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2015届高中数学《圆和圆的位置关系》导学案 北师大版必修2


第 11 课时

圆和圆的位置关系

1.理解圆与圆的位置的种类. 2.利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长(圆心距). 3.会用连心线长判断两圆的位置关系.

古时候,人们不懂得月食发生的科学道理 ,像害怕日食一样,对月食也心怀恐惧.外国有 人传说,16 世纪初,哥伦布航海到了南美洲的牙买加,与当地的土著人发生了冲突.哥伦布和 他的水手被困在一个墙角,断粮断水,情况十分危急.懂点天文知识的哥伦布知道这天晚上要 发生月全食,就向土著人大喊,“再不拿食物来,就不给你们月光!”到了晚上,哥伦布的话应 验了,果然没有了月光.土著人见状诚惶诚恐,赶快和哥伦布化干戈为玉帛.你能否从月食过 程归纳出圆与圆有哪几种位置关系呢?

问题 1:圆与圆的位置关系可分为五种: 相离 、 外切 、 相交 、 内切 、 内 含 . 判断圆与圆的位置关系常用方法: (1) 几何法 : 设两圆圆心分别为 O1 、 O2, 半径为 r1 、 r2 (r1≠r2), 则 |O1O2|>r1+r2? 相 离 ;|O1O2|=r1+r2? 外切 ;|r1-r2|<|O1O2|<r1+r2? 相交 ;|O1O2|=|r1-r2|? 内 切 ;0≤|O1O2|<|r1-r2|? 内含 . 2 2 2 2 (2)代数法:设两圆方程分别为 x +y +D1x+E1y+F1=0 和 x +y +D2x+E2y+F2=0,联立方程组,若 方程组有两组不同的实数解,则两圆 相交 ;若方程组有一组实数解,则两圆 相切 ;若 方程组无实数解,则两圆 相离或内含 .代数法无法判断具体是哪种,因此一般不用. 问题 2:如何判断两个圆公切线的条数?如何求公切线方程和长度? (1)两个圆公切线条数和两个圆位置关系的关系 ①当两个圆外离时,有四条公切线: 两 条外公切线, 两 条内公切线. ②当两个圆外切时,有三条公切线: 两 条外公切线, 一 条内公切线. ③当两个圆相交时,有 两 条外公切线. ④当两个圆内切时,有 一 条外公切线. ⑤当两个圆内含时,无公切线. (2)公切线方程的求法 根据条件用待定系数法设出方程,利用圆心到直线的距离 d 与半径 r,建立方程组求出待
1

定系数,从而得到切线方程,注意不要遗漏斜率不存在的情况. (3)公切线长的求法(两圆相离) 利用两个圆圆心距(d)、两个圆半径(r1、r2)和公切线长(l)组成的直角梯形或直角三角 形来求解.

①外公切线长 l= ②内公切线长 l=

. .
联 立 得 方 程 组

问题 3:两个圆相交时,如何求相交弦的方程? 设 圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,

两个圆的方程相减得(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0,即为两个圆相交弦所在的直线方程. 问题 4:如何求经过两个圆交点的圆系方程? 2 2 2 2 设圆 C1:x +y +D1x+E1y+F1=0,C2:x +y +D2x+E2y+F2=0,则经过两个圆交点的圆系方程可表示 2 2 2 2 为 x +y +D1x+E1y+F1+λ (x +y +D2x+E2y+F2)=0(λ ≠-1). 对该方程要注意两点:一是该方程包含圆 C1,不包含圆 C2,具体应用时要注意检验 C2 是不 是问题的解;二是若已知两个圆相切,则在圆系方程中的任何两个圆一定相切.

1.圆 x +y -2x=0 和圆 x +y +4y=0 的位置关系是( ). A.相离 B.外切 C.内切 D.相交 2 2 2 2 2.圆 C1:x +y +2x+2y-2=0 与圆 C2:x +y -4x-2y+1=0 的公切线有且仅有( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 3.若圆 x +y =4 与圆 x +y +2ay-6=0 (a > 0) 的公共弦的长为 2
2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

).

,则 a=

.

4.求与已知圆 x +y -7y+10=0 相交,公共弦平行于直线 2x-3y-1=0,且过点(-2,3)、 (1,4)的圆 的方程.

圆和圆的位置关系的判定 2 2 2 2 2 2 已知圆 C1:x +y -2mx+4y+m -5=0,圆 C2:x +y +2x-2my+m -3=0.当 m 为何值时,(1)圆 C1 与圆 C2 相外切;(2)圆 C1 与圆 C2 内含.

