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【单元测验】第1章 集合与函数概念


【单元测验】第 1 章 集合与函数概念

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【单元测验】第 1 章 集合与函数概念
一、选择题(共 20 小题) 1. (2011?福建)对于函数 f(x)=asinx+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z) ,选取 a,b,c 的一组值计算 f(1)和 f(﹣1) , 所得出的正确结果一定不可能是( ) A.4 和 6 B.3 和 1 C.2 和 4 D.1 和 2 2. (2011?广东)函数 f(x)= A.(﹣∞,﹣1) )

+lg(1+x)的定义域是(

B.(1,+∞)
2

C.(﹣1,1)∪ (1,+∞) D.(﹣∞,+∞) ) C.P?CRQ

3. (2010?浙江)设 P={x|x<4},Q={x|x <4},则( A.P?Q B.Q?P 4. (2010?天津)下列命题中,真命题是( ) 2 A.?m∈R,使函数 f(x)=x +mx(x∈R)是偶函数 B. ?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数 C. ?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数 D.?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数

D.Q?CRP

5. (2010?四川)设集合 A={3,5,6,8},集合 B={4,5,7,8},则 A∩ 等于( B A.{3,4,5,6,7,8} B.{3,6} C.{4,7}

) D.{5,8}

6. (2010?重庆)函数 A.关于原点对称

的图象( B.关于直线 y=x 对称
3 x

) C.关于 x 轴对称 ) D.m=0 或 n=0
2

D.关于 y 轴对称

7. (2011?番禺区)已知函数 f(x)=x +m?2 +n 是奇函数,则( A.m=0 B.m=0 且 n=0 C.n=0

8. (2011?安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x ﹣x,则 f(1)=( A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3



9. (2010?天津)设函数 g(x)=x ﹣2,f(x)= A. B.[0,+∞) C.

2

,则 f(x)的值域是( D.



10. (2010?四川)函数 f(x)=x +mx+1 的图象关于直线 x=1 对称的充要条件是( A.m=﹣2 B.m=2 C.m=﹣1
2 2

2

) D.m=1

11. (2011?广东)已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x +y =1},B={(x,y)|x,y 为实数,且 y=x},则 A∩ B 的元素个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3
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www.jyeoo.com 12. (2011?安徽)设集合 A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足 S?A 且 S∩ B≠?的集合 S 的个数是 ( ) A.57 B.56 C.49 D.8 13. (2011?北京)已知全集 U=R,集合 P={x|x ≤1},那么?∪ P=( ) A.(﹣∞,﹣1] B.[1,+∞) C.[﹣1,1] 14. (2011?福建)若集合 M={﹣1,0,1},N={0,1,2},则 M∩ 等于( N A.{0,1} B.{﹣1,0,1} C.{0,1,2} ) D.{﹣1,0,1,2}
2

D.(﹣∞,﹣1)∪ (1,+∞)

15. (2011?北京)设 A(0,0) ,B(4,0) ,C(t+4,4) ,D(t,4) (t∈R) .记 N(t)为平行四边形 ABCD 内部(不 含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数 N(t)的值域为( ) A.{9,10,11} B.{9,10,12} C.{9,11,12} D.{10,11,12} 16. (2011?安徽)集合 U={1,2,3,4,5,6},S={1,4,5},T={2.3.4},则 S∩ UT)等于( (? ) A.{1,4,5,6} B.{1,5} C.{4} D.{1,2,3,4,5} 17. (2010?重庆)函数 A.[0,+∞) 的值域是( B.[0,4]
2

) C.[0,4) D.(0,4)

18. (2010?浙江)设 P={x|x<1},Q={x|x <4},则 P∩ Q( ) A.{x|﹣1<x<2} B.{x|﹣3<x<﹣1} C.{x|1<x<﹣4}

D.{x|﹣2<x<1}

19. (2010?陕西) (陕西卷理 5)已知函数 f(x)= A. B. C.2

若 f(f(0) )=4a,则实数 a 等于( D.9



20. (2011?北京)根据统计,一名工作组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为

(A,

C 为常数) .已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品用时 15 分钟,那么 C 和 A 的值分别是( A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16 二、填空题(共 20 小题) (除非特别说明,请填准确值) 21. (2008?上海)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是 _________ .



22. (2009?天津) 设全集 U=A∪ B={x∈N |lgx<1}, A∩UB={m|m=2n+1, 若 ? n=0, 2, 4}, 1, 3, 则集合 B= _________ . 23. (2009?山东)定义在 R 上的偶函数 f(x) ,满足以 f(x+2)=﹣f(x)且在[0,2]上是减函数,若方程 f(x)=m (m>0)在区间[﹣2,6]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2+x3+x4= _________ .

