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一元二次不等式的解法(1)


一元二次不等式的解法(1)

一元一次方程、一元一次不等式与一次
函数的关系怎样呢?

例如一次函数 y=2x-7, 它的对应值表与图象如下:

y y=2x-7

0

.

当x=3.5时, y=0, 即2x-7=0;
x


3.5

当x<3.5时, y<0, 即2x-7<0;

.
图1-9

当x>3.5时, y>0, 即2x-7>0.

从上面可知,直线与x轴交点的横坐标,就是对 应的一元一次方程的根,进一步结合直线的位置, 就可以确定对应的一元一次不等式的解集.

一般地,设直线 y=ax+b与x轴的交点是 (x0, 0),有如下结 果: b 1.一元一次方程ax+b=0的解是 x0 ? ? a .

2.(1)当a>0时, 一元一次不等式ax+b>0的解集是 {x|x> x0}, 一元一次不等式ax+b<0的解集是 {x|x< x0}; (2)当a<0时, 一元一次不等式ax+b>0的解集是 {x|x< x0}, 一元一次不等式ax+b<0的解集是 {x|x> x0}.

一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关 系怎样呢? 例如二次函数 y=x2-x-6的对应值表与图象如下:

y y>0

-2

.

y=x2-x-6

0 y<0

.

y>0 x

2-x-6=0; y =0, 即 x x=-2,或x=3 ? ? 2-x-6>0; y >0, 即 x x<-2,或x>3 ? ?

3

-2<x<3

2-x-6<0. y <0, 即 x ? ?

-6

.

图1-10

上例表明,由抛物线与x轴交点可 以确定对应的一元二次方程的解 和对应的一元二次不等式的解集.

一般地,一元二次不等式

ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 (a>0)的解集如下: ⑴如果△>0,此时抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点, 即方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1, x2 (x1< x2 ).
那么,不等式ax2+bx+c>0的解集是 {x|x<x1,或 x>x2}; 不等式ax2+bx+c<0的解集是 {x|x1<x<x2}.

(2)如果△=0,此时抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点,
即方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根 x1=x2=-b/2a . 那么,不等式ax2+bx+c>0的解集是

b { x|x?? } 2a
不等式ax2+bx+c<0的解集是

?.

⑶如果△<0,此时抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有交点, 即方程ax2+bx+c=0无实数根. 那么,不等式ax2+bx+c>0的解集是 R;

不等式ax2+bx+c<0的解集是

?.

2. 一元二次不等式ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 :

{ x | x ? x1 或 x ? x2 } { x | x ? ? b } 2a

{ x | x1 ? x ? x2 }

?

?

注 意:
对于二次项系数是负数(即a<0) 的不等式:ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 , 可以先把二次项系数化成正数,再求 解。
具体方法步骤: (1)先看二次项的系数的正负,再看⊿的情况。 (2)求二次方程的解。 (3)根据图象写出解集。

例 1 解不等式 2x 2 ? 3x ? 2 ? 0 . 解: ?? ? 0 , 方程 2x ? 3x ? 2 ? 0 的解是
2

x1 ? ? 1 ,x2 ? 2 . 2

?原不等式的解集是

?x

x ? ? 1 ,或 x ? 2 . 2

?

例2 解不等式 ? 3x ? 6x ? 2 .
2

解:整理,得 3x ? 6 x ? 2 ? 0 .
2

? ? ? 0 ,方程 3x ? 6x ? 2 ? 0 的解是
2

3 3 x1 ? 1 ? ,x2 ? 1 ? 3 3 ?原不等式的解集是

? ? 3 3 ? x 1? 3 ? x ? 1? 3 ? . ? ?

例3 解不等式 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 .
2

解: ?? ? 0, 方程 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 1 的解是 x1 ? x2 ? . 2 ?原不等式的解集是
2

?

1 x x? . 2

?

例4 解不等式 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 .
2

解:整理,得 x ? 2 x ? 3 ? 0
2

? ? ? 0 ,方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 无实数解,
2

?不等式 x ? 2x ? 3 ? 0 的解集是 ? .
2

? 原不等式的解集是 ? .

例5.解不等式: ? 2 ? ? x2 ? 2 x ? 1 ? 1 .

