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2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第九章 第5讲 古典概型


第 5 讲 古典概型 1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件都是互斥的. (2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件). 2.古典概型 (1)特点: ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个,即有限性. ②每个基本事件发生的可能性相等,即等可能性. (2)概率公式: A包含的基本事件的个数 P(A)= . 基本事件的总数 [做一做] 1.(2014· 高考广东卷)从字母 a,b,c,d,e 中任取两个不同字母,则取到字母 a 的概 率为________. 解析:总的取法有:ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de 共 10 种,其中含有 a 4 2 的有 ab,ac,ad,ae 共 4 种,故所求概率为 = . 10 5 2 答案: 5 2.(2014· 高考浙江卷)在 3 张奖券中有一、二等奖各 1 张,另 1 张无奖.甲、乙两人各 抽取 1 张,两人都中奖的概率是________. 解析:记“两人都中奖”为事件 A,设中一、二等奖及不中奖分别记为 1,2,0,那么 甲、乙抽奖结果有(1,2),(1,0),(2,1),(2,0),(0,1),(0,2),共 6 种.其中甲、乙都 2 1 中奖有(1,2),(2,1),2 种,所以 P(A)= = . 6 3 1 答案: 3 1.辨明两个易误点 (1)在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时,易忽视他们是否是等可能的. (2)概率的一般加法公式 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,易忽视只有当 A∩B=?, 即 A,B 互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B),此时 P(A∩B)=0. 2.古典概型中基本事件的求法 (1)枚举法:适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的. (2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求,注意在确定基本事件时(x, y)可以看成是有序的,如(1,2)与(2,1)不同.有时也可以看成是无序的,如(1,2),(2,1) 相同. (3)排列、组合法:在求一些较复杂的基本事件的个数时,可利用排列或组合的知识. [做一做] 3.集合 A={2,3},B={1,2,3},从 A,B 中各任意取一个数,则这两数之和等于 4 的概率是( ) 2 A. 3 1 B. 2

1 C. 3

1 D. 6

解析:选 C.从 A,B 中各任取一个数有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3, 2 1 3)6 个基本事件,满足两数之和等于 4 的有(2,2),(3,1)2 个基本事件,所以 P= = . 6 3 4.在集合{x|x= nπ ,n=1,2,3,?,10}中任取一个元素,则所取元素恰好满足方程 6

1 cos x= 的概率是________. 2 1 2 解析:基本事件总数为 10,满足方程 cos x= 的基本事件数为 2,故所求概率为 P= 2 10 1 = . 5 1 答案: 5 考点一__简单古典概型的求法__________________ (2014· 高考天津卷)某校夏令营有 3 名男同学 A,B,C 和 3 名女同学 X,Y,Z, 其年级情况如下表: 一年级 男同学 女同学 A X 二年级 B Y 三年级 C Z

现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同). (1)用表中字母列举出所有可能的结果; (2)设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”,求事件 M 发生的概率. 古典概型的概率 [解] (1)从 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛的所有可能结果为{A, B}, {A, C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y}, {C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共 15 种. (2)选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学的所有可能结果为{A, Y}, {A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共 6 种. 6 2 因此,事件 M 发生的概率 P(M)= = . 15 5 [规律方法] 求古典概型概率的基本步骤: (1)算出所有基本事件的个数 n. (2)求出事件 A 包含的所有基本事件数 m. m (3)代入公式 P(A)= ,求出 P(A). n 1.(2015· 唐山市第一次模拟)甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为 350 个、700 个、1 050 个,现用分层抽样的方法随机抽取 6 个零件进行检验. (1)求从甲、乙、丙三个车床中抽取的零件的件数;