*

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www.jyeoo.com 24. (2009?湖南)某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项运动都不喜爱,则 喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 _________ . 25. (2009?江苏)已知集合 A={x|log2x≤2},B=(﹣∞,a) ,若 A?B 则实数 a 的取值范围是(c,+∞) ,其中 c= _________ . 26. (2008?北京)如图,函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分别为(0,4)(2,0)(6,4) , , , 则 f(f(0) )= _________ ; = _________ . (用数字作答)

27. (2008?江苏)若集合 A={x|(x﹣1) <3x+7,x∈R},则 A∩ 中有 _________ 个元素. Z 28. (2008?上海)若集合 A={x|x≤2}、B={x|x≥a}满足 A∩ B={2},则实数 a= _________ . 29. (2008?湖南)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x+3)?f(x)=﹣1,f(﹣1)=2,则 f(2008)= _________ 30. (2008?浙江)已知函数 f(x)=x +|x﹣2|,则 f(1)= _________ . 31. (2008?湖南)设[x]表示不超过 x 的最大整数,如[2]=2,[ ]=1,对于给定的 n∈N ,定义
* 2

2

Cn = _________ .

x

,x∈[1,+∞) ,则

= _________ ;当 x∈[2,3)时,函数 C 8 的值域是

x

32. (2008?重庆) 设集合 U={1, 3, 5}, 2, 4, A={2, B={3, 5}, 4}, 4, C={3, 则 4}, (A∪ ∩ UC) B)(? =

_________ .

33. (2008?重庆)已知集合 U={1,2,3,4,5},A={2,3,4},B={4,5},则 A∩ UB)= _________ (C 34. (2008?上海)若函数 f(x)=(x+a) (bx+2a) (常数 a、b∈R)是偶函数,且它的值域为(﹣∞,4],则该函数 的解析式 f(x)= _________ . 35. (2008?上海)已知集合 A={x|x<﹣1 或 2≤x<3},B={x|﹣2≤x<4},则 A∪ B= _________ . 36. (2009?陕西)某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加 数学、物理、化学小组的人数分别为 26,15,13,同时参加数学和物理小组的有 6 人,同时参加物理和化学小组的 有 4 人,则同时参加数学和化学小组的有 _________ 人.

37. (2007?重庆)函数

的最小值为 _________ .

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38. (2008?湖南)已知函数

(a≠1) .

(1)若 a>0,则 f(x)的定义域是 _________ ; (2)若 f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数 a 的取值范围是 _________



39. (2009?北京)已知函数

若 f(x)=2,则 x= _________ .

40. (2009?北京)设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k﹣1?A 且 k+1?A,那么称 k 是 A 的一个“孤立 元”, 给定 S={1, 3, 5, 7, }, S 的 3 个元素构成的所有集合中, 2, 4, 6, 8, 由 不含“孤立元”的集合共有 _________ 个.

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【单元测验】第 1 章 集合与函数概念
参考答案与试题解析
一、选择题(共 20 小题) 1. (2011?福建)对于函数 f(x)=asinx+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z) ,选取 a,b,c 的一组值计算 f(1)和 f(﹣1) , 所得出的正确结果一定不可能是( ) A.4 和 6 B.3 和 1 C.2 和 4 D.1 和 2 考点: 专题: 分析: 解答: 函数的值. 计算题. 求出 f(1)和 f(﹣1) ,求出它们的和;由于 c∈Z,判断出 f(1)+f(﹣1)为偶数. 解:f(1)=asin1+b+c ① f(﹣1)=﹣asin1﹣b+c ② ① 得 +② f(1)+f(﹣1)=2c ∵ c∈Z f(1)+f(﹣1)是偶数 故选 D 点评: 本题考查知函数的解析式求函数值、考查偶数的特点.
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2. (2011?广东)函数 f(x)= A.(﹣∞,﹣1)

+lg(1+x)的定义域是(



B.(1,+∞)

C.(﹣1,1)∪ (1,+∞) D.(﹣∞,+∞)

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,结合分式与对数函数的定义域,可得
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,解可得答案.

