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课题:222椭圆的简单几何性质


课 题:2.2.2 椭圆的简单几何性质
编制:苏同安
【学习目标】
1.初步学习利用方程研究曲线性质的方法; 2.理解椭圆的范围、对称性及对称轴、对称中心、顶点、离心率的概念; 3.通过椭圆的方程研究椭圆的简单几何性质,经历知识产生与形成的过程,培养观察、分 析、逻辑推理及归纳概括的能力; 4.能利用椭圆的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题及实

际问题。 【学习重点】椭圆的简单几何性质。 【学习难点】利用曲线方程研究椭圆几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。

班级

姓名

我们已经学习了椭圆的标准方程,本节课我们首先利用椭圆的标准方程及椭圆的形状来探 究一下椭圆的几何性质: 【椭圆的简单几何性质】

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0) a2 b2 y2 ①范围:由椭圆的标准方程可得: 2 ? b
利用椭圆的标准方程

B2 A1 F1 F2 A2

从而得 x 的范围: ; B1 同理可得 y 的范围为: 。 即椭圆位于直线 和 所围成的矩形框图里。 ? y y ②对称性:由以 ?x 代 x ,以 代 和 ?x 代 x ,且以 ? y 代 y 这三个方面来研究椭圆的标准 方程发生变化没有?? 从而得到椭圆以 轴和 轴为对称轴,以 为对称中心。 ③顶点:圆锥曲线的顶点的统一定义:圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的 顶点. 因此,椭圆有 个顶点,坐标分别为 ; 线段 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为 。 ④离心率:对于椭圆

【学习过程】

一、双基回眸
1.椭圆的定义 把平面内与两个定点 F 1 , F2 的距离之和等于 (ellipse).其中这 (大于 )的点的轨迹叫做椭圆

叫做椭圆的焦点,两定点间的

即当动点设为 M 时,椭圆即为点集 P ? M | MF1 ? MF2 ? 2a . 2.椭圆的标准方程 ①焦点在 x 轴上,中心在原点的椭圆的标准方程 ②焦点在 y 轴上,中心在原点的椭圆的标准方程 ; .

?

叫做椭圆的焦距.

?

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0) a2 b2
;所以可利 。

保持长半轴 a 不变,改变椭圆的半焦距 c ,可发现:C 越接近 a , 椭圆越 用

二、创设情景
2003 年 10 月 15 日,神舟五号载人飞船发射成功,中国人几千年的飞天梦想终成 现实.中国成为世界上继俄罗斯和美国之后第三个将人类送入太空的国家. 飞船在太空的轨道是以地球的中心

和 这两个量,来刻画椭圆的扁平程度?? 椭圆的 与 长的比叫做椭圆的 ;离心率的范围为

四、小试牛刀
1.椭圆 16 x2 ? 25 y 2 ? 400 的长轴和短轴的长分别为 焦点坐标分别为 ;顶点的坐标分别为 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程: ;离心率为 ; 。

F2 为一个焦点的椭圆 , 近地点 A

距地面

200km,远地点 B 距地面 350km,而我们地球的半径 R=6371km.根据这些条件,我们能 否求出其轨迹方程呢? 要想解决这个问题,必须要知道椭圆的简单几何性质,让我们一起来学习“椭圆 的简单几何性质”吧。

三、合作探究
同学们想一想,我们是怎样来探究函数、直线或圆的性质的?? (我们是利用函数的解析式、直线和圆的方程以及它们的图形,采用数形结合的思想来探 究它们的性质的。)

1 ; 3 3 (2)焦点在 y 轴上, c ? 3, e ? ; 5 3 (3)长轴长等于 20,离心率等于 5
(1)焦点在 x 轴上, a ? 6, e ?

3.讨论下列椭圆的范围,并画出图形: (1) 4x 2 ? y 2 ? 16; (2) 5x 2 ? 9 y 2 ? 100.

【分析】本题是一个关于椭圆性质应用的实际问题,首先应建立适当的直角坐标系,设 x2 y 2 椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1 ,然后利用椭圆各量的几何意义求出 a, b, c 的值即可。 a b 【解析】

五、互动达标
关于椭圆几何性质的基本问题 问题.1 已知椭圆 mx2 ? 5 y2 ? 5m ? m ? 0? 的离心率为 e ?
10 ,求 m 的值. 5

【点评】解决这种实际问题,一般要先建立适当的直角坐标系,然后根据题意设出方程
求方程或利用椭圆方程解决与实际相关的性质问题……关于 a, b, c 的近似值,原则上在没有注 意精确度时,看题中其他量给定的有效数字来决定.

