θ ﹣ )=2 .

(1)把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标系方程;

(2)已知 P 为椭圆 C:

上一点,求 P 到直线 l 的距离的最小值.

【考点】简单曲线的极坐标方程. 【专题】计算题;转化思想;综合法;圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】 (1)把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标系方程即可; (2)设 P( cosα ,3sinα ) ,利用点到直线的距离公式表示出 P 到直线 l 的距离 d,利用

余弦函数的值域确定出最小值即可. 【解答】解: (1)直线 l 的极坐标方程为 ρ sin(θ ﹣ 整理得:ρ (sinθ cos 即 ρ sinθ ﹣ρ cosθ =4, 则直角坐标系中的方程为 y﹣x=4,即 x﹣y+4=0; (2)设 P( cosα ,3sinα ) , ﹣cosθ sin )= ρ sinθ ﹣ )=2 , ,

ρ cosθ =2

∴点 P 到直线 l 的距离

d=

= ﹣ .



=2





则 P 到直线 l 的距离的最小值为 2

【点评】此题考查了简单曲线的极坐标方程,熟练掌握简单极坐标方程与普通方程的转化是 解本题的关键.


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