解答: 解:根据题意,使 f(x)=

+lg(1+x)有意义,

应满足

,解可得(﹣1,1)∪ (1,+∞) ;

故选 C. 点评: 本题考查函数的定义域,首先牢记常见的基本函数的定义域,如果涉及多个基本函数,取它们的交集即可. 3. (2010?浙江)设 P={x|x<4},Q={x|x <4},则( A.P?Q B.Q?P
2

) C.P?CRQ

D.Q?CRP

考点: 集合的包含关系判断及应用. 分析: 此题只要求出 x2<4 的解集{x|﹣2<x<2},画数轴即可求出 解答:
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P={x|x<4},Q={x|x <4}={x|﹣2<x<2},
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2

可知 Q?P,故 B 正确,

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5. (2010?四川)设集合 A={3,5,6,8},集合 B={4,5,7,8},则 A∩ 等于( B A.{3,4,5,6,7,8} B.{3,6} C.{4,7}

) D.{5,8}

考点: 交集及其运算. 分析: 根据交集的定义和运算法则进行计算. 解答: 解:∵ 集合 A={3,5,6,8},集合 B={4,5,7,8}, 又∵ 集合 A 与集合 B 中的公共元素为 5,8, ∴ B={5,8}, A∩ 故选 D. 点评: 此题考查简单的集合的运算,集合在高考的考查是以基础题为主,题目比较容易,学习过程中我们应从基 础出发.
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6. (2010?重庆)函数 A.关于原点对称

的图象( B.关于直线 y=x 对称

) C.关于 x 轴对称 D.关于 y 轴对称

考点: 奇偶函数图象的对称性. 专题: 计算题. 分析: 题设条件用意不明显,本题解题方法应从选项中突破,由于四个选项中有两个选项是与奇偶性有关的,故 先验证奇偶性较好, 解答: 解: ,
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∴ f(x)是偶函数,图象关于 y 轴对称 故选 D. 点评: 考查函数的对称性,宜从奇偶性入手研究.
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www.jyeoo.com 7. (2011?番禺区)已知函数 f(x)=x +m?2 +n 是奇函数,则( A.m=0 B.m=0 且 n=0 C.n=0 考点: 专题: 分析: 解答:
3 x

) D.m=0 或 n=0

函数奇偶性的性质. 计算题. 根据奇函数的性质可得,f(0)=0 且 f(﹣1)=﹣f(1) ,代入可求 m,n 解:根据奇函数的性质可得,f(0)=0 且 f(﹣1)=﹣f(1) ∴ n=0
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∴ m=0 答案:B 点评: 本题主要考查了奇函数的定义 f(﹣x)=﹣f(x)对任意的 x 都成立,解题的关键是利用奇函数的性质 f(0) =0 8. (2011?安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x ﹣x,则 f(1)=( A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3
2



考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 要计算 f(1)的值,根据 f(x)是定义在 R 上的奇函娄和,我们可以先计算 f(﹣1)的值,再利用奇函数
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的性质进行求解,当 x≤0 时,f(x)=2x ﹣x,代入即可得到答案. 解答: 解:∵ x≤0 时,f(x)=2x2﹣x, 当 2 ∴ f(﹣1)=2(﹣1) ﹣(﹣1)=3, 又∵ f(x)是定义在 R 上的奇函数 ∴ f(1)=﹣f(﹣1)=﹣3 故选 A 点评: 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,熟练掌握函数的奇偶性的性质是解答本题的关键.

2

9. (2010?天津)设函数 g(x)=x ﹣2,f(x)= A. B.[0,+∞) C.

2

,则 f(x)的值域是( D.



考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值域. 专题: 分类讨论;函数的性质及应用. 分析: 根据 x 的取值范围化简 f(x)的解析式,将解析式化到完全平方与常数的代数和形式,在每一段上求出值 域,再把值域取并集. 2 解答: 解:x<g(x) ,即 x<x ﹣2,即 x<﹣1 或 x>2. x≥g(x) ,即﹣1≤x≤2.
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由题意 f(x)=

=

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=



所以当 x∈(﹣∞,﹣1)∪ (2,+∞)时,由二次函数的性质可得 f(x)∈(2,+∞) ; x∈[﹣1,2]时,由二次函数的性质可得 f(x)∈[﹣ ,0], 故选 D. 点评: 本题考查分段函数值域的求法,二次函数的性质的应用,考查分类讨论的数学思想,属于基础题. 10. (2010?四川)函数 f(x)=x +mx+1 的图象关于直线 x=1 对称的充要条件是( A.m=﹣2 B.m=2 C.m=﹣1 考点: 函数的图象. 专题: 计算题. 分析: 根据二次函数对称轴定义和互为充要条件的条件去判断即可. 解答: 2 解:函数 f(x)=x +mx+1 的对称轴为 x=﹣
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2

) D.m=1

?﹣ =1?m=﹣2. 答案:A. 点评: 本题考查了互为充要条件的关系和二次函数的对称轴问题. 11. (2011?广东)已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x +y =1},B={(x,y)|x,y 为实数,且 y=x},则 A∩ B 的元素个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 据观察发现,两集合都表示的是点集,所以求两集合交集即为两函数的交点,则把两集合中的函数关系式 联立求出两函数的交点坐标,交点有几个,两集合交集的元素就有几个. 解答: 解:联立两集合中的函数解析式得:
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2