2

圆和圆的相交弦问题 2 2 2 2 已知圆 C1:x +y +2x-6y+1=0,圆 C2:x +y -4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及 公共弦长.

圆与圆相交的连心线问题 2 2 2 2 已知圆 C1:x +y -4x-2y-5=0 与圆 C2:x +y -6x-y-9=0. (1)求证:这两个圆相交. (2)求这两个圆公共弦所在的直线方程. (3)在平面上找一点 P,过 P 点引这两个圆的切线并使它们的长都等于 6

.

已知两圆 x +y -2x-6y-1=0 和 x +y -10x-12y+m=0.求: (1)m 取何值时两圆外切? (2)m 取何值时两圆内切? (3)m=45 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.

2

2

2

2

已知圆 O1:x +(y+1) =4,圆 O2 的圆心坐标为(2,1),且两圆外切,求圆 O2 的方程,并求内公 切线的方程.

2

2

求过圆 C1:x +y +6x-4=0 和圆 C2:x +y +6y-28=0 的交点,且圆心在直线 x-y-4=0 上的圆的 方程.

2

2

2

2

3

1.已知圆 C1:x +y =4 与圆 C2:x +y -2ax+a -1=0 相内切,则 a 等于( ). A.1 B.-1 C.±1 D.0 2 2 2 2 2 2 2.圆 C1:(x-1) +y =4 与圆 C2:(x+1) +(y-3) =9 相交弦所在直线为 l,则 l 被圆 O:x +y =4 截得 弦长为( ). A. B.4 C.
2 2

2

2

2

2

2

D.
2 2

3. 点 P 在 圆 x +y -8x-4y+16=0 上 , 点 Q 在 圆 x +y +4x+2y-11=0 上 , 则 |PQ| 的 最 小 值 为 . 2 2 4.已知点 A(-1,1)和圆 C:(x-5) +(y-7) =4,求一束光线从点 A 经 x 轴反射到圆周 C 的最短距 离.

(2013 年·重庆卷)已知圆 C1:(x-2) +(y-3) =1,圆 C2:(x-3) +(y-4) =9,M,N 分别是圆 C1,C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( ). A.5 -4 B. -1 C.6-2 D.

2

2

2

2

考题变式(我来改编):

4

第 11 课时 圆和圆的位置关系 知识体系梳理 问题 1:相离 外切 相交 内切 内含 (1)相离 外切 相交 内切 内含 (2)相交 相切 相离或内含 问题 2:(1)①两 两 ②两 一 ③两 ④一 基础学习交流 1.D 两圆化成标准形式为(x-1) +y =1 和 x +(y+2) =4,∴两圆圆心距|O1O2|= 又 1=|1-2|<
2 2 2 2

=

.

<1+2=3,

∴两圆相交,选 D.
2.B ∵圆 C1:(x+1) +(y+1) =4,圆 C2:(x-2) +(y-1) =4,∴|C1C2|= 切线有 2 条,选 B. 3.1 两圆公共弦所在直线方程为(x +y +2ay-6)-(x +y -4)=0,即 y= ,圆心(0,0)到直线的距
2 2 2 2 2 2 2 2

<2+2,∴两圆相交,∴公

离为 d=| |=

=1,解得 a=1 或 a=-1(舍去).

4.解:公共弦所在直线斜率为 ,已知圆的圆心为(0, ),两圆圆心所在直线的方程为 y- =- x, 即 3x+2y-7=0.设所求圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,则
2 2

5

解得 所以所求圆的方程为 x +y +2x-10y+21=0. 重点难点探究 探 究 一 : 【 解 析 】 对 于 圆 2 2 2 C1:(x-m) +(y+2) =9;C2:(x+1) +(y-m)2=4. (1)如果 C1 与 C2 外切,则有 解得 m=-5 或 m=2. (2)如果 C1 与 C2 内含,则有
2 2

C1 与 圆

C2 的 方 程 , 经 配 方 后

=3+2,即(m+1)2+(m+2)2=25,即 m2+3m-10=0,

<3-2,即 (m+1)2+(m+2)2<1,m2+3m+2<0,得

-2<m<-1.
所以,当 m=-5 或 m=2 时,圆 C1 与圆 C2 外切;当-2<m<-1 时,圆 C1 与圆 C2 内含. 【小结】 圆和圆的位置关系,从交点个数也就是方程组解的个数来判断,有时得不到确切 的结论,通常还是从圆心距与两圆半径和、差的关系入手. 探究二: 【解析】 设两圆交点为 A、 B,则 A、 B 两点坐标是方程组 的

解,两式相减得:3x-4y+6=0.因为 A、 B 两点坐标都满足此方程,所以 3x-4y+6=0 即为两圆公共 弦所在的直线方程. 因为圆 C1 的圆心为(-1,3),半径为 3,点 C1 到直线 AB 的距离为 d=

= ,所以

|AB|=2

=2

= ,所以两圆的公共弦长为 .

