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2015步步高高中数学理科文档第十章 10.2


§ 10.2

排列与组合

1.排列 (1)排列的定义:从 n 个不同元素中取出 m (m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. (2)排列数的定义: 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用 Am n 表示.


m (3)排列数公式:An =n(n-1)(n-2)?(n-m+1).

(4)全排列:n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个元素的一个全排列,An (n- n=n· n ! 1)· (n-2)· ?· 2· 1=n!.排列数公式写成阶乘的形式为 Am ,这里规定 0!=1. n= ?n-m?! 2.组合 (1)组合的定义:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素合成一组,叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个组合. (2)组合数的定义:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,用 Cm n 表示. m n ! n ?n-1??n-2???n-m+1? A n (3)组合数的计算公式:Cm = ,由于 0! = 1, n = m= Am m!?n-m?! m!
0 所以 Cn =1. n (4)组合数的性质:①Cm n =Cn
-m

m m 1 __;②Cm __. n+1=Cn __+Cn


1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列. (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序. (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. (4)(n+1)!-n!=n· n!.
m 1 (5)An =nAm n-1 .


( × ( × ( √ ( √ ( √ ( √

) ) ) ) ) )

k 1 (6)kCk n=nCn-1.


2.设集合 S={1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 A={a1,a2,a3},A?S,a1,a2,a3 满足 a1<a2<a3 且

a3-a2≤6,那么满足条件的集合 A 的个数为 A.76 答案 C B.78 C.83 D.84

(

)

3 解析 在集合 S 中任取三个数共 C9 =84 种情况,这三个数大小关系确定,其中不满足 a3

-a2≤6,即最大数减去次大数大于 6 的共一个,即 a1=1,a2=2,a3=9,其他均满足题 意,所以满足条件的集合 A 的个数为 C3 9-1=83,选 C. 3.(2012· 大纲全国)将字母 a,a,b,b,c,c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每 列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 A.12 种 答案 A 解析 先排第一列,因为每列的字母互不相同,因此共有 A3 3种不同的排法. 再排第二列,其中第二列第一行的字母共有 A1 2种不同的排法,第二列第二、三行的字母 只有 1 种排法. 因此共有 A3 A1 1=12(种)不同的排列方法. 3· 2· 4.用数字 1、2、3、4、5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为 A.8 答案 C 解析 分两步: (1)先排个位有 A1 2种排法.
3 3 (2)再排前三位有 A4 种排法,故共有 A1 2A4=48 种排法.

( C.24 种 D.36 种

)

B.18 种

(

)

B.24

C.48

D.120

5. 某班级要从 4 名男生、 2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务, 如果要求至少有 1 名女生, 那么不同的选派方案有________种. 答案 14
3 解析 ①有 1 名女生:C1 2C4=8. 2 ②有 2 名女生:C2 2C4=6.

∴不同的选派方案有 8+6=14(种).

题型一 排列问题 例1 有 4 名男生、5 名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的排法?

(1)甲不在中间也不在两端; (2)甲、乙两人必须排在两端; (3)男女相间. 思维启迪 这是一个排列问题,一般情况下,我们会从受到限制的特殊元素开始考虑,有

时也从特殊的位臵讨论起.对于相邻问题,常用“捆绑法”;对于不相邻问题,常用“插 空法”(特殊元素后考虑);对于“在”与“不在”的问题,常常使用“直接法”或“排除 法”(特殊元素先考虑). 解 (1)方法一 (元素分析法)

先排甲有 6 种,其余有 A8 8种,
8 故共有 6· A8 =241 920(种)排法.

方法二 (位置分析法)
6 3 6 中间和两端有 A3 A6=336×720 8种排法,包括甲在内的其余 6 人有 A6种排法,故共有 A8·

=241 920(种)排法. 方法三 (等机会法) 9 个人的全排列数有 A9 9种,甲排在每一个位置的机会都是均等的,依题意,甲不在中间 6 9 及两端的排法总数是 A9× =241 920(种). 9 方法四 (间接法)
9 8 A9 -3· A8 8=6A8=241 920(种).

(2)先排甲、乙,再排其余 7 人, 共有 A2 A7 2· 7=10 080(种)排法. (3)(插空法)
5 4 5 先排 4 名男生有 A4 A5=2 880(种) 4种方法,再将 5 名女生插空,有 A5种方法,故共有 A4·

排法. 思维升华 本题集排列多种类型于一题,充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位 臵分析法(优先考虑特殊位臵)、直接法、间接法(排除法)、等机会法、插空法等常见的解 题思路. 用 0,1,3,5,7 五个数字,可以组成多少个没有重复数字且 5 不在十位位置上的五 位数? 解 本题可分两类:

第一类:0 在十位位置上,这时,5 不在十位位置上,所以五位数的个数为 A4 4=24; 第二类:0 不在十位位置上,这时,由于 5 不能排在十位位置上,所以,十位位置上只能 排 1,3,7 之一,这一步有 A1 3=3 种方法.又由于 0 不能排在万位位置上,所以万位位置上 只能排 5 或 1,3,7 被选作十位上的数字后余下的两个数字之一, 这一步有方法 A1 十 3=3(种). 位、万位上的数字选定后,其余三个数字全排列即可,这一步有方法 A3 3=6(种).根据分 步乘法计数原理,第二类中所求五位数的个数为 A1 A1 A3 3· 3· 3=54. 由分类加法计数原理,符合条件的五位数共有 24+54=78(个).