2

,把② 代入① 得:2x =1,解得 x=±

2



分别把 x=±

代入② ,解得 y=±

, , )和(﹣ ,﹣ ) ,

所以两函数图象的交点有两个,坐标分别为(

则 A∩ 的元素个数为 2 个. B 故选 C 点评: 此题考查学生理解两个点集的交集即为两函数图象的交点个数,是一道基础题. 12. (2011?安徽)设集合 A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足 S?A 且 S∩ B≠?的集合 S 的个数是 ( ) A.57 B.56 C.49 D.8

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www.jyeoo.com 考点: 子集与真子集. 专题: 计算题. 6 分析: 因为集合 S 为集合 A 的子集,而集合 A 的元素有 6 个,所以集合 A 的子集有 2 个,又集合 S 与集合 B 的 交集不为空集,所以集合 S 中元素不能只有 1,2,3,把不符合的情况舍去,即可得到满足题意的 S 的个 数. 解答: 解:集合 A 的子集有:{1},{2},{3},{4},{5},{6},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},…,{1,2,3, 4,5,6},?,共 64 个; 又 S∩ B≠?,B={4,5,6,7,8}, 所以 S 不能为:{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},?共 8 个, 则满足 S?A 且 S∩ B≠?的集合 S 的个数是 64﹣8=56. 故选 B 点评: 此题考查学生掌握子集的计算方法,理解交集的意义,是一道基础题.
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13. (2011?北京)已知全集 U=R,集合 P={x|x ≤1},那么?∪ P=( ) A.(﹣∞,﹣1] B.[1,+∞) C.[﹣1,1]

2

D.(﹣∞,﹣1)∪ (1,+∞)

考点: 补集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 先求出集合 P 中的不等式的解集,然后由全集 U=R,根据补集的定义可知,在全集 R 中不属于集合 P 的元 素构成的集合为集合 A 的补集,求出集合 P 的补集即可. 2 解答: 解:由集合 P 中的不等式 x ≤1,解得﹣1≤x≤1, 所以集合 P=[﹣1,1],由全集 U=R, 得到 CUP=(﹣∞,1)∪ (1,+∞) . 故选 D 点评: 此题属于以不等式的解集为平台,考查了补集的运算,是一道基础题.
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14. (2011?福建)若集合 M={﹣1,0,1},N={0,1,2},则 M∩ 等于( N A.{0,1} B.{﹣1,0,1} C.{0,1,2} 考点: 专题: 分析: 解答:

) D.{﹣1,0,1,2}

交集及其运算. 计算题. 根据集合 M 和 N,由交集的定义可知找出两集合的公共元素,即可得到两集合的交集. 解:由集合 M={﹣1,0,1},N={0,1,2}, 得到 M∩ N={0,1}. 故选 A 点评: 此题考查了交集的运算,要求学生理解交集即为两集合的公共元素,是一道基础题.
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15. (2011?北京)设 A(0,0) ,B(4,0) ,C(t+4,4) ,D(t,4) (t∈R) .记 N(t)为平行四边形 ABCD 内部(不 含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数 N(t)的值域为( ) A.{9,10,11} B.{9,10,12} C.{9,11,12} D.{10,11,12} 考点: 专题: 分析: 解答: 集合的含义. 计算题. 分别由 t=0,1,2 求出 N(t) ,排除错误选取项 A,B,D,从而得到正确选项. 解:当 t=0 时,?ABCD 的四个项点是 A(0,0) ,B(4,0) ,C(4,4) ,D(0,4) , 符合条件的点有(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3) , , , , , , , , ,共九个, N(t)=9,故选项 D 不正确. 当 t=1 时,?ABCD 的四个项点是 A(0,0) ,B(4,0) ,C(5,4) ,D(1,4) ,
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www.jyeoo.com 同理知 N(t)=12,故选项 A 不正确. 当 t=2 时,?ABCD 的四个项点是 A(0,0) ,B(4,0) ,C(6,4) ,D(2,4) , 同理知 N(t)=11,故选项 B 不正确.

故选 C. 点评: 本题考查集合的性质和应用,解题时要注意排除法的合理运用.本题中取整点是个难点,常用的方法是, 先定横(或纵)坐标,在定纵(横)坐标,以确定点的个数,如果从图形上看,就是看直线 x=r(r 是整数) 上有几个整点在四边形内. 16. (2011?安徽)集合 U={1,2,3,4,5,6},S={1,4,5},T={2.3.4},则 S∩ UT)等于( (? ) {4} A.{1,4,5,6} B.{1,5} C. D.{1,2,3,4,5} 考点: 专题: 分析: 解答: 交、并、补集的混合运算. 计算题. 利用补集的定义求出 T 的补集;利用交集的定义求出两个集合的交集. 解:?UT={1,5,6} ∴ (?UT)={1,5} S∩ 故选 B. 点评: 本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义求集合的交、并、补运算.
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17. (2010?重庆)函数 A.[0,+∞)

的值域是( B.[0,4]

) C.[0,4) D.(0,4)

考点: 函数的值域. 分析: x 本题可以有 4 的范围入手,逐步扩充出
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的范围. .

