盐城中学 2016 届高三数学随堂练习 2015-9-9 1.“ a ?
a 1 ”是“对任意的正数 x ， 2 x ? ? 1 ”的 x 8
条件.（填“充分不必要” ，
“必要不充分” ， “充要”或者“既不充分也不必要” ） 充分不必要
1? a2 ? 0 ，则 a 的取值范围是 2. 若 log2 a 1? a
. ( ,1) . (1, 2)
1 2
3. 已知 y ? log a ?2 ? ax? 在 0，1 上是 x 的减函数， 则 a 的值取范围是
?
?
4.二次函数 f ?x? ? ax2 ? bx ? c 中， a ? 0且 a ? 1 ，对任意 x ?R ，都有 f ?x ? 1? ? f ?2 ? x ? ，设
? 1 ? ? ，则 m、n 的大小关系为 m ? f a loga 3 ，n ? f ? ? loga ? a? ?
x 5．若函数 f ( x) ? k ? 2 x （a 为常数）在定义域上为奇函数，则 k= 1? k ? 2
?
?
. m? n ． ?1
6 ． 已 知 函 数 f ( x) ? 4 ? m ? 2 ? 1 有 且 只 有 一 个 零 点 ， 则 实 数 m 的 取 值 范 围
x x
是
．m=-2
?2? x ? 1 x ? 0 7． 已知函数 f ( x) ? ? , 若方程 f(x)=x+a 有且只有两个不相等的实数根， ? f ( x ? 1) ( x ? 0)
则实数 a 的取值范围是 ． (-∞,1)
8．定义域和值域均为［-4,4］的函数 y=f(x)和 y=g(x)的图象如图所示，下列命题正确的是 _____． （填正确命题的序号） （1）
（1）方程 f(g(x))=0 有且仅有三个根 （3）方程 f(f(x))=0 有且仅有两个根
（2）方程 g(f(x))=0 有且仅有三个根 （4）方程 g(g(x))=0 有且仅有两个根
9．已知 m ? 0, p : ( x ? 2)(x ? 6) ? 0, q : 2 ? m ? x ? 2 ? m.
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（1）若 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围； （2）若 m ? 5, “ p 或 q ” 为真命题， “ p 且 q ” 为假命题，求实数 x 的取值范围. 解：
p : ?2 ? x ? 6.
(I)∵ p 是 q 的充分条件，∴是 [2 ? m,2 ? m] 的子集
?m ? 0 ? ∴ ?2 ? m ? ?2 ? m ? 4 ?2 ? m ? 6 ?
(Ⅱ)当 m ? 5 时， q : ?3 ? x ? 7 .
∴实数 m 的取值范围是 [4,??).
据题意有, p 与 q 一真一假.
?? 2 ? x ? 6 p 真 q 假时,由 ? ? x ?? ? x ? ?3或x ? 7
p 假 q 真时,由 ?
? x ? ?2或x ? 6 ? ?3 ? x ? ?2或6 ? x ? 7. ?? 3 ? x ? 7
∴实数 x 的取值范围为 [?3,?2) ? (6,7]. 10．已知函数 f ( x) ?
ax 2 ? bx ，存在正数 b ，使得 f ( x) 的定义域和值域相同．
（1）求非零实数 a 的值； （2）若函数 g ( x ) ? f ( x ) ?
b 有零点，求 b 的最小值． x b a
解： （1）若 a ? 0 ，对于正数 b ， f ( x ) 的定义域为 D ? ( ??, ? ] ? [0, ?? ) ，但 f ( x ) 的值 域 A ? [0, ??) ，故 D ? A ，不合要求． --------------------------2 分 若 a ? 0 ，对于正数 b ， f ( x ) 的定义域为 D ? [0, ? ] ． -----------------3 分 由于此时 [ f ( x)]max ? f (?
b a
b b )? ， 2a 2 ?a
------------------------------------6 分
故函数的值域 A ? [0,
b ]． 2 ?a
由题意，有 ?
b b ? ， 由 于 b ? 0 ， 所 以 a ? ?4 ． ------------------8 分 a 2 ?a
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(2)由f ( x) ? 得 记 则 易知 ?x ?
b b ? 0, 即 ?4 x 2 ? bx ? x x 4 3 2 4 x ? bx ? b ? 0. h( x) ? 4 x 4 ? bx 3 ? b 2 , h / ( x) ? 16 x 3 ? 3bx 2 , h( x)在(0,
(0 ? x ?
b ), 4
令h ' ( x) ? 0, x ?