(2)从抽取的 6 个零件中任意取出 2 个,已知这 2 个零件都不是甲车床加工的,求其中 至少有一个是乙车床加工的概率. 解:(1)由抽样方法可知 从甲、乙、丙三个车床中抽取的零件数分别为 1,2,3. (2)记抽取的 6 个零件为 a1,b1,b2,c1,c2,c3. 事件“这 2 个零件都不是甲车床加工的”的可能结果为(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1, c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共 10 种可能; 事件“其中至少有一个是乙车床加工的”的可能结果为(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1, c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),共 7 种可能. 故所求概率为 P=0.7. 考点二__较复杂古典概型的概率(高频考点)______ 古典概型是考查的热点,可在选择题、填空题中单独考查,也可在解答题中与统计一起 考查,属容易题,以考查基本概念为主. 高考对本部分内容的考查主要有以下三个命题角度: (1)根据概率求参数; (2)利用古典概型的概率公式求概率; (3)古典概型与统计的综合应用(下章讲解). (2014· 高考四川卷)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字 1,2,3,这三 张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取 3 次,每次抽取 1 张,将抽取的卡片上 的数字依次记为 a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率. [解] (1)由题意知,(a,b,c)所有的可能为 (1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1, 3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3), (2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2, 2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共 27 种. 设“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”为事件 A, 则事件 A 包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共 3 种. 3 1 所以 P(A)= = . 27 9 1 因此, “抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率为 . 9 (2)设“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”为事件 B,则事件 B 包括(1,1,1), (2,2,2),(3,3,3),共 3 种. 3 8 所以 P(B)=1-P(B)=1- = . 27 9 8 因此, “抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率为 . 9 [规律方法] 求较复杂事件的概率问题的方法: (1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件,再利用互斥事件的概率加法公式求解. (2)先求其对立事件的概率,再利用对立事件的概率公式求解. 2.(1)(2013· 高考课标全国卷Ⅱ)从 n 个正整数 1,2,?,n 中任意取出

1 两个不同的数,若取出的两数之和等于 5 的概率为 ,则 n=________. 14 (2)(2014· 高考江西卷)10 件产品中有 7 件正品,3 件次品,从中任取 4 件,则恰好取到 1 件次品的概率是________. (3)现有 8 名北京马拉松志愿者,其中志愿者 A1、A2、A3 通晓日语,B1、B2、B3 通晓俄 语,C1、C2 通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,组成一个小组. ①求 A1 被选中的概率; ②求 B1 和 C1 不全被选中的概率. 解析:(1)由题意知 n >4,取出的两数之和等于 5 的有两种情况:1,4 和 2,3,所以 P 2 1 = 2= ,即 n2-n-56=0,解得 n=-7(舍去)或 n=8. Cn 14
1 3 (2)从 10 件产品中取 4 件,共有 C4 10种取法,取到 1 件次品的取法为 C3C7种,由古典概 3 3×35 1 C1 3C7 型概率计算公式得 P= 4 = = . C10 210 2

1 答案:(1)8 (2) 2
1 1 (3)解:①从 8 人中选出通晓日语、俄语和韩语志愿者各 1 名的方法数是 C1 3C3C2=18, 1 1 A1 恰被选中的方法数是 C3C2=6. 用 M 表示“A1 恰被选中”这一事件,

6 1 P(M)= = . 18 3 ②“B1 和 C1 不全被选中”包括“选 B1 不选 C1” , “选 C1 不选 B1” , “B1 和 C1 都不选” C1 1 3 这三个事件,分别记作事件 A、B、C,则 A、B、C 彼此互斥,且有 P(A)= 1 1 1= ,P(B) C3C3C2 6
1 1 C1 1 C1 1 3C2 3C2 = 1 1 1= ,P(C)= 1 1 1= , C3C3C2 3 C3C3C2 3

5 用 N 表示这一事件,所以有 P(N)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)= . 6 考题溯源——求古典概型的概率 (2014· 高考江西卷)掷两颗均匀的骰子,则点数之和为 5 的概率等于( 1 B. 9 1 D. 12 )

1 A. 18 1 C. 6

[解析] 掷两颗骰子,点数有以下情况: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6), 共 36 种,其中点数和为 5 的有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共 4 种,故所求概率

