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004--函数3【下册】【S】


有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴!









上海历年高考经典真题专题汇编

专题 3: 函 数[3]

版 本 :学生用书 姓 名 : 学 校 : 年 级 :

r />第 1 页 /共 15 页

有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴!

天行健,君子以自强不息; 地势坤,君子以厚德载物. ———《易经》

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴!

上海市重点高中讲义汇编
专题 3:函数的基本性质[3]
【三年高考】 1.已知 x , y ? R ,且 x ? y ? 0 ,则( ) C. ( ) ? ( ) ? 0
x y

A.

1 1 ? ?0 x y

B. sin x ? sin y ? 0

1 2

1 2

D. ln x ? ln y ? 0

2.已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时, f ( x) ? x ?1 ;当 ?1 ? x ? 1 时, f (? x) ? ? f ( x) ;
3

当x? (A)?2

1 1 1 时, f ( x ? ) ? f ( x ? ) .则 f(6)= ( 2 2 2
(B)?1 (C)0

) (D)2

3.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(- ? ,0)上单调递增.若实数 a 满足 f (2 则 a 的取值范围是______.

a ?1

) ? f (? 2) ,

1 (f 4. 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数, 当 0<x<1 时,f ( x) ? 4x , 则 f ( ? ) ?)

5 2

=

.

? x ? a, ?1 ? x ? 0, ? 5.设 f ( x ) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [?1,1) 上, f ( x) ? ? 2 其中 a ? R. ? x ,0 ? x ? 1, ?5 ?
若 f (? ) ? f ( ) ,则 f (5a) 的值是

5 2

9 2

.

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 6.设函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ,则 f ( x ) 是( A.奇函数,且在 (0,1) 上是增函数 C. 偶函数,且在 (0,1) 上是增函数 )

B. 奇函数,且在 (0,1) 上是减函数 D. 偶函数,且在 (0,1) 上是减函数

7.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( A. y ? x ? e x B. y ? x ?

) C. y ? 2 ?
x

1 x

1 2x

D. y ? 1 ? x 2

8.已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ? 2

x?m

? 1 ( m 为实数)为偶函数,记
)

a ? f (log0.5 3), b ? f ?log2 5? , c ? f ? 2m? ,则 a, b, c 的大小关系为(
(A) a ? b ? c (B) a ? c ? b (C) c ? a ? b (D) c ? b ? a

?1, x ? 0, ? 9.已知符号函数 sgn x ? ?0, x ? 0, f ( x) 是 R 上的增函数, g ( x) ? f ( x) ? f (ax) (a ? 1) ,则( ? ?1, x ? 0. ?



[来源:学科网]

A. sgn[ g ( x)] ? sgn x

B. sgn[ g ( x)] ? ? sgn x

C. sgn[ g ( x)] ? sgn[ f ( x)]

D. sgn[ g ( x)] ? ? sgn[ f ( x)]

3 2 10.已知 f ( x), g ( x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f ( x) ? g ( x) ? x ? x ? 1 ,则 f (1) ? g (1) ? (

)

A. ? 3

B. ? 1

C. 1

D. 3

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 11.已知 f ( x ) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x ? ?0,3? 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x ?

1 , 2
.

若函数 y ? f ( x) ? a 在区间 ? ?3, 4? 上有 10 个零点(互不相同) ,则实数 a 的取值范围是

12.已知函数 f ? x ? ? x ? e ?
2 x

1 ( x ? 0) 与 g ?x? ? x 2 ? ln(x ? a) 图像上存在关于 y 轴对称的点, 2
) C. (?

则 a 的取值范围是( A. (??,

1 ) e

B. (??, e )

1 , e) e

D. ( ? e ,

1 ) e

【2017 年高考考点定位】 高考对函数性质的考查有三种主要形式:一是考察单调性,可以从函数图象、单调性定义、导数(自主招生)来理 解;二是考察奇偶性,要从图象和定义入手,尤其要注意抽象函数奇偶性的判断;三是对称性和周期性结合,用 以考察函数值重复出现的特征以及求解析式. 【考点 1】函数的单调性 【备考知识梳理】 1.单调性定义:一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A . 区间 I ? A . 如果对于区间 I 内的任意两个值 x1 , x2 , 当 x1<x2 时,都有 f ( x1 )<f ( x2 ), 那么就说 y=f ( x) 在区间 I 上是单调增 函数, I 称为 y=f ( x) 的单调增区间. 如果对于区间 I 内的任意两个值 x1 , x2 , 当 x1<x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 y=f ( x) 在区间 I 上是单调 减函数, I 称为 y=f ( x) 的单调减区间.
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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 2.利用图象判断函数单调性:在定义域内的某个区间上,若函数图象从左向右呈上升趋势,则函数在该区间内单 调递增;若函数图象从左向右呈下降趋势,则函数在该区间单调递减. 【考点针对训练】 1.若函数 f ( x) ? x ? a x ? 2 在 (0,??) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是______.
2

2.下列函数中,既是奇函数,又在 ?0,??? 上为增函数的是( A. y ? x ?