【分析】依题意, m ? 0, m ? 5 ,但椭圆的焦点位置没有确定,应分类讨论方可知长半轴 a 的
值,才能进一步求出 c ……

第一课时可到此结束,根据情况进行思悟小结及相应的巩固训练 第二课时:
关于直线与椭圆的关系问题
x2 y2 ? ? 1, 直线l : 4 x ? 5 y ? 40 ? 0. 椭圆上是否存在一点,它到直线 l 25 9

【解析】

【点评】此种问题属于椭圆几何性质的基本问题,而离心率往往是其中的主角……解决此种问
题,首先应把椭圆的方程化为标准方程,找到 a, b, c .然后,据题意进一步求解……

问题.3 已知椭圆

的距离最小? 最小距离是多少? 【分析】作出直线 l 及椭圆。观察图形, 可以发现,利用平行于直线 l 且与椭圆只有 一个交点的直线,可以求得相应的最小距离。

关于椭圆的实际问题 问题.2 如图,一种电影放映灯泡的反射镜面是 旋转椭圆面的一部分.过对称轴的截口 BAC 是 椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点 F 1 上, 片门位于另一个焦点 F2 上,由椭圆一个焦点 F 1
发出的光线, 经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 F2 . 已知 BC ? F 1 F2 ,F 1 B ? 2.8cm ,

【解析】

F2

F1

F1 F2 ? 4.5cm .建立适当的坐标系,求截口 BAC 所在椭圆的方程.

【点评】关于直线和椭圆的关系的问题是圆锥曲线中的一类非常重要的问题,这类问题充分
体现了函数与方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想……此题所展现的只 是冰山一角。

六、巩固提高
1.椭圆 9 x 2 ? y 2 ? 81的长轴和短轴的长分别为 焦点坐标分别为 2.直线 3x ? y ? 2 ? 0 与椭圆 ;顶点的坐标分别为
2 2

;离心率为

; 。

关于椭圆的第二定义问题(了解) 问题.4 设 M ? x, y ? 与定点 F ? 4,0? 的距离和它到
25 4 的距离的比是常数 ,求点 M 的轨迹. 4 5 【分析】关于动点 M 的关系明确而直接,是一个基本的轨迹问题,用直接法按照求轨迹的
直线 l : x ? 几个步骤逐层进行即可

x y ? ? 1 的交点坐标为 。 16 4 3.(2009 陕西文)“ m ? n ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny 2 ? 1 ”表示焦点在 y 轴上的椭圆”的
(A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

【解析】

x2 y 2 4.(2009 浙江文)已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,右顶点为 A ,点 B 在椭 a b
圆上,且 BF ? x 轴, 直线 AB 交 y 轴于点 P .若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是( A. )
21 世纪教育网

3 2

B.

2 2

C.

1 3

D.

1 2

5.( 2009 广 东 卷 理 )巳知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为 .

3 ,且 G 2

【点评】满足此条件的轨迹为椭圆,我们把此问题一般后会得到: c a2 动点 M 到定点 F (c,0) 的距离与它到定直线 x ? 的距离的比等于常数 ( a ? c ) 的点的 a c
轨迹是椭圆. ——这就是椭圆的“第二定义”(课本不做要求,所以没有指出这一点,在这里提出来, 也只是了解一下,开阔一下视野??),其中的定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线, 常数 e 是椭圆的离心率.

6.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)长轴长是短轴长的 3 倍,且经过点 P ( 3 , 0 ) ; (2)焦距是 8,离心率等于 0. 8 .

五、思悟小结
知识线: 思想方法线: 题目线:

7. 2003 年 10 月 15 日,神舟五号载人飞船发射成功,中国人几千年的飞天梦想终成现实.中国 成为世界上继俄罗斯和美国之后第三个将人类送入太空的国家.飞船在太空的轨道是以地球的中 心 F2 为一个焦点的椭圆,近地点 A 距地面 200km,远地点 B 距地面 350km,而我们地球的半径 R=6371km.根据这些条件,求出其轨迹方程。

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 3 2 过右焦点 F 斜率为 1 的直线 l 到坐标原点 O 的距离为 , l 与 C 相交于 A、B 两点。 2
9.( 根据 2009 全国卷Ⅱ文改编)已知椭圆 C: (1)求椭圆的方程; (2)求 AB 的长。



8.点 M 与定点 F (2, 0 )的距离和它到定直线 x = 8 的距离的比是 1 :2 ,求点 M 的 轨迹方程

10.已知椭圆

3 x2 y2 ? ? 1, 一组平行直线的斜率是 。 2 4 9

(1)这组直线何时与椭圆相交? (2)当它们与椭圆相交时,证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上。


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