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3.2 一元二次不等式及其解法 学案(人教A版必修5)


3.2 一元二次不等式及其解法

材拓展 1.一元一次不等式 b? ? 通过同解变形,一元一次不等式可化为:ax>b.若 a>0,则其解集为?x|x>a?.若 a<0,则
? ?

b? ? 其解集为?x|x<a?. ? ? 若 a=0,b<0,解集为 R;b≥0,解集为?. 2.三个“二次”的关系 通过同解变形,一元二次不等式可化为:ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0 (a>0). 不妨设方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1、x2 且 x1<x2. 从函数观点来看,一元二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集,就是二次函数 y=ax2+ bx+c (a>0)在 x 轴上方部分的点的横坐标 x 的集合; ax2+bx+c<0 (a>0)的解集, 就是二次函 2 数 y=ax +bx+c (a>0)在 x 轴下方部分的点的横坐标 x 的集合. 从方程观点来看,一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值. 3.简单的高次不等式的解法——数轴穿根法 数轴穿根法来源于实数积的符号法则,例如要解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0.我们可以 列表如下: x<1 1<x<2 2<x<3 x>3 x 的区间 x-1 - + + + x-2 - - + + x-3 - - - + (x-3)(x-2)· (x-1) - + - + 把表格的信息“浓缩”在数轴得: 据此,可写出不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0 的解集是{x|1<x<2 或 x>3}. 一般地,利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是: (1)化成形如 p(x)=(x-x1)(x-x2)?(x-xn)>0 (或<0)的标准形式; (2)将每个因式的根标在数轴上,从右上方依次通过每个点画曲线; (3)奇次根依次穿过,偶次根穿而不过(即不要改变符号); (4)根据曲线显现出的 p(x)的符号变化规律,标出 p(x)的正值区间和负值区间; (5)写出不等式的解集,并检验零点是否在解集内. 4.分式不等式的解法 f?x? (1) >0?f(x)· g(x)>0. g?x? f?x? (2) <0?f(x)· g(x)<0. g?x? ? g?x?≥0 ?f?x?· f?x? (3) ≥0?? . g?x? ? ?g?x?≠0
?f?x?· g?x?≤0 ? f?x? (4) ≤0?? . g?x? ?g?x?≠0 ?

注意:解不等式时,一般情况下不要在两边约去相同的因式. 2x+1 2x+1 例如:解不等式: > . x-3 3x-2

2x+1 2x+1 原不等式? - >0 x-3 3x-2 ?x+1?2 ? 2? ?2x+1?2 ? >0? >0 2 ?x-3??3x-2? x- ? ?x-3?? ? 3? 1 1 2 ?x<- 或- <x< 或 x>3. 2 2 3 ∴原不等式的解集为 ?-∞,-1?∪?-1,2?∪(3,+∞). 2? ? 2 3? ? 5.恒成立问题 (1)f(x)≥a,x∈D 恒成立?f(x)min≥a,x∈D 恒成立; f(x)≤a,x∈D 恒成立?f(x)max≤a,x∈D 恒成立; ? ?a>0 ?a=b=0 (2)ax2+bx+c>0 恒成立?? 或? ?Δ<0 ?c>0 ? ?a=b=0 ?a<0 ? ax2+bx+c<0 恒成立?? 或? . ?Δ<0 ?c<0 ? 6.一元二次方程根的分布 我们以 ax2+bx+c=0 (a>0)为例, 借助开口方向向上的二次函数的图象给出根的分布的 充要条件. 根的分布 二次函数的图象 充要条件 解 x1<k<x2 f(k)<0

