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《2014届数学一轮高考核动力》(新课标)高考数学(文)一轮强化突破训练(22)


(31)
一、选择题 1.用分析法证明:欲使①A>B,只需②C<D,这里①是②的( A.充分条件 C.充要条件 【答案】B 【解析】∵②? ①,但①不一定推出②,故选 B. 2.用反证法证明命题:若整系数一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有有理根,则 a、
2

)

B.必要条件 D.既不充分也不

必要条件

b、c 中至少有一个是偶数时,下列假设中正确的是(
A.假设 a、b、c 都是偶数 B.假设 a、b、c 都不是偶数 C.假设 a、b、c 至多有两个是偶数 D.假设 a、b、c 至多有两个是偶数 【答案】B

)

【解析】反证法的假设,恰好与结论相反,“至少有一个”的否定是“一个也没有”, 选 B. 3.集合 Z={(2n+1)π ︱n∈Z}与集合 Y={(4k±1)π ︱k∈Z}之间的关系是( A.Z?Y C.Z=Y 【答案】C 【解析】解法 1:2n+1 表示全体奇数,4k±1 也表示奇数,故 Z? Y,但是若 Z?Y 即 B 真,则 D 也真,这与只有一个正确选项相矛盾,所以 B 假,因而选 C. 以选 C. 4.P= a+ a+7,Q= a+3+ a+4.(a≥0)则( A.P<Q C.P>Q 【答案】A B.P=Q D.不能确定 )
[来源:学科网]

)

B.Z?Y D.Z≠Y

解法 2:C、 D 为矛盾关系,必有一真,所以 A、 B 均为假,又因为 Z? Y,且 B 假,所

【解析】

? ? 12≥0? a +7a+12>a +7a?
P2=2a+7+2 a2+7a
2

Q2=2a+7+2 a2+7a+12
2

? P <Q ? P<Q,故选择 A. 5.若已知 tan 110°=a,求 tan 10°的值,那么在以下四个答案:

2

2

a+ 3 ① 1- 3a
③ a +1+a 中,正确的是( A.①和② )
2



a+ 3 3a-1
2

④ a +1-a B.③和④

C.①和④ 【答案】D

D.②和③

【解析】本题考查三角函数的综合应用. 1 由 tan 110°=-tan 70°=- tan 20° 1-tan 10° =- =a 2tan 10° ? tan 10°-2atan 10°-1= 0 2a±2 a +1 ? tan 10°= 2 =a± a +1. 由 tan 110°<0 知,a<0,而 tan 10°>0, ∴tan 10°=a+ a +1,③正确. 又 tan 10°=-tan 170° tan 110°+tan 60° =- 1-tan 110°?tan 60°
2 2 2 2 2
[来源:Z|xx|k.Com]

a+ 3 a+ 3 =- = , 1- 3a 3a-1
故②正确.综上,②③正确,故选择 D. 二、填空题 6.用反证法证明命题“若整数 n 的立方是偶数,则 n 也是偶数”如下:假设 n 是奇数, 则 n=2k+1(k∈Z),n =(2k+1) =________,这与已知 n 是偶数矛盾,所以 n 是偶数. 【答案】2(4k +6k +3k)+1
3 3 3 3 2
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

3

3

3

【解析】n =(2k+1) =8k +12k +6k+1 =2(4k +6k +3k)+1. 7.已知 a 和 b 是异面直线,且 a? 平面 α ,b? 平面 β ,a∥β ,b∥α ,则平面 α 与 平面 β 的位置关系是 【 答案】α ∥β 【解析】 假设 α 不平行于 β , α ∩β =c, a∥β , a∥c.同理 b∥α ,∥c.∴a∥b, 则 ∵ ∴ b 这与 a 和 b 是异面直线矛盾,∴α ∥β . 8.已知 a,b 为正数,且 a+b=1,则 a+2+ b+2的最大值为. 【答案】 10 【解析】∵a +b ≥2ab, ∴2(a +b )≥(a+b) . ∴a+b≤ 2?
2 2 2 2 2
[来源:Z,xx,k.Com]

2

3

2

.

a2+b2? .

∴ a+2+ b+2 ≤ 2[? = 10, 即 a+2+ b+2的最大值为 10.

a+2? +? b+2? ]

三、解答题 9.用分析法证明下列各题: (1) c+1+ c-1<2 c(其中 c> 1). (2)设 x>0,y>0,求证:

x+ y
2



x+y
2

.

【 证明】(1)∵ c+1+ c-1<2 c ?( c+1+ c-1) <(2 c) ?2c+2 c -1<4c ?2 c -1<2c ? c -1<c ?c -1<c (∵c>1) ?-1<0,显然成立. ∴待证不等式 c+1+ c-1<2 c成立. (2)要证明 只需证明
2 2 2 2 2 2 2

x+ y
2 4

≤ ≤

x+y
2 2



x+y+2 xy x+y



而需证明 2 xy≤x+y, 此式 在 x>0,y>0 时显然成立. 即当 x>0,y>0 时,

x+ y
2



x+y
2

成立.

