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2.1曲线与方程1课时


课 时 教 学 设 计 首 页
授课教师: 课题 2.3.1 双曲线及其标准方程 课型 授课时间: 新授课 年 12 月 日 第几 课时 1

课 时 教 学 目 标 (三维)

1.使学生掌握双曲线的定义,熟记双曲线的标准方程,并能初步应用初步会按 特定条件求双曲线的标准方程; 2.通过对双曲线标准方程的推导,提高学生求动点轨迹

方程的能力;培养学生 发散思维的能力
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奎屯 新疆

3.通过对双曲线与椭圆的定义、标准方程的比较,使学生认识到比较法是认识 事物、掌握其实质的一种有效方法

教学 重点 与 难点

教学重点: 双曲线的定义、标准方程及其简单应用

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教学难点:双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组

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教学 方法 与 手段

自主探究 、启发式教学法

使用 教材 的 构想

曲线属于“形”的范畴,方程则属于“数”的范畴,它们通过直角坐标系而 联系在一起, “曲线和方程”这节教材,揭示了几何中的“形”与代数中的“数” 的统一。由于曲线和方程的概念是解析几何中最基本的内容,因而学生用解析法 研究几何图形的性质时,只有透彻理解曲线和方程的意义,才能算是寻得了解析 几何学习的入门之径.求曲线的方程的问题,也贯穿了这一章的始终,所以应该 认识到,本节内容是解析几何的重点内容之一
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课 时 教 学 流 程
补 充

教师行为
一、新课引入 前面我们学习了直线和二元一次方 程的关系,请同学回忆:直线和方程满 足什么条件, 才能把这个方程叫做直线 的方程,这条直线叫做这个方程的直 线。 下面我们进一步研究曲线的方程和 方程的曲线的定义 二、新知探究 问题 1 下列方程表示如右图所示的直线 C,对吗?为什么? (1) x ?

学生行为

课堂变化及处 理 主要环节的效 果

学生回答 1. 以方程的解为坐标的点都在直 线上 2.直线上的点的坐标都是方程的 解

体现由特殊到 一般的数学认 知规律

y 1

y ? 0;

-1 0

1

x

y 1
第(1)题中曲线 C 上的点不全 都是方程 x ?

-1 0

1

x

y ? 0 的解,如点

(1) x- y=0

(-1,-1)等,即不符合“直线上的点 的坐标都是方程的解”这一结论; 第(2)题中,尽管“曲线 C 上的 坐标都是方程的解”,但以方程

(2) x ? y ? 0 ;
2 2

x 2 ? y 2 ? 0 的解为坐标的点不全

y 1

在曲线 C 上,如点(2,-2)等,即不 符合“以方程的解为坐标的点都在 曲线上”这一结论;

-1 0

1

x

(2)x2-y2=0

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课 时 教 学 流 程
补 充

教师行为
(3)|x|-y=0.

学生行为
第(3)题中,类似(1)(2)得出不符合 “曲线上的点的坐标都是方程的解” , “以方程的解为坐标的点都在曲线 上”

课堂变化及处理 主要环节的效果

y 1

-1 0

1

x
方程(1)、 (2)、 (3)都不是直线 C 的方 程. (4)符合定义

(3)|x|-y=0
(4) x ? y ? 0 问题 2 画 出 方 程 y ? x2 所 表 示 的曲线 并进行验证 曲线上的点的坐标都是方程的 解吗? 以方程的解为坐标的点都在曲 线上吗?
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2.5

2

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1.5

y=x2 1

1

0.5

-2

-1

1

-1

0
-0.5 -1

1

2

3

x+y=0

问题 3 通过以上问题你认为 “曲线的方程”和“方程的曲 线”该如何定义? 点评:判定曲线和方程的对应关 系,必须注意两点: (1)曲线上的 点的坐标都是这个方程的解, 即直 观地说 “点不比解多” 称为纯粹性; (2)以这个方程的解为坐标的点 都在曲线上, 即直观地说 “解不比 点多” ,称为完备性,只有点和解 一一对应,才能说曲线的方程,方 程和曲线
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学生归纳、得出定义 在直角坐标系中,如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f ( x, y) ? 0 的实数解建立了如下关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个 方程的解;(纯粹性) (2)以这个方程的解为坐标的点 都是曲线上的点.(完备性) 那么,这个方程叫做曲线的方 程;这条曲线叫做方程的曲线
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三、例题精讲 例 1 解答下列问题,且说 出各依据了曲线的方程和方程的 曲线定义中的哪一个关系? (1)点 M1 (3,?4), M 2 (?2 5,2) 是 否在方程 x 2 ? y 2 ? 25 表示的圆 上? (2)已知方程 x 2 ? y 2 ? 25 的圆过点 M 3 ( 7 , m) ,求 m 的值. 例 2 证明与两条坐标轴的距离的积 是常数 k (k ? 0) 的点的轨迹方程 是 xy ? ? k

