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山东大学卧龙东校区2013届高三竞赛数学(理)试题


卧龙东校区高三理科数学竞赛试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、 选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知实数集 R,集合 M ? {x | x ? 2 ? 2}, 集合 N ? {x | y ?
1 } ,则 x ?1

M ? ?C R N ?

=(

) C. {x |1 ? x ? 4} D. {x |1 ? x ? 4} )

A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1}

2. 直线 l1 :kx+(1-k)y-3=0 和 l2 :(k-1)x+(2k+3)y-2=0 互相垂直,则 k=( A. -3 或-1 3. 函数 y ? sin x sin( A.
π 2

B. 3 或1

C. -3 或1 )

D. -1 或 3

?
2

? x) 的最小正周期是(

B. ?

C. 2π

D. 4π

4. 如图,正三棱柱 ABC- A1 B1C1 的各棱长均为 2,其正(主)视图如图所示,则 此三棱柱侧(左)视图的面积为( A. 2 2 C. B. 4 D. 2 3 )

3

5.设 ?、? 为两个不同的平面, m 、 n 为两条不同的 直线,且 m ? ? , n ? ? ,有两个命题: p :若 m // n ,则 ? / / ? ; q :若 m ? ? , 则 ? ? ? ;那么( ) B.“ p 且 q ”是真命题 D.“非 p 且 q ”是真命题

A.“ p 或 q ”是假命题 C.“非 p 或 q ” 是假命题

6. 已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M (2, y0 ) 。 若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? ( A、 2 2 B、 2 3 C、 4 ) D、 2 5

7. 函数 y=lg

1 |的大致图象为( | x ? 1|

)

8. 设 p:|4x-3|≤1,q: x 2 -(2a+1)x+a(a+1)≤0,若非 p 是非 q 的必要而不充分条 件,则实数 a 的取值范围是(
? 1? A. ?0, ? ? 2? ?1 ? C. (-∞,0]∪ ? , ?? ? ?2 ?

)
? 1? B. ? 0, ? ? 2? ?1 ? D.(-∞,0)∪ ? , ?? ? ?2 ?
S12 S10 =2,则 S 2 012 ? 12 10

9. 在等差数列 ?an ? 中, a1 =-2 012 ,其前 n 项和为 S n ,若

的值等于( ) A. -2 011 B. -2 012 C. -2 010 D. -2 013 10. 偶函数 f(x)满足 f(x-1)=f(x+1), 且在 x∈[0, 1]时,f(x)=x , 则关于 x 的方程 f(x)=
? 1? ? ? ,在 x∈[0,4]上解的个数是( ? 10 ?
x

) C. 3 D. 4 )

A. 1

B. 2

11. 已知实数 x,y 满足|2x+y+1|≤|x+2y+2|,且 ? 1 ? y ? 1,则 z=2x+y 的最大值(

A. 6 B. 5 C. 4 D. -3 12. 在△ABC 中,E、F 分别为 AB,AC 中点.P 为 EF 上任一点,实数 x,y 满足 ??? ? ??? ? PA +x PB +

??? ? y PC =0.设△ABC,△PBC,△PCA,△PAB 的面积分别为 S, S1 , S 2 , S3 ,

S S1 S ) ? ?1 , 2 ? ?2 , 3 ? ?3 ,则 ?2 ? ?3 取最大值时,2x+y 的值为( S S S 3 3 A. -1 B. 1 C. - D. 2 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、 填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在题中横线 上. 13. 已知直线 2ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 经过圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的圆心, 则 ? 的 最小值为 .
1 a 1 b

14. 不等式 | x ? 3 |? |x ? 1 ? a2 ? 3 对任意实 数 x 恒成立,则实 数 a 的取值范围 | a 为 .
x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心学率为 .双曲线 x2 ? y 2 ? 1的渐近 2 a b 2

15. 已知椭圆 C :

线与椭圆 C 有四个交点, 以这四个焦点为顶点的四边形的面积为 16, 则椭圆 C 的 方程为 16.对于各数互不相等的整数数组 (i1 , i2 , i3 , … , in ) ( n 是不小于 3 的正整数) ,若对 任意的 p, q ? {1, 2,3 … , n} , p ? q 时有 i p ? iq , 当 则称 i p , iq 是该数组的一个“逆序”. 一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,如数组(2,3,1) 的逆序数等于 2.若数组 (i1 , i2 , i3 , …, in ) 的逆序数为 n ,则数组 (in , in ?1 , …, i1 ) 的逆序数为 . 三、 解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中, A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos 角

? A 2 5 ??? ???? , AB ? AC =3. ? 2 5

(Ⅰ) 求△ABC 的面积; (Ⅱ) 若 c=1,求 a、sinB 的值.