) C. y ? ? x 3 D. y ? lg 2 x

1 x

B. y ?

x

【考点 2】函数的奇偶性 【备考知识梳理】 1.函数的奇偶性的定义: 对于函数 f ( x) 定义域内定义域内任意一个 x ,若有 f (? x) ? ? f ( x) ,则函数 f ( x) 为奇函数; 若有 f (? x) ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 为偶函数

2.奇偶函数的性质: ⑴ 定义域关于原点对称; ⑵ 偶函数的图象关于 y 轴对称; ⑶ 奇函数的图象关于原点对称; ⑷ 奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇. ⑸ f ( x) 为偶函数 ? f ( x) ? f (| x |) . ⑹ 若奇函数 f ( x) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0 .

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 【考点针对训练】 1.若函数 f ( x) ? x ?

(2a ? 1) x ? 1 ? 1 为奇函数,则 a ? ________. x

2.已知函数 f ( x ) 是 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 且?

?
2

?? ?

?
2

1 1 3 (| x ? tan ? | ? | x ? tan ? | ? tan ? ) ( ? 为常数, 2 2 2
.

),若对实数 x ? R ,都有 f ( x ? 3) ? f ( x) 恒成立,则实数 a 的取值范围是

【考点 3】周期性和对称性 【备考知识梳理】 1.周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x), 那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期.

2.最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正 周期.

3.关于函数周期性常用的结论 (1)若满足 f ( x+a)=-f ? x ? ,则 f ( x+2a)=f [( x+a)+a]=-f ( x+a)=f ? x ? ,所以 2a 是函数的一个周期 ( a ? 0 ); (2)若满足 f ( x+a )= ( a ? 0 ); (3)若函数满足 f ( x ? a )=-

1 1 ,则 f ( x+2a)=f [( x+a)+a]= = f ( x ) ,所以 2a 是函数的一个周期 f ( x) f ( x ? a)

1 ,同理可得 2a 是函数的一个周期( a ? 0 ). f ( x)

(4)如果 y ? f ( x) 是 R 上的周期函数,且一个周期为 T,那么 f ( x ? nT ) ? f ( x)(n ? Z ) .
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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! (5)函数图像关于 x ? a, x ? b 轴对称 ? T ? 2(a ? b) . (6)函数图像关于 ?a,0?, ?b,0? 中心对称 ? T ? 2(a ? b) . (7)函数图像关于 x ? a 轴对称,关于 ?b,0? 中心对称 ? T ? 4(a ? b) .

【考点针对训练】 1.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( ? x ) ? ? f ( x ) , f ( x ? 1) ? f (1 ? x ) ,且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1 ,则 )
f (31) =

.

2.已知函数 f ( x ) 关于直线 x ? ?2 对称,且 周期为 2,当 x ?[?3, ?2] 时, f ( x) ? ( x ? 2)2 ,则 f ( ) ? ( A.0 B.

5 2



1 4

C.

1 16

D.1

【应试技巧点拨】 1.单调性的判断方法: a.利用基本初等函数的单调性与图像:只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性; b.性质法: (1)增函数 ? 增函数 ? 增函数,减函数 ? 减函数 ? 减函数,增函数 ? 减函数 ? 增函数,减函数 ? 增函 数 ? 减函数; (2)函数 ? f ? x ? 与函数 f ? x ? 的单调性相反; (3) k ? 0 时,函数 f ? x ? 与

f ? x? k

k

的单调性相反( f ? x ? ? 0 ) ;

k ? 0 时,函数 f ? x ? 与

f ? x?

的单调性相同( f ? x ? ? 0 ).