3b b ? (0, ]-----------10分 16 4
3b 3b b ]上递减；在[ , ]上递增. 16 16 4
3b 是h( x)的一个极小值点. ------------------------12分 16 b 3b 又h( ) ? b 2 ? 0, h(0) ? b 2 ? 0,?由题意有：h( ) ? 0, ----------14分 4 16 3b 4 3b 4 即4( ) ? b( )3 ? b 2 ? 0,? b 2 ? , 3 3 16 16 ( ) 16 128 3 故bmin ? . --------------------------------------16分 9
11．已知函数 f ( x) ?
2x 2x ? 2
1 2
（1）计算 f ( ? x) ? f ( ? x) 的值； （2） 若关于 x 的不等式： f [2 的取值范围。 （1）1 （2） m ? ?5
3x
1 2
1 1 ? 2 ? x ? m(2 x ? 2 ? x ) ? ] ? 在区间 [1,2] 上有解， 求实数 m 2 2
备选题： 13、 已知函数 f（x）的定义域为 R，则下列命题中：
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①若 f（x－2）是偶函数，则函数 f（x）的图象关于直线 x＝2 对称； ②若 f（x＋2）＝－f（x－2） ，则函数 f（x）的图象关于原点对称； ③函数 y＝f（2＋x）与函数 y＝f（2－x）的图象关于直线 x＝2 对称； ④函数 y＝f（x－2）与函数 y＝f（2－x）的图象关于直线 x＝2 对称． 其中正确的命题序号是_________．④
9 ．设定义在 R 上的函数 f ( x) ? 5x ? sin x , 则不等式 f (x? 1) ＋ f (1? x ) ＜ 0 的解集为
2
_ ?x | x ? 0或x ? 1? ___ 11 已 知 函 数 f ( x) ? (ax ? x) ? x ln x 在 ?1,?? ? 上 单 调 递 增 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是
2
a?
1 2e
。
2
12 已知函数 f（x）=|x －2|，若 f（a）≥f（b） ，且 0≤a≤b，则满足条件的点（a，b）所围 成区域的面积为
? 2
3
．
1 2 ? ?( x ? ) ? 1( x ? 0) 14．已知函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1, g ( x) ? ? ，则方程 g[ f ( x)] ? a ? 0 （ a 2 ??( x ? 3)2 ? 1( x ? 0) ?
2
为正实数）的实数根最多有
6个
2 13. 设 f ?x? ? x ? ax ， x f ( x) ? 0, x ? R ? x f ( f ( x)) ? 0, x ? R ? ? ，则满足条件
?
? ?
?
的所有实数 a 的取值范围为_______________ 0 ? a ? 4 解 析 ： f ( x) ? 0 ? x ? 0 或 x ? ?a ； f ( f ( x)) ? 0 ? f ( x) ? 0 或 f ( x) ? ?a ， 由
f ( x) ? 0 ? x ? 0 或 x ? ?a ， 则 f ( x) ? ?a 即 x 2 ? ax ? a ? 0 无 解 或 根 为 0 或 ? a ，
? ? 0 ? 0 ? a ? 4 ，或 a ? 0
15. 已 知 函 数 f ( x) ? ln x ?
1 3 x? , g ( x) ? x 2 ? 2bx ? 4 ， 若 对 任 意 x1 ? (0,2) ， 存 在 4 4x
x2 ? [1,2] ，使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ，则实数 b 的取值范围为_______ b ?
解析：即 f ( x) min ? g ( x) min ，求导易得 f ( x ) min ? f (1) ?
14 2
1 ， g ( x) 对称轴是 x ? b 2
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当 b ? 1 时， g ( x) 增， g ( x) min ? g (1) ? 5 ? 2b ?
