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04-05年高二数学圆与方程单元检测


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2014-2015 学年度车胤中学高二数学(文) 圆与方程单元测试题
一、选择题 1.已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切,则圆 C 的方程为( ) 2 2 2 2 (A)(x+1) +y =2 (B)(x-1) +y =2 2 2 2 2 (C)(x+1) +y =4 (D)(x-1) +y =4 2 2 2 2.设圆的方程是 x +y +2ax+2y+(a-1) =0,若 0<a<1,则原点与圆的位置关系是 ( ) A.原点在圆上 B.原点在圆外 C.原点在圆内 D.不确定 2 2 3.已知圆 C:x +y +mx-4=0 上存在两点关于直线 x-y+3=0 对称,则实数 m 的值 为( ) A.8 B.-4 C.6 D.无法确定 4.过点 A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是 ( ). 2 2 2 2 A.(x-3) +(y+1) =4 B.(x+3) +(y-1) =4 2 2 2 2 C.(x-1) +(y-1) =4 D.(x+1) +(y+1) =4 5 .圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 的位置关系是 ( ) A.相交 B.外切 C.内切 D.相离 6.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆 的标准方程是( ) 2 2 2 2 A.(x-2) +(y-1) =1 B.(x-2) +(y-3) =1 2 2 2 2 C.(x-3) +(y-2) =1 D.(x-3) +(y-1) =1 7.已知圆 C1 : ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 2 ,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则
2 2

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

圆 C2 的方程为 ( A. ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 2
2 2

) B. ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

C. ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 2
2 2

D. ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 2
2 2
2 2

8.过点 M(1,2)的直线 l 将圆(x-2) +y =9 分成两段弧,当其中的劣弧最短时,直线 的方程是( ) A.x=1 B.y=1 C.x-y+1=0 D.x-2y+3=0 9.若圆 x2 ? y 2 ? a 2 与圆 x2 ? y 2 ? ay ? 6 ? 0 的公共弦长为 2 3 ,则 a 的值为 A. ?2 B. 2 C. ?2 D.无解

10.已知点 M (a, b) 在圆 O : x2 ? y 2 ? 1 外, 则直线 ax ? by ? 1 与圆 O 的位置关系是 A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定

试卷第 1 页,总 4 页

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二、填空题 11.已知 A(?4,0), B(0,2) ,则以线段 AB 为直径的圆的方程为
2 2 2



12. 若圆的方程为 x +y +kx+2y+k =0, 则当圆的面积最大时, 圆心坐标为________. 13.圆心为 C(3,-5),并且与直线 x-7y+2=0 相切的圆的方程 ; 2 2 14. 以点(2, -2)为圆心并且与圆 x +y +2x-4y+1=0 相外切的圆的方程是________. 2 2 2 2 15.经过两圆 x +y +6x-4=0 和 x +y +6y-28=0 的交点,并且圆心在直线 x-y-4=0 上的圆 的方程 . 16.已知 AC、BD 为圆 O:x +y =4 的两条相互垂直的弦,垂足为 M(1, 2 ),则四边
2 2

形 ABCD 的面积的最大值为________. 17.已知 x,y 满足 x +y =1,则
2 2

y?2 的最小值为________. x ?1

三、解答题 18.求半径为 2 ,圆心在直线 l1 : y ? 2 x 上,且被直线 l 2 : x ? y ? 1 ? 0 所截弦的长 为 2 2 的圆的方程.

试卷第 2 页,总 4 页

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

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(1)求过 A、B 两点的直线方程;

(2)求过 A、B 两点且圆心在直线 2 x ? 4 y ? 1 上的圆的方程.

20.已知圆 C1 : x2 ? y2 ? 4x ? 2 y ? 0, C2 : x2 ? y2 ? 2 y ? 4 ? 0 交于 A、B 两点.

19. 等腰梯形 ABCD 的底边长分别为 6 和 4, 高为 3, 求这个等腰梯形的外接圆的方程, 并求这个圆的圆心坐标和半径长.

试卷第 3 页,总 4 页

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21 . 已 知 半 径 为 5 的 圆 的 圆 心 在

x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线

4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相切.
(1)求圆的标准方程; (2)设直线 ax ? y ? 5 ? 0 (a ? 0) 与圆相交于 A, B 两点,求实数 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,是否存在实数 a ,使得弦 AB 的垂直平分线 l 过点 p(?2, 4)

22.已知圆 C: x2 ? ( y ? 1)2 ? 5 ,直线 l : mx ? y ?1? m ? 0 .