10.已知 a、b、c 为不全相等的实数,求证:

b+c-a c+a-b a+b-c + + >3. a b c

?b a? ?c b? 【证明】左边=? + ?+ ? + ? ?a b? ?b c? ?a c? +? + ?-3, ?c a?
b a a b
∵a、b、c 为不全相等的实数, ∴ + ≥2, + ≥2, + ≥2. 且这三式的等号不能同时成立.(否则 a=b=c)

c b b c

a c c a

?b a? ?c b? ?a c? ∴? + ?+? + ?+? + ?-3 ?a b? ?b c? ?c a?
>6-3=3. 即

b+c-a c+a-b a+b-c + + >3. a b c
2

11.设函数 f(x)=x +2bx+c(c<b<1),f(1)=0,且方程 f(x)+1=0 有实根. (1)证明:-3<c≤-1,且 b≥0; (2)若 m 是方程 f(x)+1=0 的一个实根,判断 f(m-4)的正负,并加以证明.

【解析】(1)f(1)=0? 1+2b+c=0? b=- 又 c<b<1,故 c<-

c+1
2

.

c+1

1 <1? -3<c<- . 2 3
2

方程 f(x)+1=0 有实根,即 x + 2bx+c+1=0 有实根, 故 Δ =4b -4(c+1)≥0. (c+1) -4(c+1)≥0? c≥3 或 c≤-1. 又 c<b<1,得-3<c≤-1,由 b=-
2 2 2 2

c+1
2

知 b≥0.

(2)f(x)=x +2bx+c=x -(c+1)x+c =(x-c)(x-1), 又 f(m)=-1<0,∴c<m<1, ∴c-4<m-4<-3<c. ∴f(m-4)=(m-4-c)(m-4-1)>0, ∴f(m-4)的符号为正. 12.(2010 江西卷?文)正实数数列{an}中,a1=1,a2=5,且{an }成等差数列. (1)证明数列{an}中有无穷多项为无理数; (2)当 n 为何值时,an 为整数,并求出使 an<200 的所有整数项的和. 【解析】(1)由已知有:an =1+24(n-1),从而 an= 1+24? 方法 1:取 n-1=24
2k 2k-1 2
[来源:Zxxk.Com]

2

n-1? .

,则 an= 1+24 (k∈N ).
k

2k

*

用反证法证明这些 an 都是无理数. 假设 an= 1+24 为有理数,则 an 必为正整数 ,且 an>24 , 故 an-24 ≥1,an+24 >1,与(an-24 )(an+24 )=1 矛盾, 所以 an= 1+24 (k∈N )都是无理数,即数列{an}中有无穷多项为无理数. 方法 2:因为 an+1 =1+24n(n∈N), 当 n 的未位数字是 3,4,8,9 时,1+24n 的末位数字是 3 和 7,它不是整数的平方,也不 是 既约分数的平方,故此时 an+1= 1+24n不是有理数,因为这种 n 有无穷多,故这种无理 项 an+1 也有无穷多,即数列{an}中有无穷多项为无理数. (2)要使 an 为整数,由(an-1)(an+1)=24(n-1)可知:
2 2k *

k

k

k

k

an-1,an+1 同为偶数,且其中一个必为 3 的倍数,所以有 an-1=6m 或 an+1=6m.
当 an=6m+1 时,有 an =36m +12m+1=1+12m(3m+1)(m∈N). ? 3m+1? 2 又 m(m+1)必为偶数,所以 an=6m+1(m∈N)满足 an =1+24(n-1 ),即 n= 2 +1(m∈N)时,an 为整数; 同理 an=6m-1(m∈N )时,有 an =36m -12m+1=1+12m(3m-1)(m∈N )也满足 an =1 +24(n-1),即 n=
* 2 2 * 2 2 2

m

m? 3m-1?
2
*

+1(m∈N )时,an 为整数;

*

显然 an=6m-1(m∈N )和 an=6m+1(m∈N)是数列中的不同项, 所以当 n=

m? 3m+1?
2

+1(m∈N)和

m? 3m-1? * n= +1(m∈N )时,an 为整数.
2 由 an=6m+1<200(m∈N)有 0≤m≤33, 由 an=6m-1<200(m∈N )有 1≤m≤33. 设 an 中满足 an<200 的所有整数项的和为 S,则
*

S=(1+7+13+?+199)+(5 +11+?+197)
= 1+199 5+197 ?34+ ?33=6 733. 2 2


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