2 当 1 ? b ? 2 时， g ( x) min ? g (b) ? 4 ? b ?
1 9 ? b ? 矛盾； 2 4
1 14 ； ?2?b? 2 2
1 15 ?b?2 ?b? 2 8
当 b ? 2 时， g ( x) 减， g ( x) min ? g (2) ? 8 ? 4b ?
45. 已知 f ( x) ? 2 x 可以表示成一个奇函数 g ( x) 与一个偶函数 h( x) 之和，若关于 x 的不等式
ag ( x) ? h(2 x) ? 0 对于 x ? [1, 2] 恒成立，则实数 a 的最小值是 _____ ?
解析： h( x) ? 令2 ?2
x ?x
17 6
2 x ? 2?x 2 x ? 2?x 2 2 x ? 2 ?2 x (2 x ? 2 ? x ) 2 ? 2 , g ( x) ? ? ? ，则 a ? ? x 2 2 2 ? 2?x 2 x ? 2?x
3 15 2 17 ? t ，则由 2 x ? [2,4] ，得 t ? [ , ] ， a ? ?(t ? ) ，故 a ? ? 2 4 t 6 b 1 ? 4 ln x 在 x ? 1与x ? 处都取得极值． x 3
17.已知 f ( x ) ? 2ax ? （1）求 a 、 b 的值；
（2）若对 x ? [ , e] 时， f ( x) ? c 恒成立，求实数 c 的取值范围 解： （1） f ( x) ? 2a ?
/
1 e
b 4 ? x2 x
? f ( x) ? 2ax ?
b 1 ? 4 ln x 在 x ? 1与x ? 处都取得极值 x 3
?2a ? b ? 4 ? 0 1 ? f / (1) ? 0, f / ( ) ? 0 ，? ? 3 ?2a ? 9b ? 12 ? 0
即a ? ?
3 , b ? ?1 2
经检验符合 （2）由（1）可知 f ( x ) ? ?3 x ?
1 ? 4 ln x ， x 1 4 (3 x ? 1)( x ? 1) f / ( x) ? ?3 ? 2 ? ? ? x x x2
/ 由 f ( x) ? 0 ，得 f ( x ) 的单调增区间为 ? ,1? ，
?1 ? ?3 ?
/ 由 f ( x) ? 0 ，得 f ( x ) 的单调减区间为 ? 0, ? 和 ?1, ?? ? ， 3
? 1? ? ?
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当 x ? [ , e] 时， f ( ) ? e ? 4 ? 而 f ( ) ? f (e) ? 4e ? 8 ?
1 e
1 e
3 1 , f (e) ? ? 4 ? 3e ， e e
4 ?0 e 1 1 1 所以 f ( ) ? f (e) ，即 f ( x) 在 [ , e ] 上的最小值为 ? 4 ? 3e ， e e e 1 1 要使对 x ? [ , e] 时， f ( x) ? c 恒成立，必须 c ? f ( x) min ? ? 4 ? 3e e e 1 18 如图，在半径为 30 cm 的 圆形（ O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料 OABC ，其中，点 4
B 在圆弧上，点 A 、 C 在两半径上，现将此矩形铝皮 OABC 卷成一个以 AB 为母线的圆
柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗） ，设矩形的边长 AB ? x cm ，圆柱的体积为
1 e
V cm3 .
（1） 写出体积 V 关于 x 的函数关系式，并指出定义域；
（2） 最大
当 x 为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积 V 最大，
体积是多少？ 解： （1）连结 OB，∵ AB ? x ，∴ OA ? 900? x 2 ， 设圆柱底面半径为 r ，则 900? x 2 ? 2?r ， 即 4? r ? 900 ? x ，
2 2 2
所以 V ? ?r x ? ? ?
2
900 ? x 2 900x ? x 3 ? x ? 4? 4? 2
其中 0 ? x ? 30 。
（2）由 V ? ? 因此 V ?
900 ? 3x 2 ? 0 ，得 x ? 10 3 4?
900x ? x 3 在（0， 10 3 ）上是增函数，在（ 10 3 ，30）上是减函数。 4?
所以当 x ? 10 3 时，V 有最大值
1500 3
?
。
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