学生行为
学生练习 依据关系(1), 可知点 M 1 在圆 上, M 2 不在圆上. 依据关系(2),求得

课堂变化及处理 主要环节的效果

m ? ?3 2

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培养学生的严谨 性 学生解答

强调证明要紧扣定义, 分两步 进行. 四、课堂练习: 1.如果曲线 C 上的点满足方 程 F(x,y)=0,则以下说法正确的 是( ) A.曲线 C 的方程是 F(x,y)=0 B.方程 F(x,y)=0 的曲线是 C C.坐标满足方程 F(x,y)=0 的 点在曲线 C 上 D.坐标不满足方程 F(x,y)=0 的点不在曲线 C 上

解:由已知条件,只能说具备纯粹 性,但不一定具备完备性.故选 D
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2.方程 x 2 ? xy ? x 表示的曲线是 ( ) A.一个点 B.一条直线 C.两条直线 D.一个点和一条直线 3.以(5,0)和(0,5)为端点的线 段的方程是( ) A. x ? y ? 5 B. x ? y ? 5( x ? 0) C. x ? y ? 5( y ? 0) D.

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课堂变化及处理 主要环节的效果

x ? y ? 5(0 ? x ? 5)

4.下面各图中图象与方程对应正 确的是( )

5. 曲 线 y ? ? 1 ? x 2 与 曲 线

y ? ax ? 0(a ? R) 的交点个数一
定是( A.2 个 C.0 个 ) B.4 个 D.与 a 的值有关

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课堂变化及处理 主要环节的效果

解: (1)满足曲线方程的定义.∴结 6.判断下列结论的正误,并说明 论正确 理由. (2) 因到 x 轴距离为 2 的点的 (1)过点 A(3,0)且垂直于 直线方程还有一个;y=2,即不具备 x 轴的直线的方程为 x=0; 完备性. (2)到 x 轴距离为 2 的点的直 ∴结论错误. 线方程为 y=-2; (3) 到两坐标轴的距离的乘积 (3)到两坐标轴的距离乘积等 等 于 1 的 点 的 轨 迹 方 程 应 为 | 于 1 的点的轨迹方程为 xy=1; x|·|y|=1,即 xy=±1. (4)△ABC 的顶点 A(0,-3) , ∴所给问题不具备完备性 B(1,0) C(-1,0) D 为 BC 中 , , ∴结论错误 点,则中线 AD 的方程为 x=0 (4)中线 AD 是一条线段,而 不是直线, 7 如果两条曲线的方程 ∴x=0(-3≤y≤0), F1(x,y)=0 和 F2(x,y)=0,它们的交 ∴所给问题不具备纯粹性. 点 M(x0,y0),求证:方程 F1(x,y)+ ∴结论错误. λ F2(x,y)=0 表示的曲线也经过 M 证 明 : ∵ M(x0,y0) 是 曲 线 点.(λ 为任意常数) F1(x,y)=0 和 F2(x,y)=0 的交点, 评 述 : 方 程 F1(x,y)+ λ ∴F1(x0,y0)=0,F2(x0,y0)=0. F2(x,y)=0 也称为过曲线 F1(x,y)=0 ∴ F1(x0,y0)+ λ F2(x0,y0)=0( λ 和 F2(x,y)=0 的交点的曲线系方程 ∈R) ∴ M(x0,y0)在方程 F1(x,y)+λ F2(x,y)=0 所表示的曲线上.
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培养学生的严谨 性

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五、 小结 : “曲线的方程”、 “方 程的曲线”的定义.在领会定义 时,要牢记关系(1)、(2)两者缺一 不可,它们都是“曲线的方程”和 “方程的曲线”的必要条件.两者 满足了,“曲线的方程”和“方程 的曲线”才具备充分性.只有符合 关系(1)、(2),才能将曲线的研究 转化为方程来研究,即几何问题的 研究转化为代数问题.这种“以数 论形”的思想是解析几何的基本思 想和基本方法
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