【小结】求解圆与圆相交弦问题,可结合图形,利用弦心距、半弦之间的关系,充分利用 圆的几何性质. 探究三:【解析】(1)圆 C1:(x-2) +(y-1) =10,圆 C2:(x-3) +(y- ) = .
2 2 2 2

∵两圆圆心距|C1C2|=

= ,且

-

< <

+

,∴圆 C1 与圆 C2 相交.

(2)联立两个圆的方程 相减即得这两个圆公共弦所在直线方程为 2x-y+4=0. (3)设 P(x,y),依题意得

解方程组得点 P(3,10)或(- ,- ).

6

【小结】解决直线与圆以及圆与圆的位置关系的相关问题时,一定要根据图形进行适当 的联想,根据图形间的关系来寻求数量间的关系,从而找到解题思路,这恰好也是新课标所倡 导的.本题有一定的综合性,将位置关系的几个问题综合在一起,求解时要注意数形结合. 思维拓展应用 2 2 2 2 应 用 一 : 两 圆的 标 准 方程分 别 为 (x-1) +(y-3) =11,(x-5) +(y-6) =61-m, 圆心分 别 为

M(1,3),N(5,6),半径分别为
(1)当两圆外切时,



. = + .解得 m=25+10 . =5. 解得

(2) 当两圆内切时 , 因定圆的半径

小于两圆圆心间距离 , 故有

m=25-10

.
2 2 2 2

(3) 两 圆 的 公 共 弦 所 在 直 线 的 方 程 为 (x +y -2x-6y-1)-(x +y -10x-12y+45)=0, 即 4x+3y-23=0. 由圆的半径、弦长、弦心距间的关系,得公共弦的长为 2×

=2

.

应用二:因为两圆圆心坐标分别为(0,-1)、 (2,1),由两圆外切,得

|O1O2|=r1+r2=
所以 r2=2

=2

,

-2,
2 2

所以圆 O2 的方程为(x-2) +(y-1) =4( 两圆方程相减,得 x+y+1-2

-1)2.

=0,即为两圆内公切线的方程.

应用三:(法一)两个圆的圆心分别为(-3,0),(0,-3),所以两个圆的连心线所在直线的方 程为 x+y+3=0. 由 得圆心( ,- ).

利用弦心距、弦长、半径之间的关系可求得公共弦长 d= 的直线方程为 x-y+4=0, 所以圆半径 r =( ) +[
2 2

,两个已知圆的公共弦所在

]= .

2

故所求圆的方程为(x- ) +(y+ ) = ,即 x +y -x+7y-32=0. (法二)设所求圆的方程为 x +y +6x-4+λ (x +y +6y-28)=0,
2 2 2 2

2

2

2

2

7

即 x +y +

2

2

x+

y-

=0.

故此圆的圆心为(

,

),它在直线 x-y-4=0 上,

所以

-

-4=0,解得 λ =-7.
2 2

故所求圆的方程为 x +y -x+7y-32=0. 基础智能检测 1.C 2.D 由圆 C1 与圆 C2 的方程相减得 l:2x-3y+2=0,圆心 O(0,0)到 l 的距离 d= ,圆 O 的半径

R=2,所以截得弦长为 2
3.3

=2

=

.
2 2 2 2

-6

两圆分别化为标准方程为 (x-4) +(y-2) =4,(x+2) +(y+1) =16, 可知两个圆相离 ,

故|PQ|的最小值等于圆心距减两个圆的半径,即 3

-6.

4.解:光线从点 A 经 x 轴反射到圆周 C 的距离即圆上一点 P 到点 A 关于 x 轴的对称点 A'(-1,-1) 的距离,其最小值为|A'C|-r=10-2=8. 全新视角拓展

A 如图,作圆 C1 关于 x 轴的对称圆 C'1:(x-2) +(y+3) =1,则|PM|+|PN|=|PM|+|PN'|,由 图可知当 C2,M,P,N',C'1 在同一条直线上时,|PM|+|PN|=|PM|+|PN'|取得最小值,即为|C'1 C2

2

2

|-1-3 = 5

-4,故选 A.

思维导图构建 4 3 2 1 0

8


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