x1<x2<k

? b ?-2a<k ?Δ>0 ? b ?-2a>k ?Δ>0
f?k?>0

f?k?>0

k<x1<x2

k1<x1 <x2<k2

?f?k ?>0 ?k <-2ba<k ?Δ>0
2 1

f?k1?>0

2

k1<x1<k2 <x2<k3

f?k1?>0 ? ? ?f?k2?<0 ? ?f?k3?>0

法突破 一、分式不等式的解法

方法链接:解分式不等式通常是移项通分再求解,切忌随意去分母(仅在分母恒大于零 时可以去分母). x2+2x-2 例 1 解不等式: ≥x. 3+2x-x2 x2+2x-2 解 原不等式? -x≥0 3+2x-x2 x3-x2-x-2 ? ≥0 3+2x-x2 ?x3-2x2?+?x2-x-2? ? ≥0 3+2x-x2 ?x-2?x2+?x-2??x+1? ? ≤0 x2-2x-3 ?x-2??x2+x+1? ? ≤0 ?x-3??x+1? x-2 ? ≤0. ?x+1??x-3? 由图可知,原不等式的解集为{x|x<-1 或 2≤x<3}. 二、含参数不等式的解法 方法链接:对于含有参数的不等式,由于参数的取值范围不同,其结果就不同,因此必 须对参数进行分类讨论,即要产生一个划分参数的标准. ?x-k??x+3? 例 2 解不等式: <x+1 (k∈R). x+2 kx+3k+2 解 原不等式? >0 x+2 ?(x+2)(kx+3k+2)>0 当 k=0 时,原不等式解集为{x|x>-2}; 当 k>0 时,(kx+3k+2)(x+2)>0, 3k+2? 变形为?x+ (x+2)>0. k ? ? 3k+2 2 ∵ =3+ >3>2, k k 3k+2 ∴- <-2. k 3k+2 ∴x<- 或 x>-2. k ? 3k+2? ?. 故解集为?x|x>-2或x<- k ? ? 3k+2? 当 k<0 时,原不等式?(x+2)?x+ <0 k ? ? 3k+2? k+2 由(-2)-?- = . k k ? ? k+2 3k+2 ∴当-2<k<0 时, <0,-2<- , k k ? 3k+2? ?; 不等式的解集为?x|-2<x<- k ? ? 3k+2 当 k=-2 时,- =-2, k 原不等式?(x+2)2<0 不等式的解集为?;

k+2 3k+2 当 k<-2 时, >0,-2>- . k k ? ? 3k+2 不等式的解集为?x|- <x<-2?. k ? ? 综上所述,当 k=0 时,不等式的解集为{x|x>-2}; 当 k>0 时,不等式的解集为 ? ? 3k+2 ?x|x<- 或x>-2?; k ? ? 当-2<k<0 时,不等式的解集为 ? 3k+2? ?x|-2<x<- ?; k ? ? 当 k=-2 时,不等式的解集为?; 当 k<-2 时,不等式的解集为 ? ? 3k+2 ?x|- <x<-2?. k ? ? 三、恒成立问题的解法 方法链接:在含参数的恒成立不等式问题中,参数(“客”)和未知数(“主”)是相互牵 制、相互依赖的关系,在这里是已知参数 a(“客”)的取值范围,反过来求 x(“主”)的取值 范围, 若能转换“主”与“客”两者在问题中的地位: 视参数 a 为“主”, 未知数 x 为“客”, 则关于 x 的一元二次不等式就立即转化为关于 a 的一元一次不等式, 运用反“客”为“主” 的方法,使问题迎刃而解. 例 3 已知不等式 x2+px+1>2x+p. (1)如果不等式当|p|≤2 时恒成立,求 x 的取值范围; (2)如果不等式当 2≤x≤4 时恒成立,求 p 的取值范围. 分析 题中不等式含有两个字母 x,p,由(1)的条件可知,应视 p 为变量,x 为常量, 再求 x 的范围;由(2)的条件可知,应视 x 为变量,p 为常量,再求 p 的范围. 解 (1)不等式化为:(x-1)p+x2-2x+1>0, 令 f(p)=(x-1)p+x2-2x+1, 则 f(p)的图象是一条直线.又因为|p|≤2, ? ?f?-2?>0, 所以-2≤p≤2,于是得:? ?f?2?>0. ?
??x-1?· ?-2?+x2-2x+1>0, ? 即? ? 2+x2-2x+1>0. ??x-1?·
2 ? ?x -4x+3>0, 即? 2 ?x -1>0. ?