解答:

解:∵ >0,∴ 4 故选 C.

x

点评: 指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的值域为(0,+∞) . 18. (2010?浙江)设 P={x|x<1},Q={x|x <4},则 P∩ Q( ) A.{x|﹣1<x<2} B.{x|﹣3<x<﹣1} C.{x|1<x<﹣4}
2

D.{x|﹣2<x<1}

考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 欲求两个集合的交集,先得化简集合 Q,为了求集合 Q,必须考虑二次不等式的解法,最后再根据交集的 定义求解即可.
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www.jyeoo.com 解答: 解:∵2<4 得﹣2<x<2, x ∴ Q={x|﹣2<x<2}, ∴ Q={x|﹣2<x<1}. P∩ 故答案选 D. 点评: 本题主要考查了集合的基本运算,属容易题.

19. (2010?陕西) (陕西卷理 5)已知函数 f(x)= A. B. C.2

若 f(f(0) )=4a,则实数 a 等于( D.9



考点: 专题: 分析: 解答: 点评:

分段函数的解析式求法及其图象的作法. 常规题型. 先求出 f(0)=2,再令 f(2)=4a,解方程 4+2a=4a,得 a 值. 解:由题知 f(0)=2,f(2)=4+2a,由 4+2a=4a,解得 a=2.故选 C. 本题考查对分段函数概念的理解.
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20. (2011?北京)根据统计,一名工作组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为

(A,

C 为常数) .已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品用时 15 分钟,那么 C 和 A 的值分别是( A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16



考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题. 分析: 首先,x=A 的函数值可由表达式直接得出,再根据 x=4 与 x=A 的函数值不相等,说明求 f(4) 要用 x<A 对应的表达式,将方程组联解,可以求出 C、A 的值. 解答: 解:由题意可得:f(A)= =15,
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所以 c=15 而 f(4)= =30,可得出 =30

故 =4,可得 A=16 从而 c=15 =60 故答案为 D 点评: 分段函数是函数的一种常见类型,解决的关键是寻找不同自变量所对应的范围,在相应区间内运用表达式 加以解决. 二、填空题(共 20 小题) (除非特别说明,请填准确值) 21. (2008?上海)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是 (﹣1,0)∪ (1,+∞) . 考点: 奇函数. 分析: 首先画出 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x 的图象,然后由奇函数的图象关于原点对称画出 x∈(﹣∞,0)时 的图象, 最后观察图象即可求解.
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www.jyeoo.com 解答: 解:由题意可画出 f(x)的草图

观察图象可得 f(x)>0 的解集是(﹣1,0)∪ (1,+∞) 故答案为(﹣1,0)∪ (1,+∞) 点评: 本题考查奇函数及对数函数 f(x)=lg x 的图象特征,同时考查数形结合的思想方法. 22. (2009?天津)设全集 U=A∪ B={x∈N |lgx<1},若 A∩ UB={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4},则集合 B= ? 6,8} . 考点: 专题: 分析: 解答: 交、并、补集的混合运算;集合的包含关系判断及应用. 计算题.
*

{2,4,

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解对数不等式得全集,结合 A∩ UB 得集合?UB,从而求得 B. ? 解:∵ U=A∪ B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

又∵ ?UB={1,3,5,7,9}, A∩ ∴ UB={1,3,5,7,9}, ? ∴ B={2,4,6,8}, 故填:{2,4,6,8}. 点评: 题属于以不等式为依托,考查集合的交集、补集的基础题,也是高考常会考的题型. 23. (2009?山东)定义在 R 上的偶函数 f(x) ,满足以 f(x+2)=﹣f(x)且在[0,2]上是减函数,若方程 f(x)=m (m>0)在区间[﹣2,6]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2+x3+x4= 8 .