?m ? R ,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点; ①求证:对任意 ②当 m=1 时,直线 l 与圆 C 交于 M、N 两点,求弦长|MN|;
③设 l 与圆 C 交于 A、B 两点,若 AB ? 17 ,求 l 的倾斜角.

试卷第 4 页,总 4 页

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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参考答案 1.A 【解析】直线 x-y+1=0,令 y=0 得 x=-1,所以直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点为(-1,0),因为直线 x+y+3=0 与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即 r=
2 2

=

,所以圆 C 的方程为

(x+1) +y =2. 2.B 2 2 2 2 【解析】将原点代入 x +y +2ax+2y+(a-1) =(a-1) >0,所以原点在圆外. 3.C 【解析】圆上存在关于直线 x-y+3=0 对称的两点,则 x-y+3=0 过圆心(- -

m ,0),即 2

m +3=0,∴m=6. 2

4.C 【解析】设圆心 C 的坐标为(a,b),半径为 r. ∵圆心 C 在直线 x+y-2=0 上,∴b=2-a. 2 2 ∵|CA| =|CB| , 2 2 2 2 ∴(a-1) +(2-a+1) =(a+1) +(2-a-1) , ∴a=1,b=1,∴r=2, 2 2 ∴圆的方程为(x-1) +(y-1) =4. 5.A 【解析】 试题分析:因为圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 分别化 为 C1 : ( x ? 1)2 ? ( y ? 4)2 ? 25, C2 : ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 10 . 所 以 两 圆 心 坐 标 分 别 为

C1 (?1, ?4) , C2 (2, ?2) . 半 径 分 别 为 5 , 10 . 因 为 C1C2 ? 13 ? 5 ? 10 , 又

C1C2 ? 13 ? 5 ? 10 .所以两圆相交故选 A.
考点:1.两圆的位置关系.2.圆的标准方程.3.配方法的思想. 6.A 【解析】设圆心坐标为(a,b),由题意知 a>0,且 b=1.又∵圆和直线 4x-3y=0 相切, ∴

4a ? 3 =1,即|4a-3|=5,∵a>0, 5

∴a=2. 2 2 所以圆的方程为(x-2) +(y-1) =1. 7.D 【解析】 试题分析: 由圆 C1 方程可知圆心 C1 ? ?2,2? , 半径为 2 , 设 C2 ?a b , ? 。则可知点 C1 、点 C2 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称, 所以

b?2 a?2 b?2 ? ?1 , ? ?1 ? 0 , 且 解得 a ? 3, b ? ?3 , a?2 2 2
答案第 1 页,总 8 页

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即 圆 C2 的 圆 心 为 ? 3,? 3 ? , 因 为 两 圆 对 称 所 以 半 径 不 变 , 所 以 圆 C2

的方程为

( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 2 ,故 D 正确。
考点:点关于直线的对称点问题。 8.D 【解析】设圆心为 C,当 CM⊥l 时,圆截 l 的弦最短,其所对的劣弧最短,又 kCM=-2,∴ kl=

1 . 2 1 (x-1),即 x-2y+3=0. 2

∴直线 l 的方程为 y-2= 9.A 【解析】

试题分析:圆 x2 ? y 2 ? a 2 的圆心为原点 O,半径 r ?| a | . 将圆 x2 ? y 2 ? a 2 与圆 x2 ? y 2 ? ay ? 6 ? 0 相减, 可得 a2 ? ay ? 6 ? 0 , 即得两圆的公共弦所在直线方程为 a2 ? ay ? 6 ? 0 . 原点 O 到 a2 ? ay ? 6 ? 0 的距离 d=|

6 ? a |, a
2
2

设两圆交于点 A、B,根据勾股定理可得 a = ( 3 ) +( 选 A. . 考点:圆与圆的位置关系. 10.B 【解析】

6 ? a ) 2 ∴ a 2 ? 4 ,∴ a =±2.故 a

2 2 试题分析:因为点 M (a, b) 在圆 O : x2 ? y 2 ? 1 外,所以 a ? b ? 1 ,而( 0,0 )到直线

ax ? by? 1的距离
d=

0 ? 0 ?1 a ?b
2 2

=

1 a ? b2
2

? 1,所以直线 ax ? by ? 1与圆 O 相交,故选 B.

考点:1.点与圆的位置关系;2.直线与圆的位置关系. 11. ?x ? 2? ? ? y ? 1? ? 5
2 2

【解析】 试题分析: AB ?