解:原不等式 ? ? 1 ? x ? 2 x ? 1 ? 2 2 2 ? x ? ? x ? 2 x ? 1 ? ?1 ? ? 2 x ? 0 ?? 2 ?? 2 ? ? ? x ? 2x ? 1 ? 2 ? x ? 2x ? 3 ? 0
2

? x ? ?2或x ? 0 ? x( x ? 2) ? 0 ?? ?? ?( x ? 3)( x ? 1) ? 0 ? ?3 ? x ? 1
-3 -2 0 1

? 原不等式的解集是 { x | ?3 ? x ? ?2或0 ? x ? 1}

练习:
1、解下列不等式: ( 1 ) 3x 2 ? 7 x ? 2 ? 0 ; (3) 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ; ( 1 )等于 0 ? (2) ? 6 x 2 ? x ? 2 ? 0 ; (4) x 2 ? 3x ? 5 ? 0 .

2、x 是什么实数时,函数 y ? x 2 ? 4 x ? 1 的值; (2)是正数? 3、x 是什么实数时, x 2 ? x ? 12 有意义?

(3)是负数?

1、解下列不等式: (1) 3x ? 7 x ? 2 ? 0 ;
2 2

(2) ? 6 x ? x ? 2 ? 0 ; (4) x ? 3x ? 5 ? 0 .
2

(3) 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 ;
2

答案: (1) {x | 1 ? x ? 2} 3
(2){x | x ? ? 2 ,或x ? 1} 3 2
(3) φ

(4) R

2、x 是什么实数时,函数y ? x 2 ? 4 x ? 1的值; ( 1 )等于 0 ? (2)是正数? (3)是负数?
解: (1) 由 y ? 0,即x2 ? 4 x ? 1 ? 0 得 x ? 2 ? 3, 或x ? 2 ? 3

? x ? 2 ? 3, 或x ? 2 ? 3 时, y ? 0.
(2) 由 y ? 0,即x2 ? 4 x ? 1 ? 0 得 x ? 2 ? 3, 或x ? 2 ? 3 ? x ? 2 ? 3, 或x ? 2 ? 3 时,y ? 0.

(3) 由 y ? 0,即x ? 4 x ? 1 ? 0 得 2 ? 3 ? x ? 2 ? 3
2

? 2 ? 3 ? x ? 2 ? 3 时,y ? 0.

3、x 是什么实数时, x ? x ? 12 有意义?
2

解:据题意有, x 2 ? x ? 12 ? 0

? ? ? 0,方程x ? x ? 12 ? 0的解是
2

x1 ? ?4,x2 ? 3.
?不等式的解是 x ? ?4或x ? 3. ? x ? ?4或x ? 3 时, x ? x ? 12 有意义.
2

1 1 巩固 已知ax ? bx ? 2 ? 0的解集是 {x - ? x ? }, 2 3 练习1: 求a ? b的值。 1 1 2 解: 由于ax ? bx ? 2 ? 0的解集是 {x - ? x ? }, 2 3
2

1 1 知x1 ? ? , x2 ? 是方程 ax 2 ? bx ? 2 ? 0的两根,且 a ? 0, 2 3

? ?? ?

b 1 1 ? ?? ? a 2 3 2 1 1 ? ( ? )? a 2 3

? a ? ?12, b ? ?2,? a ? b ? ?12 ? (?2) ? ?10.

例2. 已知不等式ax ? bx ? c ? 0的解集
2

{ x | 2 ? x ? 3},求不等式cx 2 ? bx ? a ? 0的解集.

解: ? ax ? bx ? c ? 0的解集 { x | 2 ? x ? 3}.
2

? a ? 0, 2 、是方程 3 ax 2 ? bx ? c ? 0的根 . b c b c 即 ? ? 5 , ? 6. ? 2 ? 3 ? ? ,且2 ? 3 ? . a a a a 2 ? a ? 0 ,? cx ? bx ? a ? 0 ? c x 2 ? b x ? 1 ? 0 a a 2 即 6 x ? 5 x ? 1 ? 0 解得x ? 1 或x ? 1
3 2
? 原不等式的解集 { x | x ? 1 或x ? 1 } . 3 2

例6.不等式(a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 解集是 R,

求实数 a 的取值范围.

解: (1) 当a ? 2时, 原不等式化为? 4 ? 0.

?a ? 2 ? 0 (2) 当a ? 2时, a应满足: ? ?? ? 0 ?a ? 2 ?a ? 2 ? 即? ? 2 ?(a ? 2)(a ? 2) ? 0 ?4(a ? 2) ? 16(a ? 2) ? 0

? a ? 2满足条件

? ?2 ? a ? 2

综上所述: ?2? a ? 2


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