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 通过函数为偶函数及 f(x+2)=﹣f(x)推断出函数为周期函数.根据对称性画出函数的示意图,根据函数 图象即可得出答案. 解答: 解:∵ f(x+2)=﹣f(x) ∴ f(x)=﹣f(x﹣2) ∴ f(x﹣2)=f(x+2) 即 f(x)=f(x+4) ∴ f(x)是一个周期函数,周期为 4 又函数是偶函数,所以 f(x)关于 y 轴对称. 由 f(x)在[0,2]上是减函数,可做函数图象示意图如图 设 x1<x2<x3<x4 ∵ f(x)关于 y 轴对称,结合周期性知,函数关于 x=4 对称
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∴1+x2=0 且 x3+x4=8∴1+x2+x3+x4=8 故答案为:8. x x

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点评: 本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,运用数形结合 的思想和函数与方程的思想解答问题. 24. (2009?湖南)某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项运动都不喜爱,则 喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 . 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 设两者都喜欢的人数为 x 人,则只喜爱篮球的有(15﹣x)人,只喜爱乒乓球的有(10﹣x)人,由此可得 (15﹣x)+(10﹣x)+x+8=30,解之即可两者都喜欢的人数,然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球 运动的人数. 解答: 解:设两者都喜欢的人数为 x 人,则只喜爱篮球的有(15﹣x)人,只喜爱乒乓球的有(10﹣x)人, 由此可得(15﹣x)+(10﹣x)+x+8=30,解得 x=3, 所以 15﹣x=12, 即所求人数为 12 人, 故答案为:12. 点评: 本题考查了集合的混合运算,属于应用题,关键是运用集合的知识求解实际问题.
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25. (2009?江苏)已知集合 A={x|log2x≤2}, (﹣∞,a) B= ,若 A?B 则实数 a 的取值范围是(c, +∞) 其中 c= 4 . , 考点: 专题: 分析: 解答: 集合的包含关系判断及应用. 计算题. 先化简集合 A,然后根据子集的定义求出集合 B 的取值范围,总而求出所求.
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解:A={x|log2x≤2}={x|0<x≤4} 而 B=(﹣∞,a) , ∵ A?B

∴ a>4 即实数 a 的取值范围是(4,+∞) , 故答案为:4 点评: 本题属于以对数不等式为依托,考查集合子集的基础题,也是高考常会考的题型. 26. (2008?北京)如图,函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分别为(0,4)(2,0)(6,4) , , , 则 f(f(0) )= 2 ; = ﹣2 . (用数字作答)

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考点: 极限及其运算;函数的值. 专题: 计算题. 分析: 由函数的图象可知,

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,当 0≤x≤2,f'(x)=﹣2,所以由导数的几何意义知

=f'(1)=﹣2. 解答: 解:∵ f(0)=4,f(4)=2,f(2)=4, ∴ 由函数的图象可知, ,

由导数的几何意义知

=f′ (1)=﹣2.

答案:2;﹣2. 点评: 本题考查函数的图象,导数的几何意义.数形结合是最常用的手段之一,希望引起足够重视. 27. (2008?江苏)若集合 A={x|(x﹣1) <3x+7,x∈R},则 A∩ 中有 6 个元素. Z 考点: 交集及其运算. 分析: 先化简集合 A,即解一元二次不等式(x﹣1)2<3x+7,再与 Z 求交集. 2 2 解答: 解:由(x﹣1) <3x+7 得 x ﹣5x﹣6<0,∴ A=(﹣1,6) ,因此 A∩ Z={0,1,2,3,4,5},共有 6 个元素. 故答案是 6 点评: 本小题考查集合的运算和解一元二次不等式.
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2

28. (2008?上海)若集合 A={x|x≤2}、B={x|x≥a}满足 A∩ B={2},则实数 a= 2 考点: 专题: 分析: 解答:



交集及其运算;集合的包含关系判断及应用. 计算题. 由题意 A∩ B={2},得集合 B 中必定含有元素 2,且 A,B 只有一个公共元素 2,可求得 a 即可. 解:由 A∩ B={2}, 则 A,B 只有一个公共元素 2; 可得 a=2. 故填 2. 点评: 本题考查了集合的确定性、交集运算,属于基础题.
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29. (2008?湖南)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x+3)?f(x)=﹣1,f(﹣1)=2,则 f(2008)=

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www.jyeoo.com 考点: 函数奇偶性的性质;函数的周期性;函数的值. 专题: 计算题. 分析: f(x+6)=﹣ =f(x) ,f(x)是周期函数,周期为 6,则有 f(2008)=f(﹣2)=﹣f(2) ,令 x=
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﹣1 可得 f(2)的值,代入可得答案. 解答: 解:∵ f(x+3)?f(x)=﹣1,f(﹣1)=2 ∴ f(﹣1+3)?f(﹣1)=﹣1,f(2)=﹣ 由 f(x+3)=﹣ ,可得:f(x+6)=﹣ =f(x) ,