【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性,还需注意断点处两边函数值的大小比较. 2.单调区间的求法: a.利用已知函数的单调区间来求; b.图象法:对于基本初等函数及其函数的变形函数,可以作出函数图象求出函数的单调区间. c.复合函数法:对于函数 y ? f ? ? g ? x ?? ? ,可设内层函数为 u ? g ? x ? ,外层函数为 y ? f ?u ? ,可以利用复合函数
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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 法来进行求解,遵循“同增异减”,即内层函数与外层函数在区间 D 上的单调性相同,则函数 y ? f ? ? g ? x ?? ? 在区 间 D 上单调递增;内层函数与外层函数在区间 D 上的单调性相反,则函数 y ? f ? ? g ? x ?? ? 在区间 D 上单调递减. 【注】函数的多个递增区间或递减区间不能合并,在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行连接. 3. 在公共定义域内, ①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数; ②两个偶函数的和、积是偶函数; ③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数. 4. 奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间 上的单调性相反.

5. 关于函数周期性常用的结论 (1)若满足 f ( x+a)=-f ? x ? ,则 f ( x+2a)=f [( x+a)+a]=-f ( x+a)=f ? x ? ,所以 2a 是函数的一个周期 ( a ? 0 ); (2)若满足 f ( x+a )= ( a ? 0 ); (3)若函数满足 f ( x ? a )=-

1 1 ,则 f ( x+2a)=f [( x+a)+a]= = f ( x ) ,所以 2a 是函数的一个周期 f ( x) f ( x ? a)

1 ,同理可得 2a 是函数的一个周期( a ? 0 ). f ( x)

(4)如果 y ? f ( x) 是 R 上的周期函数,且一个周期为 T,那么 f ( x ? nT ) ? f ( x)(n ? Z ) . (5)函数图像关于 x ? a, x ? b 轴对称 ? T ? 2(a ? b) . (6)函数图像关于 ?a,0?, ?b,0? 中心对称 ? T ? 2(a ? b) . (7)函数图像关于 x ? a 轴对称,关于 ?b,0? 中心对称 ? T ? 4(a ? b) .

1.下列函数 中,既是偶函数又在区间 ? 0, +? ? 上单调递增的是(

)
ln x

1 A. y ? x

B. y ? lg x

C. y ? x ?1

?1? D. y ? ? ? ?2?

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 2.已知函数 f ( x) ? ? x x ? 2x ,则下列结论正确的是( A. f ( x ) 是偶函数,递增区间是 (0, ??) C. f ( x ) 是奇函数,递增区间是 (??, ?1) )

B. f ( x ) 是偶函数,递减区间是 (??, ?1) D. f ( x ) 是奇函数,递增区间是 (?1,1)

3.已知定义在 R 上的函数 f ?x? ? 2 则 a , b, c 的大小关系为( A. a ? b ? c )

x ?m

? 4? ?, b ? f log2 5 , c ? f ?2m ? log ? 1 ( m ? R )为偶函数.记 a ? f ? 1 ? ? 3 ? ?

?

?

B. c ? a ? b

C. a ? c ? b

D. c ? b ? a

4.定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足: f (4) ? f (?2) ? 0 ,在区间 (??, ?3) 与 ? ?3,0? 上分别递增和递减, 则不等式 xf ( x) ? 0 的解集为( A. (??, ?4) ? (4, ??) ) C. (??, ?4) ? (?2,0) D. (??, ?4) ? (?2,0) ? (2, 4)

B. (?4, ?2) ? (2, 4)

5.已知函数 y=f(x)对任意自变量 x 都有 f(x+1)=f(1-x),且函数 f(x)在[1,+∞)上单调.若数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 f(a6)=f(a20),求{an}的前 25 项之和.

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 6.已知函数 f ( x ) ? ln(| x | ?1) ? A. ? ,1?

x 2 ? 1 ,则使得 f ( x) ? f (2 x ?1) 的 x 的范围是(
C. ?1, ?? ? D. ? ??, ?



?1 ? ?3 ?

B. ? ??, ? ? ?1, ?? ?

? ?

1? 3?

? ?

1? 3?

7.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 0 ,且当 x ? ?0, 2 ? 时, f ( x) ? 3x ? 1, 则 f (2015) 的值为( A. ?2 B. 0 ) C.2 D.8
[来源:Zxxk.Com]

? 2? 8.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? =log 2 x ? 1 ,则 f ? ? ? 2 ? ?= ? ?

.