?? 4 ? 0?2 ? ?0 ? 2?2

? 2 5 ? 2 R ,? R ? 5 ,圆心为 A, B 中点,圆心

答案第 2 页,总 8 页

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?- 2, 1? ,所以圆的方程为 ?x ? 2?2 ? ? y ? 1?2 ? 5 .
考点:求圆的标准方程 12.(0,-1) 【解析】方程为 x +y +kx+2y+k =0 化为标准方程为(x+
2 2 2

3k 2 k 2 2 ) +(y+1) =1- , 2 4

∵r =1-

2

3k 2 ≤1,∴k=0 时 r 最大. 4

此时圆心为(0,-1). 13. ?x ? 3? ? ? y ? 5? ? 32
2 2

【解析】 试 题 分 析 : 因 为 相 切 , 所 以 圆 心 到 直 线 的 距 离 等 于 半 径 , 即

d?

3 ? 7 ? ?? 5? ? 2 1? 7
2

?

40 5 2

? 4 2 ,所以圆的方程为 ?x ? 3? ? ? y ? 5? ? 32.
2 2

考点:求圆的方程 2 2 14.(x-2) +(y+2) =9 2 2 2 2 2 【解析】设所求圆的方程为(x-2) +(y+2) =r (r>0),此圆与圆 x +y +2x-4y+1=0,
2 即(x+1) +(y-2) =4 相外切,所以 (2+) =2+r,解得 r=3.所以所求圆 1 2 +(-2-2)
2 2

的方程为(x-2) +(y+2) =9. 15. x 2 ? y 2 ? x ? 7 y - 32 ? 0 【解析】 试题分析:设经过两圆交点的圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 6x ? 4 ? ? x 2 ? y 2 ? 6 y ? 28 ? 0 ,整 理 为

2

2

?

?

?1 ? ? ?x 2 ? ?1 ? ? ?y 2 ? 6x ? 6?y ? 4 ? 28? ? 0
6 6? 4 ? 28? x? y? ? 0. 1? ? 1? ? 1? ?

,









x2 ? y2 ?

圆心坐标为 ? -

3? ? ? 3 , ? ,代入直线方程,解得: ? ? -7 ,代入得圆的方程: ? 1? ? 1? ? ?

x 2 ? y 2 ? x ? 7 y - 32 ? 0 .
考点:经过两圆交点的圆的方程 16.5 【解析】设圆心 O 到 AC、BD 的距离分别为 d1、d2,垂足分别为 E、F,

答案第 3 页,总 8 页

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2 则四边形 OEMF 为矩形,则有 d12 + d2 =3.由平面几何知识知 |AC|=2 4 ? d1 ,|BD|=2
2

4 ? d 22 ,∴S

四边形 ABCD



1 2 2 2 |AC|·|BD|=2 4 ? d1 · 4 ? d 2 ≤(4- d12 )+(4- d2 )=8- 2

2 ( d12 + d2 )=5,即四边形 ABCD 面积的最大值为 5.

17.

3 4 y?2 y?2 表示圆上的点 P(x,y)与点 Q(1,2)连线的斜率,∴ 的最小值是直线 PQ x ?1 x ?1

【解析】

与圆相切时的斜率. 设直线 PQ 的方程为 y-2=k(x-1), 即 kx-y+2-k=0, 由

2?k k 2 ?1



1,得 k=

3 y?2 3 ,结合图形可知 ≥ ,∴所求最小值为. 4 x ?1 4

18.圆的方程为: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 和 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 4 . 【解析】 试题分析:由圆心在直线 l1 : y ? 2 x 上,设出圆心 C 的坐标为 ( a, b) ,则 b ? 2a ,又圆的 半径为 2,且被直线 l 2 : x ? y ? 1 ? 0 所截弦的长为 2 2 ,利用点到直线的距离公式表示 出圆心到直线 l 2 : x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ? 2 ,解得到 a , b 的值,进而确定出圆心 C 的坐 标,由圆心和半径写出圆的方程即可. 试题解析:.解:设所求圆的圆心为 ( a, b) , 则圆心到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?