∴ f(x)是周期为 6 的周期函数, ∴ f(2008)=f(6×334+4)=f(4)=f(﹣2)=﹣f(2)= . 点评: 本题关键“寻规律,找周期”. 30. (2008?浙江)已知函数 f(x)=x +|x﹣2|,则 f(1)= 2 . 考点: 函数的概念及其构成要素. 分析: 将 x=1 代入函数解析式即可求出答案. 2 解答: 解:∵ f(1)=1 +|1﹣2|=1+1=2 故答案为:2 点评: 本题主要考查函数解析式,求函数值问题.
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2

31. (2008?湖南)设[x]表示不超过 x 的最大整数,如[2]=2,[ ]=1,对于给定的 n∈N ,定义

*

Cn = 28] . 考点: 函数的值域. 专题: 计算题. 分析:

x

,x∈[1,+∞) ,则

=

;当 x∈[2,3)时,函数 C 8 的值域是 (

x



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对于题目中新定义的:“Cn =

x

”理解是解决此题的问题,如求
x

,它是由一个

分式的分子和分母两部分构成,分子是 8,分母是 的分数.按此理解将函数 C 8 的值域问题转化成一个函 数的值域求解. 解答: 解:当 x= 时,[ ]=1, = = ;

当 x∈[2,3)时,[x]=2,C n= C 8=
x

x

, .

=

又∵ x∈[2,3)时,f(x)=x(x﹣1)∈[2,6) 当 , ∴ ∈( ,28) C 8∈( ,∴
x

,28].

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www.jyeoo.com 故答案为: , ( ,28].

点评: 本题是一道创新题,新的高考,每年均会出现一定新颖的题目,我们只要认真审题,细心研究,活用基础 知识,把握数学思想、数学方法,构建知识结构和认知结构,实现知识到能力的转化. 32. (2008?重庆)设集合 U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则(A∪ B)∩ UC)= {2, (? 5} . 考点: 专题: 分析: 解答: 交、并、补集的混合运算. 计算题.

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先求出(A∪ B)和(CUC) ,再求它们的交集即可. 解:∵ B={2,3,4,5) A∪ ,

又?UC={1,2,5} ∴ (A∪ B)∩ UC)={2,5} (? 故填{2,5}. 点评: 本题考查了交集、并集、补集的运算,属于基础题. 33. (2008?重庆)已知集合 U={1,2,3,4,5},A={2,3,4},B={4,5},则 A∩ UB)= {2,3} (C 考点: 专题: 分析: 解答: 交、并、补集的混合运算. 计算题.

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欲求两个集合的交集,先得求集合 CUB,为了求集合 CUB,必须考虑全集 U,再根据补集的定义求解即可. 解:∵ UB={1,2,3}, C ∴ (CUB)={2,3}. A∩ 故填:{2,3}. 点评: 这是一个集合的常见题,本小题主要考查集合的简单运算.属于基础题之列. 34. (2008?上海)若函数 f(x)=(x+a) (bx+2a) (常数 a、b∈R)是偶函数,且它的值域为(﹣∞,4],则该函数 2 的解析式 f(x)= ﹣2x +4 . 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题. 分析: 利用函数的定义域、值域的特点得到函数是二次函数;据函数是偶函数关于 y 轴对称及二次函数的对称轴 公式得到方程求出 a,b 的值;将求出的值代入二次函数解析式求其值域验证值域是否是(﹣∞,4]. 解答: 解:由于 f(x)的定义域为 R,值域为(﹣∞,4], 可知 b≠0,∴ f(x)为二次函数, 2 2 f(x)=(x+a) (bx+2a)=bx +(2a+ab)x+2a . ∵ f(x)为偶函数,
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∴ 其对称轴为 x=0,∴ ﹣

=0,

∴ 2a+ab=0,∴ 或 b=﹣2. a=0 2 若 a=0,则 f(x)=bx 与值域是(﹣∞,4]矛盾,∴ a≠0, 若 b=﹣2,又其最大值为 4, ∴ =4,∴ =4, 2a
2 2