题型二 组合问题 例2 某市工商局对 35 种商品进行抽样检查,已知其中有 15 种假货.现从 35 种商品中选

取 3 种. (1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种? (2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种? (3)恰有 2 种假货在内,不同的取法有多少种? (4)至少有 2 种假货在内,不同的取法有多少种? (5)至多有 2 种假货在内,不同的取法有多少种? 思维启迪 可以从特殊元素出发,考虑直接选取或使用间接法. 解 (1)从余下的 34 种商品中,选取 2 种有 C2 34=561(种),

∴某一种假货必须在内的不同取法有 561 种.
3 2 3 (2)从 34 种可选商品中,选取 3 种,有 C3 34种或者 C35-C34=C34=5 984(种).

∴某一种假货不能在内的不同取法有 5 984 种.
2 (3)从 20 种真货中选取 1 件,从 15 种假货中选取 2 件有 C1 20C15=2 100(种).

∴恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种.
2 3 1 2 3 (4)选取 2 件假货有 C1 20C15种,选取 3 件假货有 C15种,共有选取方式 C20C15+C15=2 100

+455=2 555(种). ∴至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种. (5)选取 3 件的总数有 C3 35,因此共有选取方式
3 C3 35-C15=6 545-455=6 090(种).

∴至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种. 思维升华 组合问题常有以下两类题型变化: (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另 外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取. (2)“ 至少 ” 或 “ 最多 ”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视 “至少 ” 与 “最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用 直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理. 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门, 求:(1)甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有多少种? (2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种? 解 (1)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,且甲、乙所选课程中恰有 1 门相同的选法

1 1 种数共有 C2 4C2C2=24(种). 2 (2)甲、乙两人从 4 门课程中各选两门不同的选法种数为 C2 4C4,又甲乙两人所选的两门课 2 2 2 程都相同的选法种数为 C4 种,因此满足条件的不同选法种数为 C2 4C4-C4=30(种).

题型三 排列与组合的综合应用问题 例3 4 个不同的球,4 个不同的盒子,把球全部放入盒内.

(1)恰有 1 个盒不放球,共有几种放法? (2)恰有 1 个盒内有 2 个球,共有几种放法? (3)恰有 2 个盒不放球,共有几种放法? 思维启迪 把不放球的盒子先拿走,再放球到余下的盒子中并且不空. 解 (1)为保证“恰有 1 个盒不放球”,先从 4 个盒子中任意取出去一个,问题转化为“4

个球,3 个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”即把 4 个球分成 2,1,1 的三组, 然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球, 其余 2 个球放在另外 2 个盒子内, 由分步乘法计数
2 1 2 原理,共有 C1 4C4C3×A2=144(种).

(2)“恰有 1 个盒内有 2 个球”,即另外 3 个盒子放 2 个球,每个盒子至多放 1 个球,也 即另外 3 个盒子中恰有一个空盒, 因此, “恰有 1 个盒内有 2 个球”与“恰有 1 个盒不放 球”是同一件事,所以共有 144 种放法. (3)确定 2 个空盒有 C2 4种方法.
3 1 2 4 个球放进 2 个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类,第一类有序不均匀分组有 C4 C1A2种方法;第 2 2 C2 C2 4C2 2 4C2 2 2 3 1 2 二类有序均匀分组有 2 · A 种方法.故共有 C4(C4C1A2+ 2 · A )=84(种). A2 2 A2 2

思维升华 排列、组合综合题目,一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组,再对 取出的元素或分好的组进行排列. 其中分组时, 要注意“平均分组”与“不平均分组”的 差异及分类的标准. (1)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若每个信封放 2 张, 其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的放法共有 A.12 种 B.18 种 C.36 种 D.54 种 ( )

(2)(2013· 重庆)从 3 名骨科、 4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗 小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是________.(用数字作 答) 答案 解析 (1)B (2)590 C2 4 (1)先放 1、 2 的卡片有 C1 再将 3、 4、 5、 6 的卡片平均分成两组再放置, 有 2· A2 3种, A2 2

2 种,故共有 C1 C4 =18 种. 3· 1 3 2 2 3 1 (2)分三类:①选 1 名骨科医生,则有 C1 3(C4C5+C4C5+C4C5)=360(种). 1 2 2