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高中数学 第一章 第三节 空间几何体的表面积和体积(1)同步练习 新人教A版必修2


第一章第三节空间几何体的表面积和体积(1)
基础巩固 一、选择题 1.若圆锥的正视图是正三角形,则它的侧面积是底面积的( A. 2倍 C.2 倍 [答案] C [解析] 设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l,则由题意知,l=2r,于是 S 侧=π r·2r =2π r ,S 底=π r .故选 C. 2.长方体的高为 1,底面积为 2,垂直于底的对角面的面积是 5,则长

方体的侧面积 等于( ) B. 4 3 D. 3
2 2

)

B. 3 倍 D. 5 倍

A.2 7 C.6 [答案] C

[解析] 设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c, 则 c=1,ab=2, a +b ·c= 5, ∴a=2,b=1,故 S 侧=2(ac+bc)=6. 3.(2014·全国高考福建卷) 以边长为 1 的正方形的一边所在直线为轴旋转, 将正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等 于( ) A.2π C.2 [答案] A [解析] S=2π rh=2π . 4.(2015·广东佛山高三教学质量检测) 若一个圆台的正视图如图所示,则其侧面积 等于( ... ) B. π D. 1
2 2

A.6 C.3 5π [答案] C

B.6π D. 6 5 π

1

[解析] 圆台的两底面半径分别是 1,2,高为 2,则母线长为 2 +1= 5,则其侧面积 等于 π (1+2)× 5=3 5π . 5.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是( )

2

A.32 C.48 [答案] B

B.16+16 2 D.16+32 2

1 [解析] 易知此四棱锥为正四棱锥, 底面边长为 4, 高为 2, 则斜高为 2 2, 故 S 侧=4× 2 ×4×2 2=16 2,S 底=4×4=16,所以 S 表=16+16 2. 6.(2013·重庆)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )

A.180 C.220 [答案] D [分析]

B.200 D.240

根据三视图可以确定此几何体为四棱柱, 再由数量关系分别去确定侧面积与

底面面积,相加为该几何体的表面积. [解析] 几何体为直四棱柱,其高为 10,底面是上底为 2,下底为 8,高为 4,腰为 5 1 的等腰梯形,故两个底面面积的和为 ×(2+8)×4×2=40,四个侧面面积的和为(2+8+ 2 5×2)×10=200,所以直四棱柱的表面积为 S=40+200=240. [易错警示] 本题在求解过程中易错误将 3 作为等腰梯形的腰长, 从而误求结果为 200. 二、填空题 7.已知圆柱 OO′的母线 l=4 cm,全面积为 42π cm ,则圆柱 OO′的底面半径 r=
2

2

__________ ________cm. [答案] 3 [解析] 圆柱 OO′的侧面积为 2π rl=8π r(cm ),两底面积为 2×π r =2π r (cm ), ∴2π r +8π r=42π , 解得 r=3 或 r=-7(舍去), ∴圆柱的底面半径为 3 cm.
2 2 2 2 2

8.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图为正三角形,则该几何体的表面积为 __________ ________. [答案] 24+2 3 [解析] 该几何体是三棱柱,且两个底面是边长为 2 的正三角形,侧面是全等的矩形, 1 且矩形的长是 4, 宽是 2, 所以该几何体的表面积为 2×( ×2× 3)+3×(4×2)=24+2 3. 2 三、解答题 9.如图所示的几何体是一棱长为 4 cm 的正方体,若在其中一个面的中心位置上,挖一 个直径为 2 cm、深为 1 cm 的圆柱形的洞,求挖洞后几何体的表面积是多少?(π 取 3.14)

[分析] 因为正方体的棱长为 4 cm,而洞深只有 1 cm,所以正方体没有被打透.这样一来打洞 后所得几何体的表面积等于原来正方体的表面积,再加上圆柱的侧面积,这个圆柱的高为 1 cm,底面圆的半径为 1 cm. [解析] 正方体的表面积为 4×4×6=96(cm ), 圆柱的侧面积为 2π ×1×1≈6.28(cm ), 则挖洞后几何体的表面积约为 96+6.28=102.28(cm ). [小结] 求几何体的表面积时, 通常将所给几何体分成基本的柱、 锥、 台, 再通过这些基本柱、 锥、台的表面积,进行求和或作差,从而获得几何体的表面积.
2 2 2

3

10.一个棱锥的三视图如图所示,求该棱锥的表面积.(单位:cm )

2

[答案] 48+12 2 [解析] 由三视图可得:底面为等腰直角三角形,腰长为 6,面积为 18,垂直于底面积 1 的面为等腰三角形,面积为 ×6 2×4=12 2;其余两个面为全等的三角形,每个三角形 2 1 的面积都为 ×6×5=15.所以全面积为 48+12 2. 2 [归纳总结] 由三视图求表面积时,关键是利用三视图还原出几何体.要注意三视图中的数据,还原 成直观图(或实物)后的变化. 能力提升 一、选择题 1.将一个棱长为 a 的正方体,切成 27 个全等的小正方体,则表面积增加了( A.6a
2

)

B.12a
2

2

C.18a

D.24a

2

[答案] B [解析] 原来正方体表面积为 S1=6a ,切割成 27 个全等的小正方体后,每个小正方体 1 ?1 ?2 2 2 总表面积 S =27×2a2=18a2, 2 的棱长为 a, 其表面积为 6×? a? = a , ∴增加了 S2-S1=12a . 2 3 3 ?3 ? 3 2. 已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形, 这个圆柱的全面积与侧面积的比是( 1+2π A. 2π 1+2π C. π [答案] A [解析] 设圆柱的底面半径为 r, 高为 h, 则由题设知 h=2π r, ∴S 全=2π r +2π r·h =2π r (1+2π ) 又 S 侧=h =4π r ,∴
2 2 2 2 2 2

)

1+4π B. 4π 1+4π D. 2π

S全 1+2π = . S侧 2π
4

[点评] 圆柱的侧面展开图是一个矩形, 矩形两边长分别为圆柱底面周长和高; 圆锥侧面展开图 是一个扇形,半径为圆锥的母线,弧长为圆锥底面周长;圆台侧面展开图是一个扇环,其两 段弧长为圆台两底周长,扇形两半径的差为圆台的母线长,对于柱、锥、台的有关问题,有 时要通过侧面展开图来求解.

5


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