4 1 为 = . 36 9 [答案] B [考题溯源] 本考题“照搬”人教 A 版必修 3P127 的例 3 “同时掷两个骰子,计算向上的点数之和是 5 的概率是多少?” 1.(2015· 山西省太原市模拟)在五个数字 1,2,3,4,5 中,若随机取 出三个数字,则剩下两个数字的和是奇数的概率是( ) A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6 解析:选 D.随机取出三个数字后,剩下两个数有(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2, 3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5),共 10 种情况,和为奇数共有(1,2)、(1,4)、 6 (2,3)、(2,5)、(3,4)、(4,5),共 6 种情况,故和是奇数的概率为 =0.6. 10 2.(2015· 昆明市调研)投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀,且各个面上依次标有 点数 1,2,3,4,5,6)一次,则两颗骰子向上点数之积等于 12 的概率为________. 解析:抛掷两颗相同的正方体骰子共有 36 种等可能的结果:(1,1),(1,2),(1,3),?, (6,6).点数积等于 12 的结果有:(2,6),(3,4),(4,3),(6,2),共 4 种,故所求事件的 4 1 概率为 = . 36 9 1 答案: 9

1.若有 2 位老师,2 位学生站成一排合影,则每位老师都不站在两端的概率是( 1 A. 12 1 C. 4 1 B. 6 1 D. 2

)

2 A2 1 2A2 解析:选 B.依题意,所求概率为 P= 4 = . A4 6

2.(2014· 高考陕西卷)从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个 点的距离小于该正方形边长的概率为( ) 1 A. 5 3 C. 5 4 2 所以所求概率为 = .故选 B. 10 5 3.现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项,-3 为公比的等比数列,若从这 10 个 数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是( ) 2 A. 5 3 B. 5 2 B. 5 4 D. 5

解析:选 B.取两个点的所有情况有 10 种,两个点距离小于正方形边长的情况有 4 种,

4 C. 5

1 D. 5

解析:选 B.∵以 1 为首项,-3 为公比的等比数列中的 10 个数为 1,-3,9,-27, 81,-243,729,-2 187,6 561,-19 683,其中有 5 个负数,1 个正数 1,共 6 个数小于 8, 6 3 ∴从这 10 个数中随机抽取一个数,它小于 8 的概率是 = . 10 5 4.(2015· 亳州高三质检)已知集合 M={1,2,3,4},N={(a,b)|a∈M,b∈M},A 是 集合 N 中任意一点,O 为坐标原点,则直线 OA 与 y=x2+1 有交点的概率是( ) 1 A. 2 1 C. 4 1 B. 3 1 D. 8

解析:选 C.易知过点(0,0)与 y=x2+1 相切的直线为 y=2x(斜率小于 0 的无需考虑), 集合 N 中共有 16 个元素,其中使 OA 斜率不小于 2 的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,4), 4 1 共 4 个,由古典概型知概率为 = . 16 4 5.(2015· 东北三校高三模拟)一个三位自然数百位,十位,个位上的数字依次为 a,b, c,当且仅当 a>b,b<c 时称为“凹数”(如 213,312 等),若 a,b,c∈{1,2,3,4},且 a,b,c 互不相同,则这个三位数为“凹数”的概率是( ) 1 A. 6 1 C. 3 5 B. 24 7 D. 24

解析:选 C.由 1,2,3 组成的三位自然数为 123,132,213,231,312,321,共 6 个; 同理由 1,2,4 组成的三位自然数共 6 个; 由 1,3,4 组成的三位自然数也是 6 个; 由 2,3,4 组成的三位自然数也是 6 个. 所以共有 6+6+6+6=24 个. 当 b=1 时,有 214,213,314,412,312,413,共 6 个“凹数”. 当 b=2 时,有 324,423,共 2 个“凹数”. 6+2 1 ∴三位数为“凹数”的概率 P= = . 24 3 6.(2015· 山西省忻州市高三联考)某校高三年级要从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 名代 表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等 ),则男生甲和女生乙至少有一人被选中的概率是 ________. C3 4 4 解析:男生甲和女生乙至少有一人被选中的概率是 1- 3= . C6 5 4 答案: 5 7.(2015· 吉林实验中学第一次阶段检测)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子,记骰子落地 后朝上的点数分别为 x,y,则 log2xy=1 的概率为________. 解析:根据题意,可得 x 的情况有 6 种,y 的情况也有 6 种,则骰子朝上的点数分别为 x,y 的情况有 36 种,若 log2xy=1,则 y=2x,其情况有 1、2,2、4,3、6 共 3 种,则满足