∴x>3 或 x<-1.

故 x 的取值范围是 x>3 或 x<-1. (2)不等式可化为(x-1)p>-x2+2x-1, ∵2≤x≤4,∴x-1>0. -x2+2x-1 ∴p> =1-x.由于不等式当 2≤x≤4 时恒成立,所以 p>(1-x)max. x-1 而 2≤x≤4,所以(1-x)max=-1, 于是 p>-1.故 p 的取值范围是 p>-1. 四、一元二次方程根的分布 方法链接: 一元二次方程根的分布一般要借助一元二次函数的图象加以分析, 准确找到 限制根的分布的充要条件.常常从以下几个关键点去限制,①判别式,②对称轴,③根所在 区间端点函数值的符号. 例 4 已知关于 x 的一元二次方程 x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根,其中一根在(- 1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的取值范围. 解 设 f(x)=x2+2mx+2m+1,

根据题意,画出示意图由图分析可得,m 满足不等式组 f?0?=2m+1<0 ? ?f?-1?=2>0 ?f?1?=4m+2<0 ? ?f?2?=6m+5>0 5 1 解得:- <m<- . 6 2 五、一元二次不等式的实际应用 方法链接: 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型, 解出不等式 后还应注意变量应具有的“实际含义”. 例 5 国家原计划以 2 400 元/吨的价格收购某种农产品 m 吨.按规定,农户向国家纳 税为:每收入 100 元纳税 8 元(称作税率为 8 个百分点.即 8%).为了减轻农民负担,制定 积极的收购政策.根据市场规律,税率降低 x 个百分点,收购量能增加 2x 个百分点.试确 定 x 的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的 78%. 分析 对比项 调整前 调整后 8% 税率 (8-x)% 收购量 m(吨) (1+2x%)m(吨) 2 400(1+2x%)m 税收总收入 2 400m×8% ×(8-x)% 解 设税率调低后的“税收总收入”为 y 元. y=2 400m(1+2x%)· (8-x)% 12 =- m(x2+42x-400) (0<x≤8). 25 依题意,y≥2 400m×8%×78% 12 即:- m(x2+42x-400)≥2 400m×8%×78% 25 整理得 x2+42x-88≤0,解得-44≤x≤2. 根据 x 的实际意义,知 0<x≤8, 所以 0<x≤2 为所求.

区突破 1.忽略判别式的适用范围而致错 例 1 若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 对 x∈R 恒成立,求实数 a 的取值范围. [错解] 不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0, 对 x∈R 恒成立. ?{a-2<0?Δ<0 2 ?{a<2?4?a-2? -4?a-2??-4?<0 ?-2<a<2. [点拨] 当 a-2=0 时,原不等式不是一元二次不等式,不能应用根的判别式,应当单 独检验不等式是否成立. [正解] 当 a-2=0,即 a=2 时,

原不等式为-4<0,所以 a=2 时成立. 当 a-2≠0 时, 由题意得{a-2<0?Δ<0 , 2 即{a<2?4?a-2? -4?a-2??-4?<0 , 解得-2<a<2. 综上所述,可知-2<a≤2.
温馨点评 在中学阶段,“判别式”是与“二次”联系在一起的,对于一元一次不等式不能应用判别式法来判断.在 处理形如 ax2+bx+c 的问题时,要注意对 x2 系数的讨论.