∴ f(x)=﹣2x +4. 2 故答案为﹣2x +4 点评: 本题考查偶函数的图象特点、二次函数的对称轴公式、二次函数值域的求法.
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www.jyeoo.com 35. (2008?上海)已知集合 A={x|x<﹣1 或 2≤x<3},B={x|﹣2≤x<4},则 A∪ B= {x|x<4} . 考点: 并集及其运算. 分析: 由于集合 A,B 都已给出,容易计算集合 A∪ B 解答: 解:∵ A={x|x<﹣1 或 2≤x<3},B={x|﹣2≤x<4}, ∴ B={x|x<4}. A∪ 故答案为{x|x<4}. 点评: 本题主要考查了集合的并运算,较为简单.
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36. (2009?陕西)某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加 数学、物理、化学小组的人数分别为 26,15,13,同时参加数学和物理小组的有 6 人,同时参加物理和化学小组的 有 4 人,则同时参加数学和化学小组的有 8 人. 考点: 专题: 分析: 解答: Venn 图表达集合的关系及运算. 常规题型. 画出表示参加数学、物理、化学课外探究小组集合的 Venn 图,结合图形进行分析求解即可. 解:由条件知,每名同学至多参加两个小组, 故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组, 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为 A,B,C, 则 card(A∩ C)=0.card(A∩ B∩ B)=6,card(B∩ C)=4, 由公式 card(A∪ C)=card(A)+card(B)+card(C)﹣card(A∩ B∪ B)﹣card(A∩ C)﹣card(B∩ C) 知 36=26+15+13﹣6﹣4﹣card(A∩ C) 故 card(A∩ C)=8 即同时参加数学和化学小组的有 8 人. 故答案为:8.
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点评: 本小题主要考查 Venn 图表达集合的关系及运算、Venn 图的应用、集合中元素的个数等基础知识,考查运 算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.

37. (2007?重庆)函数

的最小值为 1+2



考点: 函数的最值及其几何意义;函数单调性的性质. 专题: 计算题. 分析: 求出定义域,函数是两个复合函数的和,可由复合函数的单调性判断出两个复合函数的单调性,再由单调 性的判断规则增函数加增函数是增函数,减函数加减函数是减函数判断出 f(x)的单调性.求最值即可. 解答: 解:由已知,
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www.jyeoo.com ; 而 x∈(﹣∞,0]时,f(x)单调递减,?f(x)≥f(0)=0+4=4; 故最小值为 点评: 考查复合函数单调性的判断方法,依据单调性求函数的最值,训练学生对利用单调性求最值的方法.

38. (2008?湖南)已知函数

(a≠1) .

(1)若 a>0,则 f(x)的定义域是 (﹣∞, ] ; (2)若 f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数 a 的取值范围是 (﹣∞,0)∪ (1,3] . 考点: 函数单调性的性质;函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: (1)由当 a>0 且 a≠1,再由负数不能开偶次方根,有 3﹣ax≥0 求解.
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(2)先看分母,当 a﹣1>0,即 a>1 时,要使“f(x)在(0,1]上是减函数”,则分子 且 3﹣a×1≥0 成立;当 a﹣1<0,即 a<1 时,要“使 f(x)在(0,1]上是减函数”则分子 数,且﹣a>0 成立,两种情况的结果最后取并集. 解答: 解: (1)当 a>0 且 a≠1 时,由 3﹣ax≥0 得 即此时函数 f(x)的定义域是(﹣∞, ]. ,

是减函数, 是增函

(2)当 a﹣1>0,即 a>1 时,要使 f(x)在(0,1]上是减函数,则需 3﹣a×1≥0,此时 1<a≤3. 当 a﹣1<0,即 a<1 时,要使 f(x)在(0,1]上是减函数,则需﹣a>0,此时 a<0. 综上所述,所求实数 a 的取值范围是(﹣∞,0)∪ (1,3]. 故答案为: (﹣∞, ]; (﹣∞,0)∪ (1) (2) (1,3] 点评: 本题主要考查函数的定义域及其单调性的应用,在解题时,要注意复合函数性质的应用及考虑定义域.

39. (2009?北京)已知函数

若 f(x)=2,则 x= log32 .

考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 计算题. 分析: 要求若 f(x)=2 时,对应自变量 x 的值,我们可根据
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构造方程,然后根据分段函数

的分段标准进行分类讨论,即可得到答案. 解答: 解:由 ?x=log32,

无解, 故答案:log32.
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www.jyeoo.com 点评: 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x 的值.属于基础知识、基本运算的考查.分段函数分段处 理,这是研究分段函数图象和性质最核心的理念,具体做法是:分段函数的定义域、值域是各段上 x、y 取 值范围的并集,分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证;分段函数的最大值,是各段上最大值中 的最大者. 40. (2009?北京)设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k﹣1?A 且 k+1?A,那么称 k 是 A 的一个“孤立 元”,给定 S={1,2,3,4,5,6,7,8,},由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有 6 个. 考点: 元素与集合关系的判断. 分析: 列举几个特殊的集合体会孤立元的意义是解本题的关键. 解答: 解:依题意可知,没有与之相邻的元素是“孤立元”,因而无“孤立元”是指在集合中有与 k 相邻的元素. 因此,符合题意的集合是:{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8}共 6 个. 故答案为:6. 点评: 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力.属于创 新题型. 列举时要有一定的规律,可以从一端开始,做到不重不漏
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