4?2 ? 2

?b ? 2a ?a ? ?3 ?a ? 1 ? 根据题意有: ? a ? b ? 1 解方程组得: ? ,? b ? ? 6 ? 2 ? ?b ? 2 ? 2 ?
所以,所求的圆的方程为: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 和 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 4 (或 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 和 x 2 ? y 2 ? 6x ? 12y ? 41 ? 0 ) (12 分)

答案第 4 页,总 8 页

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考点:本题考查直线与圆相交的性质、圆的标准方程、点到直线的距离公式,当直线与圆相 交时,由弦长的一半,圆的半径及弦心距构造直角三角形,利用勾股定理来解决问题.
2 19.梯形外接圆的方程是 x ? ? y ? 2 ? ? 13 ,半径长是 13 ,圆心坐标是 ? 0, 2 ? . 2

【解析】

y

D

C
E

A

O

B

x

显然,等腰三梯形 ABCD 的外接圆的圆心在 y 轴上. 由题设, 可得点 B 的坐标是 ? 3,0 ? , 点 C 的坐标是 ? 2,3? . 线段 BC 的中点坐标是 F ? , ? , 直线 BC 的斜率是 kBC ? ?3 .线段 BC 的垂直平分线的方程是

?5 3? ?2 2?

y?

5 1? 3? ? ?x? ?. 2 3? 2?

与 y 轴的方程 x ? 0 联立,解得 y ? 2 . 所以,梯形外接圆的圆心 E 的坐标是 ? 0, 2 ? . 半径长 EB ?

? 0 ? 3? ? ? 2 ? 0?
2

2

? 13 .
2

2 所以,梯形外接圆的方程是 x ? ? y ? 2 ? ? 13 ,

半径长是 13 ,圆心坐标是 ? 0, 2 ? .

20. (1) x ? y ? 1 ? 0 ; (2) x ? y ? 3x ? y ? 1 ? 0
2 2

【解析】
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试题分析: (1)两个圆的方程相减,得直线 x ? y - 1 ? 0 ,因为圆和圆的公共点为 A, B ,所 以 A, B 点的坐标满足方程 x ? y - 1 ? 0 ,而两点只能确定一条直线,所以过 A, B 两点的直 线方程为 x ? y - 1 ? 0 ,如果已知两个圆相切,那么相减得到的是公切线方程; (2)利用过 两圆交点的直线系方程可设为 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ,整理为圆的一般方程,进而求出圆心,再把圆心坐标 ? ? ( x 2 ? y 2 ? 2 y ? 4) ? 0 ? ? -1)

2 ? ?1 ( , ) 代入直线 2 x ? 4 y ? 1 中,求 ? ,或者该题可以先求 A, B 两点的坐标,在利 1? ? 1? ?

? x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 0 ? 用到圆心的距离相等列方程,求 ? 试题解析: (I)联立 ? 2 ,两式相减 2 ? ?x ? y ? 2 y ? 4 ? 0
并整理得: x ? y ? 1 ? 0 ∴过 A、B 两点的直线方程为 x ? y ? 1 ? 0 (II)依题意:设所求圆的方程为 x ? y ? 4x ? 2 y ? ? ( x ? y ? 2 y ? 4) ? 0
2 2 2 2

5分 6

分 其圆心坐标为 (

2?

1 2 ? ?1 ? 4? ? 1 ,解得 ? ? 3 1? ? 1? ?
2 2

2 ? ?1 , ) 1? ? 1? ?

, 因 为 圆 心 在 直 线 2x ? 4 y ? 1 上 , 所 以

∴所求圆的方程为: x ? y ? 3x ? y ? 1 ? 0 考点:1、直线的方程;2、圆的方程. 21. (1) ( x ?1)2 ? y 2 ? 25 ; (2) a ? 【解析】

12 分

5 3 或a ? 0 ; (3) a ? 12 4

试题分析: (1)由圆心在 x 轴,可设圆心为 M (m, 0) ,又直线 4 x ? 3 y ? 29 ? 0 与圆相切, ∴圆心到直线的距离 d ? 5 ,列式求 m ,则圆的标准方程可求; (2)因为直线 ax ? y ? 5 ? 0 (3)首先根 (a ? 0) 与圆相交于 A, B 两点,则 d ? r ? 5 ,解不等式可求实数 a 的取值范围; 据垂直关系得 kl ? ?a ,又直线 l 过点 p(?2, 4) ,根据直线的点斜式方程写出 l 的方程为 由垂径定理可知, 弦 AB 的垂直平分线必过圆心, 将圆心 M (1,0) 代入, y ? ?a( x ? 2) ? 4 , 可求 a 的值,再检验直线是否圆相交于两点. 试题解析:(1)设圆心为 M (m, 0) (m∈Z),由于圆与直线 4x+3y-29=0 相切,且半径为 5,
答案第 6 页,总 8 页

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4m ? 29 27 ? 5 即|4m-29|=25,即 4m-29=25 或 4m-29=-25,解得 m ? ,或 m ? 1 ,因为 m 2 5

为整数,故 m=1,故所求的圆的方程是 ( x ?1)2 ? y 2 ? 25 ; ( 2) 此时,圆心 C(1, 0) 与该直线的距离 d ? r ? 5 ,

d?

a ?1 ? 0 ? 5 a2 ? 1

?

a?5 a2 ? 1

?5

? a ? 5 ? 5 a2 ? 1
? a2 ? 10a ? 25 ? 25a 2 ? 25 ,?12a 2 ? 5a ? 0 即: a ?

