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高中数学《抛物线的简单性质的应用》导学课件 北师大版选修1-1


第6课时 抛物线的简单性质的应用 1.根据抛物线的几何性质进行一些简单问题的应用,会利用几 何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程、焦半径 和通径. 2.能判断抛物线与直线的位置关系,理解抛物线的焦点弦的特 殊意义,结合定义得到焦点弦的公式,并利用该公式解决一些 相关的问题. 我们已经学习了抛物线及抛物线的简单几何性质,抛物线 的几何性质应用非常广泛,通过类比椭圆

、双曲线的几何性质 ,结合抛物线的标准方程讨论研究抛物线的几何性质,再一次 体会用曲线的方程研究曲线性质的方法,抛物线的范围、对称 性、顶点、离心率等性质不难掌握,而抛物线几何性质的应用 是学习的难点,学习中应注重几何模型与数学问题的转换. 问题1 直线和抛物线的位置关系的判定方法 联立直线和抛物线方程得:ax2+bx+c=0. 当a≠0时, Δ>0? 直线与抛物线相交,有两个不同的交点 Δ=0? Δ<0? 直线与抛物线相切,只有一个公共点 直线与抛物线相离 ; ; ,没有公共点. 当a=0时,直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线, 此时,直线和抛物线 相交 ,只有一个公共点,但不能称为相 切. 问题2 抛物线的弦长的求解,可以利用两点间距离公式转化为 弦长公式|AB|= 1 + k 2 |x1-x2|,再转化为两根之和与两根之 积的形式进行求解,这与椭圆和双曲线的弦长计算是相同的. 抛物线中还有一类较为特殊的弦,那就是过焦点的弦,以 y2=2px(p>0)为例,根据抛物线的定义,可以将焦点弦长转化 x1+x2+p ,这样在求解时可以大大简化运算量. 为|AB|= 过焦点且垂直于对称轴的弦叫通径.直接应用抛物线定义, 得到通径:d=2p. 关于抛物线的几个结论 设 AB 是过抛物线 y2=2px(p>0)焦点 F 的弦,过点 A(x1,y1),B(x2,y2) 的直线的倾斜角为 θ,P(x0,y0)是抛物线上任意一点,则 (1)以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切; (2)A,B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值.即 p2 x1·x2= ,y1·y2=-p2; 4 2p 1 1 2 , + = ; sin 2θ |FA | |FB | p p2 S△OAB= ; 2sin θ 2 问题3 (3)焦半径(抛物线上一点与抛物线焦点 F 的线段)为|PF|=x0+ ; (4)焦点弦|AB|=x1+x2+p= (5)焦点三角形面积为 p 2 (6)若点 P(x0,y0)在抛物线 y =2px(p>0)或 x =2py(p>0)的内部(含 2 2 焦点区域),则y0 <2px0 或x0 <2py0. 2 1 经过抛物线y2=2x的焦点且平行于直线3x-2y+5=0 的直线l的方程是( A ). A.6x-4y-3=0 C.2x+3y-2=0 B.3x-2y-3=0 D.2x+3y-1=0 2 【解析】设直线 l 的方程为 3x-2y+c=0,抛物线 y =2x 的焦点 F( ,0), 2 1 所以 3× -2×0+c=0, 所以 c=- ,故直线 l 的方程是 6x-4y-3=0.选 A. 2 2 3 1 2 过点(1,0)作斜率为-2 的直线,与抛物线 y =8x 交于 A,B 两 点,则弦 AB 的长为( B ). A.2 13 B.2 15 C.2 17 D.2 19 2 【解析】不妨设 A,B 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),其中 x1>x2. 由直线 AB 斜率为-2,且过点(1,0

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