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四川省成都市石室中学高中数学 1.1.2 余弦定理1教案 新人教A版必修5


§1.1 正弦定理和余弦定理(3)
教学目标: 1、知识与技能:进一步熟悉正、余弦定理内容,能够熟练应用正、余弦定理进行边角关系 的相互转化,进而判断三角形的形状或求值.? 2、过程与方法:让学生从正、余弦定理的变形出发,得到边角互化的关系式,引导学生利 用这个关系实现三角关系中的边或角的统一,再利用已学的三角变换或代数变换解决问题. 3、情感与价值:通过正、余弦定理,

在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函 数的关系, 反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能, 从而从本质上反映了 事物之间的内在联系. 教学重点:利用正、余弦定理进行边角互化 教学难点:边角互化时边化角及角化边的合理运用 课时安排:1 课时 教学方法:启发引导式? 引导学生总结在解决三角问题时,如何合理运用正、余弦定理进行边角互化 教学过程: 一、复习引入: 1、正弦定理:

a ? sin A

?

? 2 R (其中 R 为 ?ABC 外接圆半径)

正弦定理应用范围: (1)已知两角和任一边,求其他两边及一角; (2)已知两边和其中一边对角,求另一边的对角.

?a ? 2 R sin A ? 变形: (1) ?b ? 2 R sin B ; ?c ? 2 R sin C ?

a ? ?sin A ? 2 R ? b (2). ? ?sin B ? 2R ? c ? ?sin C ? 2 R ?

思考:变形(1)和(2)有什么作用?
2 2、余 弦 定 理 : a ?

; ;

cos A ?

b2 ? c2 ?
cos C ?
.



变形: cos B ?

; .

1

余弦定理应用范围:(1)已知三角形的三条边长,可求出三个内角;

(2)已知三角形的两边及夹角,可求出第三边.

【设计意图:通过复习旧知,导入变形,引导学生认知通过变形式实现边角的互化】

二、典例剖析 例 1、在 ?ABC 中, b cos A ? a cos B ,试判断 ?ABC 的形状.

【设计意图:本题属于容易题,主要通过本题让学生认知判断三角形的形状就是判断角之 间的关系或边之间的关系,利用正、余弦的变形恰好达到角或边的一个统一】

【练习巩固】 1、在 ?ABC 中, a cos A ? b cos B ,试判断 ?ABC 的形状.

【设计意图:本题是例 1 的直接变形,入手容易,但后面有学生易错或易忽视的地方,如

sin 2 A ? sin 2 B 仅得到 2 A ? 2 B 一个结论,(a 2 ? b2 )(a 2 ? b2 ) ? (a 2 ? b2 )c 2 直接两边约掉

a 2 ? b 2 ,同时本题体现出“边化角”比“角化边”要容易一些,因此在选择边角统一时要
善于发现和总结用正弦还是余弦】 2、在 ?ABC 中, a , b, c 分别是 ?A, ?B, ?C 的对边长,若 b ? a cos C, c ? a sin B ,试判断

?ABC 的形状.

【设计意图:本题中 c ? a sin B 式子不能直接将 sin B 处理成边了,让学生领悟利用正弦定 理实现边角统一的关键】 例 2、在 ?ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别是 a,b,c ,已知 8b =5c , C =2 B ,则 cos C ? ( A、 )

7 25

B、 ?

7 25

C、 ?

7 25

D、

24 25

【设计意图:本题是 2012 年的天津高考题,首先引导学生从目标入手,求角就应该处理出
2

角之间的关系,这个较为容易,且得出的 cos B 值,但多数学生会随即得出 sin B 的值,然 后求出 sin C ,进而得到错误答案 C 】 例 3 、 在 锐 角 ?A B C 中 , A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且

b a ? ? 6 c o sC , 则 a b

t a nC t a nC ? ? t a nA t a nB

.

【设计意图:本题较难,主要因为学生习惯性的直接从条件出发,目的在于再次向学生强 调思考问题,统一边角关系需从目标着手】

三、本课小结: 1、学会利用正弦、余弦定理解决两类题型: (1) 判断三角形的形状; (2) 三角形中的求值题. 2、两种题型思路的共同点:统一边角关系. (1)边化角,利用三角变换求解; (2)角化边,利用代数变换求解. (强化目标意识)

四、课后作业 1、在△ABC 中,若 b sin C+c sin B=2bccosBcosC,则此三角形为( A、直角三角形?
2 2 2 2

)?

B、等腰三角形 ? C、等边三角形? D、等腰直角三角形 .?

2、在△ABC 中,已知 sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4,则 cos A ? 3、在△ABC 中, A ? 80 , b, a, b ? c 成等比数列,求 B .
o

4、?ABC 的内角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,已知 cos( A ? C ) ? cos B ? 1, a ? 2c , 求C .

3

5、在 ?ABC 中, a , b, c 分别是 ?A, ?B, ?C 的对边长。求证:

a 2 ? b 2 sin ? A ? B ? ? . c2 sin C

4


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