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高中数学平面向量数量积最值问题的求解策略


平面向量数量积最值问题的求解策略 近几年,平面向量数量积的最值问题频频出现在各地的高考卷上,成为高考中 的一个热点问题,现以几例具体阐述此类问题的解决途径. 一、借助基本的向量运算降低问题难度 例 1:(05 年江苏高考试题 )在 ?ABC 中 , O 为中线 AM 上一个动点 , 若 AM ? 2 ,则

OA ? (OB ? OC) 的最小值是______

____.
分析:(如图)本题的突破口关键在于 AM 为 ?ABC 的中线,故易知

OB ? OC ? 2OM ,所以: OA ? (OB ? OC) ? OA ? (2OM ) ? 2(OA ? OM )
从而把不共线向量数量积的问题转化为共线向量数量积的问题. 解:
AM 为 ?ABC 的中线?OB ? OC ? 2OM

?OA ? (OB ? OC) ? OA ? (2OM ) ? 2(OA ? OM ) ? 2 | OA | ? | OM | cos ? ? ?2 | OA | ? | OM |
又 | OA | ? | OM |? (
| OA | ? | OM | 2 | AM |2 ) ? ? 1 ?OA ? (OB ? OC) ? ?2 2 4

例 2:(04 年湖北高考试题)在 Rt ?ABC 中, BC ? a ,若长为 2a 的线段 PQ 以 A 点为中点,问 PQ 与 BC 的夹角 ? 取何值时 BP ? CQ 的值最大?并求出 这个最大值. 分析:本题的突破口关键在于 P, A, Q 三点共线,从而联想到把 BP 和 CQ
1 1 作如下的分解: BP ? BA ? AP ? BA ? PQ , CQ ? CA ? AQ ? CA ? PQ 2 2 2 1 1 分解之后,真可谓是海阔天空. BP ? CQ ? BA ? CA ? PQ ? ( BA ? CA) ? PQ 2 4 1 1 故: BP ? CQ ? PQ ? BC ? a 2 ? | PQ || BC | cos ? ? a 2 ? a 2 cos ? ? a 2 2 2 1 1 解: BP ? CQ ? ( BA ? AP ) ? (CA ? AQ ) ? ( BA ? PQ ) ? (CA ? PQ ) 2 2 2 1 1 1 1 ? BP ? CQ ? BA ? CA ? PQ ? ( BA ? CA) ? PQ ? BA ? CA ? PQ ? BC ? | PQ |2 2 4 2 4

又 BA ? CA,| PQ |? 2a,| BC |? a
? BP ? CQ ? 1 1 PQ ? BC ? a 2 ? | PQ || BC | cos ? ? a 2 ? a 2 cos ? ? a 2 2 2

? 当 cos ? ? 1 ,即 ? ? 0 ( PQ 与 BC 同向)时, BP ? CQ 取到最大值 0.
二、建立直角坐标系降低问题门槛 对于上述两道高考试题,应用向量的基本运算把不共线的数量积问题转化为共 线的或者是易求的数量积问题,从而达到解决问题的目的 .但是从纯几何的角度出 发,对学生的思维层次要求较高,对于此类问题我们还可以借助建立直角坐标系的

方法,降低问题的难度. 例 1:另解:以 M 点为圆心, AM 所在直线为 y 轴,建立如图所示的直角坐标系. 设 A(0, 2), B( x, y), O(0, z ) ,则 C (? x, ? y)

?OA ? (0, 2 ? z), OB ? ( x, y ? z), OC ? (?x, ? y ? z) OB ? OC ? (0, ?2z) (0 ? z ? 2) ?OA ? (OB ? OC) ? (2 ? z)(?2z) ? 2( z ?1)2 ? 2
故 OA ? (OB ? OC) 的最小值为 ?2 例 2:另解:以 A 点为原点, AB 边所在直线为 x 轴,建立如图所示的直角坐标系. 设 ?CAB ? ? , PQ 与 AB 的夹角为 ? ,则 B(a cos ? ,0), C (0, a sin ? )
P(?a cos ? , ?a sin ? ), Q(a cos ? , a sin ? )

? BP ? (?a cos ? ? a cos? , ?a sin ? ), CQ ? (a cos ? , a sin ? ? a sin ? )

? BP ? CQ ? ?a 2 cos2 ? ? a 2 cos ? cos ? ? a 2 sin 2 ? ? a 2 sin ? sin ? ? ?a 2 [1 ? cos(? ? ? )]

? 当 cos(? ? ? ) ? ?1 即 ? ? ? ? ? ( PQ 与 BC 同向)时, BP ? CQ 的最大值为 0
点评:通过建立适当的直角坐标系,将向量的数量积坐标化,从而转化常见的求函数 最值问题.读者可以试着用上述的两种方法来完成下面的练习. 练习:如图,已知等边 ?ABC 的边长为 2 ,又以 A 为圆心 ,半径为 1 作圆, PQ 是直径, 试求

BP ? CQ 的最大值,并指明此时四边形 BCQP 的形状.
答案: BP ? CQ 的最大值为 3 ,此时四边形 BCQP 为矩形.


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