3 1 1 log2xy=1 的概率是 = ,故答案为 . 36 12 12 答案: 1 12

8. 如图,在平行四边形 ABCD 中,O 是 AC 与 BD 的交点,P,Q,M,N 分别是线段 OA,OB,OC,OD 的中点.在 A,P,M,C 中任取一点记为 E,在 B,Q,N,D 中任取 → → → 一点记为 F.设 G 为满足向量OG=OE+OF的点,则在上述的点 G 组成的集合中的点,落在 平行四边形 ABCD 外(不含边界)的概率为________.

→ → → → → → → → → 解析:基本事件的总数是 16,在OG=OE+OF中,当OG=OP+OQ,OG=OP+ON, → → → → → → OG=ON+OM,OG=OM+OQ时,点 G 分别为该平行四边形的各边的中点,此时点 G 在 4 3 平行四边形的边界上,而其余情况的点 G 都在平行四边形外,故所求的概率是 1- = . 16 4 3 答案: 4 9.设连续掷两次骰子得到的点数分别为 m,n,令平面向量 a=(m,n),b=(1,-3). (1)求使得事件“a⊥b”发生的概率; (2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率. 解:(1)由题意知,m∈{1,2,3,4,5,6},n∈{1,2,3,4,5,6},故(m,n)所有 可能的取法共 36 种. 使得 a⊥b,即 m-3n=0,即 m=3n,共有 2 种:(3,1)、(6,2),所以事件 a⊥b 的概 2 1 率为 = . 36 18 (2)|a|≤|b|,即 m2+n2≤10. 6 1 共有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)6 种使得|a|≤|b|,其概率为 = . 36 6 10.(2014· 高考山东卷)海关对同时从 A,B,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样 检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从 这些商品中共抽取 6 件样品进行检测. 地区 数量 A 50 B 150 C 100

(1)求这 6 件样品中来自 A,B,C 各地区商品的数量; (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测,求这 2 件商品来自相 同地区的概率. 解:(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 6 1 = , 50+150+100 50

所以样本中包含三个地区的个体数量分别是: 1 1 1 50× =1,150× =3,100× =2. 50 50 50 所以 A,B,C 三个地区的商品被选取的件数分别为 1,3,2. (2)设 6 件来自 A,B,C 三个地区的样品分别为: A;B1,B2,B3;C1,C2. 则从 6 件样品中抽取的这 2 件商品构成的所有基本事件为:{A,B1},{A,B2},{A, B3},{A,C1},{A,C2},{B1,B2},{B1,B3},{B1,C1},{B1,C2},{B2,B3},{B2,C1}, {B2,C2},{B3,C1},{B3,C2},{C1,C2},共 15 个. 每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件 D:“抽取的这 2 件商品来自相同地区”,则事件 D 包含的基本事件有: {B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},{C1,C2},共 4 个. 4 4 所以 P(D)= ,即这 2 件商品来自相同地区的概率为 . 15 15 1.(2015· 合肥二检)从两名男生和两名女生中,任意选择两人在星期六、星期日参加某 公益活动,每天一人,则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( ) 1 A. 3 1 C. 2 5 B. 12 7 D. 12