2.混淆“定义域为 R”与“值域为 R”的区别而致错 例 2 若函数 y=lg(ax2-2x+a)的值域为 R,求 a 的取值范围. [错解 1] ∵函数 y=lg(ax2-2x+a)的值域为 R. ∴ax2-2x+a>0 对 x∈R 恒成立. ∴{a>0?Δ<0 , 2 即{a>0?4-4a <0 ,∴a>1. [错解 2] ∵函数 y=lg(ax2-2x+a)的值域为 R. ∴代数式 ax2-2x+a 能取遍一切正值. ∴Δ=4-4a2≥0, ∴-1≤a≤1. [点拨] 上述解法 1 把值域为 R 误解为定义域为 R;解法 2 虽然理解题意,解题方向正 确,但是忽略了 a<0 时,代数式 ax2-2x+a 不可能取到所有正数,从而也是错误的. [正解] 当 a=0 时,y=lg(-2x)值域为 R, a=0 适合. 1 1 x- ?2+?a- ?为使 y=lg(ax2-2x+a)的值域为 R, 当 a≠0 时,ax2-2x+a=a? ? a? ? a? 代数式 ax2-2x+a 应取到所有正数. 1 ? 所以 a 应满足?a>0?a-a≤0 ,解得 0<a≤1. ? 综上所述,0≤a≤1.

题多解 例 解不等式: lg x-1≤3-lg x. 解 方法一 lg x-1≤3-lg x 2 ?{lg x-1≥0?3-lg x≥0?lg x-1≤?3-lg x? 2 ?{1≤lg x≤3?lg x-7lg x+10≥0 ?{1≤lg x≤3?lg x≤2或lg x≥5 ?1≤lg x≤2?10≤x≤100. 方法二 设 lg x-1=t, 则 lg x=t2+1 (t≥0). ∴ lg x-1≤3-lg x

?{t≥0?t≤2-t ?0≤t≤1 ?0≤ lg x-1≤1 ?1≤lg x≤2 ?10≤x≤100. 方法三 解方程 lg x-1=3-lg x, 解得:x=100. 令 f(x)= lg x-1, 易知 f(x)在[10,+∞)为增函数, g(x)=3-lg x 在[10,+∞)为减函数. 且 f(100)=g(100)=1.为使 f(x)≤g(x), 则 10≤x≤100. 方法四 令 lg x=t,f(t)= t-1,g(t)=3-t.
2

在同一坐标系中画出它们的图象如图所示: 易知交点为(2,1). 当 1≤t≤2 时,f(t)≤g(t). 即 lg x-1≤3-lg x 成立. 由 1≤t≤2,即 1≤lg x≤2, 解得:10≤x≤100.

题赏析 1.(2009· 江西)若不等式 9-x2≤k(x+2)- 2的解集为区间[a,b],且 b-a=2,则 k =________. 解析 令 y1= 9-x2,

y2=k(x+2)- 2,在同一个坐标系中作出其图象,因 9-x2≤k(x+2)- 2的解集为[a, b]且 b-a=2. 结合图象知 b=3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(1,2 2). 2 2+ 2 ∴k= = 2. 1+2 答案 2 赏析 本题主要考查解不等式、直线过定点问题以及数形结合的数学方法. 2.(2009· 天津)设 0<b<1+a,若关于 x 的不等式(x-b)2>(ax)2 的解集中的整数恰有 3 个, 则( ) A.-1<a<0 B.0<a<1 C.1<a<3 D.3<a<6 解析 (x-b)2>(ax)2,(a2-1)x2+2bx-b2<0,要使 x 的解集中恰有 3 个整数,必须有 a2 -1>0. 又 a+1>0,∴a>1.

不等式变形为[(a-1)x+b][(a+1)x-b]<0. b b ∵a>1,b>0,∴ >0,0< <1, a-1 a+1 b b ∴ <x< , 1-a a+1 b b 其中含三个整数,∴-3≤ <-2,2< ≤3. 1-a a-1 ∴2a-2<b≤3a-3. ∴{3a-3≥b>0,?2a-2<b<a+1, ∴{a>1,?a<3, ∴1<a<3. 答案 C 赏析 本题考查了一元二次不等式知识灵活地运用.


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