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高一必修4平面向量的概念及线性运算--------


平面向量的线性运算 知识点:数乘向量 1.实数与向量的积:实数 (1) (2)①当 ②当 ③当 2.运算律 设 为实数 ; , ; 时, 时. 时, 的方向与 的方向相同; 的方向与 的方向相反; . 与向量 的积是一个向量,记作:

结合律: 分配律: 3.共线向量基本定理

非零向量 与向量 共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数<

br />
,使

.

经典例题透析 类型一:向量的基本概念 1.判断下列各命题是否正确: (1)若 ,则 ; 是四边形 为平行四边形的充要条件;

(2)若 A、B、C、D 是不共线的四点,则 (3)若 (4)两向量 ,则 相等的充要条件是 且 .

举一反三: 【变式 1】下列说法正确的个数是( ) ①向量 ,则直线 直线

②两个向量当且仅当它们的起点相同,终点也相同时才相等; ③向量 既是有向线段 ; . D.3 个

④在平行四边形 A.0 个 B.1 个

中,一定有 C.2 个

类型二:向量的线性运算 2.如图所示, 的两条对角线相交于点 ,且 用 表示

举一反三: 【变式 1】如图,△ 且 , 与 中,点 相交于点 是 ,求 的中点,点 的值. 在边 上,

1.在矩形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 1 ,则向量 ( AB ? AD ? AC) 的长等于( (A)2 (B) 2 3 (C)3 (D)4



2.下面给出四个命题: ① 对于实数 m 和向量 a 、 b 恒有: m(a ? b) ? ma ? mb ② 对于实数 m 、 n 和向量 a ,恒有 (m ? n)a ? m a ? na ③ 若 ma ? mb(m ? R) ,则有 a ? b ④ 若 m a ? na(m, n ? R, a ? 0) ,则 m ? n 其中正确命题的个数是( ) (A)1 (B)2

(C)3

(D)4

b 表示) 3.在 ABCD 中, AB ? a, AD ? b, AN ? 3NC ,M 为 BC 的中点,则 MN ? _______。 (用 a、

4 若 A、B、C、D 是平面内任意四点,给出下列式子:① AB + DC = BC + DA ;② AC + BD =

BC + AD ;③ AC - BD = DC + AB .其中正确的有
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

(

)

5.如图所示,D 是△ABC 的边 AB 的中点,则向量 CD = 1 A.- BC + BA 2 1 C. BC - BA 2 1 B.- BC - BA 2 1 D. BC + BA 2

(

)

6.如图,若四边形 ABCD 是一个等腰梯形,AB∥DC,M、 N 分别是 DC,AB 的中点,已知=a, AD =b, DC = c,试用 a,b,c 表示 BC , MN , DN + CN . 1 答案: D。 解析:

? AB ? AD ? AC ? AB ? BC ? AC ? AC ? AC ? 2 AC
2 答案: (C) 解析:根据实数与向量的积的定义及运算定律容易得出①、②、④正确,③不一定成立. ? m ? 0 时, ma ? mb ? 0

但此时也不一定有 a ? b 成立 3 答案: ?

1 1 a? b 4 4

解析:如图,由AN ? 3NC得4 AN ? 3AC =3(a ? b) , AM ? a ? 所以 MN ?

1 b, 2

3 1 1 1 ( a ? b) ? ( a ? b) ? ? a ? b 。 4 2 4 4

4 解析:①式的等价式是 AB - BC = DA - CD ,左边= AB + CB ,右边= DA + DC ,不一 定相等; ②式的等价式是 AC - BC = AD - BD , AC + CB = AD + DB = AB 成立; ③式的等价式是- DC = AB + BD , AD = AD 成立. 答案:C

1 5 解析: CD = CB + BD =- BC + BA . 2 答案:A

6 解: AB = BA + AD + DC =-a+b+c. ∵ MN = MD + DA + AN ,

MN = MC + CB + BN ,
∴2 MN = MD + DA + AN + MC + CB + BN = DA + CB =- AD + CB =-b-(-a +b+c)=a-2b-c, 1 1 ∴ MN = a-b- c. 2 2

DN + CN = DM + MN + CM + MN
=2 MN =a-2b-c.


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