9.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,当 x ? [3,5] 时, f ( x) ? 2? | x ? 4 | ,则(



) ? f (cos ) 6 6 2? 2? ) ? f (cos ) C. f (sin 3 3
A. f (sin

?

?

B. f (sin1) ? f (cos1) D. f (sin 2) ? f (cos 2)

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 10.已知函数 F ? x ? ? ex 满足 F ? x ? ? g ? x ? ? h ? x ? ,且 g ?x ? , hx ?

? 分别是 R 上的偶函数和奇函数,若 ?x ? ? 0, 2?


使得不等式 g ? 2x ? ? ah ? x ? ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. ??, 2 2

?

?

B. ??, 2 2 ?

?

?

C. 0, 2 2 ?

?

?

D. 2 2, ??

?

?

11.函数 y ? x lg
2

x?2 的图像( x?2

) C.关于直线 y ? x 对称 D.关于 y 轴对称

A.关于 x 轴对称

B.关于原点对称

12.设 f ( x) 是 R 上的奇函数, f ?x ? 2? ? ? f ?x ? ,当 0 ? x ? 1 时, f ?x ? ? x ,则 f ?5.5? ?

.

13.已知函数 f ( x) 是定义在 (??, 0) ? (0, ??) 上的奇函数,在 (0, ??) 上单调递减,且 f (2) ? 0 ,若 f ( x ? 1) ? 0 , 则 x 的取值范围为 .

2 x ?1 ? m 14.若函数 f ( x) ? 是奇函数,则 m ? 2x ? 1

.

?m 15.已知幂函数 f ? x ? ? x

2

? 2 m?3

(m ? Z ) 为偶函数,且在区间 ? 0, ??? 上是单调增函数,


则 f ? 2 ? 的值为

第 12 页 /共 15 页

有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 【一年原创真预测】 1.已知函数 f ( x) 是 定义在 R 上的偶函数, 且 f (2) ? ?1 , 对任意 x ? R , 有 f (x) ??f (2 ?x ) 的值为( A.0 ) B.-1 C.1 D.2 成立, 则 f (2016)

2. 已知函数 y ? f ? x ? 1? 的图象关于 y 轴对称,且函数 f ? x ? 对任意 x1 , x2 ?[1, ??) ( x1 ? x2 ),有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,设 a(a ? 1) 是函数 f ? x ? 的零点,若 x0 ? 2 ? a ,则 f ? x0 ? 的值满足( x1 ? x2
A. f ? x0 ? ? 0 B. f ? x0 ? ? 0 C. f ? x0 ? ? 0 D. f ? x0 ? 的符号不确定



3. 下列函数既是奇函数又在(-1,1)上是减函数的是( A. y ? tan x B. y ? x
?1

) C. y ? ln

2? x 2? x

D. y ?

1 x ?x (3 ? 3 ) 3

4. 函数 f ( x)( x ? R) 是周期为 4 的奇函数,且在 [0, 2] 上的解析式为 f ( x) = í

ì ? x(1 - x),0 #x 1 ,则 ? sin px,1 < x ? 2 ?

17 41 f ( )+ f ( ) =( 4 6 7 A. 16

) B.

9 16

C.

11 16

D.

13 16

第 13 页 /共 15 页

有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 5. 已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的函数,若函数 f ( x ? 2 016) 为偶函数,且 f ? x ? 对任意 x1 , x2 ?[2 016, ??) ( x1 ? x2 ),都有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,则( x2 ? x1

) B. f (2 017) ? f (2 014) ? f (2 019) D. f (2 019) ? f (2 017) ? f (2 014)

A. f (2 019) ? f (2 014) ? f (2 017) C. f (2 014) ? f (2 017) ? f (2 019)

6. 已知函数 f ( x) ? 1 ?

a 1 ( a ? R )为奇函数,则 f ( x) ? 的解集为 2 ?1 2
x

.

7. 已知函数 h( x) 是定义在(-2,2)上,满足 h(? x) ? ?h( x) ,且 x ? (0,2) 时, h( x) ? ?2 x ,当 x ? (?2,0) 时,不 等式 ? h( x) ? 2? ? h( x)m ? 1 恒成立,则实数 m 的取值范围是__________________.
2

8.若函数 f ( x ) 满足对任意 x ? R ,都有 f ? x ?

? ?

3? ? ? ? f ? x ? ,如图表示该函数在区间 (?2,1] 上的图像,则 2?

f (2014) + f (2015) =(



A.3

B.2

C.1

D.0

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴!

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