解析:选 A.设两名女生为 a1,a2,两名男生为 b1,b2,则所有可能如下:(a1,a2),(a1, b1),(a1,b2),(a2,a1),(a2,b1),(a2,b2),(b1,b2),(b1,a1),(b1,a2),(b2,b1),(b2,a1), (b2,a2),共 12 种,其中星期六安排一名男生、星期日安排一名女生包括 4 种情况,所以其 4 1 概率为 P= = ,故选 A. 12 3 2.(2015· 陕西质检)连掷两次骰子得到的点数依次为 m 和 n,若记向量 a=(m,n)与向 量 b=(1,-2)的夹角为 θ,则 θ 为锐角的概率是________. 解析:依题意,θ为锐角,则 a· b>0,则 m-2n>0,m>2n 连续掷两次骰子的所有可 能结果为 36 种,其中满足 m>2n 的有(3,1),(4,1),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),共 6 1 6 种,所以所求概率为 = . 36 6 1 答案: 6 3.将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字 0,1,2,3,4,5)和一个正四面 体(四个面上分别标有数字 1,2,3,4)同时抛掷 1 次,规定“正方体向上的面上的数字为 a, 正四面体的三个侧面上的数字之和为 b”.设复数为 z=a+bi. (1)若集合 A={z|z 为纯虚数},用列举法表示集合 A; (2)求事件“复数在复平面内对应的点(a,b)满足 a2+(b-6)2≤9”的概率. 解:(1)A={6i,7i,8i,9i}. (2)满足条件的基本事件的个数为 24. 设满足“复数在复平面内对应的点(a,b)满足 a2+(b-6)2≤9”的事件为 B. 当 a=0 时,b=6,7,8,9 满足 a2+(b-6)2≤9; 当 a=1 时,b=6,7,8 满足 a2+(b-6)2≤9;

当 a=2 时,b=6,7,8 满足 a2+(b-6)2≤9; 当 a=3 时,b=6 满足 a2+(b-6)2≤9. 即 B 为(0,6),(0,7),(0,8),(0,9),(1,6),(1,7),(1,8),(2,6),(2,7),(2, 8),(3,6)共计 11 个. 11 所以所求概率 P= . 24 4.在 APEC 会议期间,某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访,现有记者编号分 别为 1,2,3,4,5 的五名男记者和编号分别为 6,7,8,9 的四名女记者,要从这九名记 者中一次随机选出两名,每名记者被选到的概率是相等的,用符号(x,y)表示事件“抽到的 两名记者的编号分别为 x,y,且 x<y”. (1)共有多少个基本事件?并列举出来; (2)求所抽取的两名记者的编号之和小于 17 但不小于 11 或都是男记者的概率. 解:(1)共有 36 个基本事件,列举如下:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1, 7),(1,8),(1,9),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(3,4),(3, 5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5, 7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),(8,9). (2)记事件“所抽取的两名记者的编号之和小于 17 但不小于 11”为事件 A, 即事件 A 为 “x,y∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9},且 11≤x+y<17,其中 x<y”,由(1)可知事件 A 共含有 15 个基本事件,列举如下:(2,9),(3,8),(3,9),(4,7),(4,8),(4,9),(5, 6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9).“所抽取的两名记 者都是男记者”记作事件 B,则事件 B 为“x,y∈{1,2,3,4,5},且 x<y”,包含(1, 2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共 10 个.故 15 10 25 P(A)+P(B)= + = . 36 36 36 5.已知集合 P={x|x(x2+10x+24)=0}, Q={y|y=2n-1, 1≤n≤2,n∈N*},M=P∪Q. 在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(x′,y′),且 x′∈M,y′∈M,试计算: (1)点 A 正好在第三象限的概率; (2)点 A 不在 y 轴上的概率; (3)点 A 正好落在区域 x2+y2≤10 上的概率. 解:由集合 P={x|x(x2+10x+24)=0}可得 P={-6,-4,0},由 Q={y|y=2n-1,1 ≤n≤2,n∈N*}可得 Q={1,3},则 M=P∪Q={-6,-4,0,1,3},因为点 A 的坐标为 (x′,y′),且 x′∈M,y′∈M,所以满足条件的点 A 的所有情况为(-6,-6),(-6,-4), (-6,0),(-6,1),(-6,3),?,(3,3),共 25 种. (1)点 A 正好在第三象限的可能情况为(-6,-6),(-4,-6),(-6,-4),(-4,- 4 4),共 4 种,故点 A 正好在第三象限的概率 P1= . 25 (2)点 A 在 y 轴上的可能情况为(0,-6),(0,-4),(0,0),(0,1),(0,3),共 5 种, 5 4 故点 A 不在 y 轴上的概率 P2=1- = . 25 5 (3)点 A 正好落在区域 x2+y2≤10 上的可能情况为(0,0),(1,0),(0,1),(3,1),(1, 3),(3,0),(0,3),(1,1).共 8 种,故点 A 落在区域 x2+y2≤10 上的概率 P3= 8 . 25


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