5 或a ? 0 ; 12

l 的方程为 y ? ?a( x ? 2) ? 4 , (3) 设符合条件的实数 a 存在, ∵a≠0, 则直线的 l 斜率为 ?a ,
即 x ? ay ? 2 ? 4a ? 0 , 由于直线 l 垂直平分弦 AB, 故圆心 M (1, 0) 必在 l , 所以 1+0+2-4a=0,

3 , 4 3 3 经检验 a ? ,直线 ax-y+5=0 与圆有两个交点,故存在实数 a ? ,使得过点 P(-2,4) 4 4 的直线 l 垂直平分弦 AB.
解得 a ? 考点:1、圆的标准方程;2、直线和圆的位置关系;3、点到直线的距离公式.
0 0 22.①见解析;② 3 2 ;③ 60 或120

【解析】 试题分析:①法一:证明用点到直线的距离恒小于圆的半径, (此法计算量较大,故通常不 选用此方法) 。法二:证直线恒过定点,且此顶点在圆内。②根据圆心和弦中点的连线垂直 平分弦, 应先求圆心到直线的距离再用勾股定理求弦长。 ③根据弦长可求圆心到直线的距离, 即可求出直线的斜率,根据斜率可求得倾斜角。 试题解析:解:①∵直线 l : mx ? y ?1? m ? 0 恒过 (1,1) 点,又∵点 (1,1) 在圆 C: (A:7 分,B:5 x2 ? ( y ?1)2 ? 5 内,∴对 ?m ? R ,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点。 分) ②当 m=1 时,直线 l : x ? y ? 0 ;圆心 C(0,1)到直线 l : x ? y ? 0 的距离等于

2 ,又∵圆 2

C 的半径为

5 ,∴弦长|MN| ? 2 5 ? (

2 2 (A:14 分,B:9 分) ) ?3 2; 2

③∵ AB ? 17 ,∴

AB 17 ? ,又∵圆 C 的半径为 5 ,∴圆心 C(0,1)到直线 l 的距离 2 2

答案第 7 页,总 8 页

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等 于

5? (

1 72 3 , )? 2 2



d?

m 0? 1 ? ? 1m m2 ? 1

?

3 2

, ∴

m2 ? 3

, ∴

(B:14 分) m ? 3或 ? 3 ,∴直线 l 的倾斜角为 600 或1200 。 考点:直线过定点问题,点到直线的距离公式,圆的弦长。

答案第 8 页,总 8 页


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重庆11中高2006-07学年高二上数学摸底《直线与圆的方程》单元测试试题(实验班)

直线的方程 直线的倾斜角与斜率 直线的交点坐标与距离公式 直线与方程单元测试1...高二数学-直线和圆的方程-... 7页 免费 05-06年上学期高二优化训练... 11...


【名师一号】2014-2015学年新课标A版高中数学必修2:第四章++圆与方程+单元同步测试(含解析)

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广西南宁外国语学校2012-2013学年高二上学期数学单元素质测试题——直线和圆的方程

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2015-2016学年高中数学 第四单元 圆与方程单元测评

2015-2016学年高中数学 第四单元 圆与方程单元测评_数学_高中教育_教育专区。单元测评(四) 第四章 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ...


2016-2017学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程单元检测(B)

2016-2017学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程单元检测(B)_数学_高中教育_教育...,0?作圆的两切线互相垂直,则离心率 e=___. ? 12.椭圆 2+ 2=1 (a>b...


高中数学选修1-1第2章《圆锥曲线与方程》单元测试题

高中数学选修1-1第2章《圆锥曲线与方程单元测试题_高二数学_数学_高中教育_...± 2 )的椭圆被直线 3x-y-2=0 截得的弦的中点的横坐标为 5 圆方程为(...


2016-2017学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程单元检测(A)

2016-2017学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程单元检测(A)_数学_高中教育_教育...2 为半径的圆内,过 2 m +n 2 2 x y 点 P 的直线与椭圆 +=1 的...

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