18. (本题满分 12 分) 如图, 四棱锥 S ? ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,O 是 AC 与 BD 的 交点, SO ? 平面 ABCD , E 是侧棱 SC 的中点,异面直线 SA 和 BC 所成角的大

小是 60 ? . (Ⅰ)求证:直线 SA //平面 BDE ; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 SBC 所成角的正弦值.

19. (本小题满分 12 分)
1 AP=2,D 是 AP 2 的中点,E,F,G 分别为 PC、PD、CB 的中点,将△PCD 沿 CD 折起,使 得 PD⊥平面 ABCD.

如图,在直角梯形 ABCP 中,AP//BC,AP⊥AB,AB=BC=

(Ⅰ1) 求证:平面 PCD⊥平面 PAD; (Ⅱ) 求二面角 G-EF-D 的大小; 20. (本题满分 12 分)
n 已知数列 {an } 中, a1 ? 5 且 an ? 2an ?1 ? 2 ? 1 ( n ? 2 且 n ? N * ).

? an ? 1 ? (Ⅰ)证明:数列 ? n ? 为等差数列; ? 2 ?

(Ⅱ)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn .

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆的焦点坐标为 F1 (-1,0) F2 (1,0) , ,过 F2 垂直于长轴的直线交椭 圆于 P、Q 两点,且|PQ|=3, (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,则△ F1 MN 的内切圆的 面积是否存在最大值?若存在求出这个最大值及此时的直线方程;若 不存在,请说明理由.

22.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln( ? ax) ? x2 ? ax ( a 为常数, a ? 0 ). (Ⅰ)若 x ? 是函数 f ( x ) 的一个极值点,求 a 的值; (Ⅱ)求证:当 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 [ , ??) 上是增函数; (Ⅲ)若对任意的 a?(1,2) ,总存在 x0 ? [ ,1] ,使不等式 f ( x0 ) ? m(1 ? a 2 ) 成 .. .. 2 立,求实数 m 的取范围.
1 1 2 1 2 1 2

1 2

卧龙东校区高三理科数学竞赛试题参考答案
一、 选择题 1. B 2 C 12 D 3B 4D 5D 6B 7D 8A 9B
x2 y 2 ? ?1 20 5

10 D 11 B

二、填空题:13. 4 14. (??, ?1? ? ?4, ?? ?

15.
2

16.

n 2 ? 3n 2

?2 5? 3 三、 解答题 17. 解: (1) cosA=2×? ? -1= , ? 5 ? 5 ? ? ??? ???? ??? ???? ? ? 3 而 AB ? AC ?| AB | ? | AC | cosA= bc=3 , ∴bc=5 又 A∈ ( 0 , π ), 5 4 1 1 4 ∴sinA= ∴S= bcsinA= × 5× =2. ………………………………………6 分 5 2 2 5
( 2 ) ∵bc=5, 而 c=1 , ∴b=5.∴ a 2 ? b 2 ? c 2 - 2bccosA=20 ,

a= 2 5 …………10 分

4 b sin A a b 5 ? 2 5 .……………12 分 ? 又 ,∴sinB= ? a 5 sin A sin B 2 5 5?
18.解: (Ⅰ)连结 OE , ? 四边形 ABCD 是正方形,? O 是 AC 的中点,……………………………………2 分 又 ? E 是侧棱 SC 的中点,? OE // SA . ………………4 分 又 OE ? 平面 BDE , SA ? 平面 BDE ? 直线 SA //平面 BDE .…………………………5 分

(Ⅱ) 建立如图空间坐标系, D(0, ?2 2,0), B(0,2 2,0), S (0,0,2 2), C(?2 2,0,0). 则
??? ? ??? ? ??? ?BD ? (0, ?4 2,0), BC ? (?2 2, ?2 2,0), SB ? (0,2 2, ?2 2). ………7 分

设平面 SBC 的法向量 n ? ( x, y,1) ,则有
???? ? ?n?SB ? 0 ?2 2 y ? 2 2 ? 0 ? 即? ? ? ????? ? ?n?BC ? 0 ??2 2 x ? 2 2 y ? 0 ? ?

?

解得 ?

?y ?1 ? x ? ?1

? ?n ? (?1,1,1). ………………………………………………9 分

直线 BD 与平面 SBC 所成角记为 ? ,
? ???? ? n?BD 4 2 3 sin ? ? ? ??? ? ? . ……………………………12 分 ? 3 3?4 2 n BD

19.解 (1) 证明:方法一: ∵PD⊥平面 ABCD∴PD⊥CD ∵CD⊥AD∴CD⊥平面 PAD ∵CD ? 平面 PCD∴平面 PCD⊥平面 PAD……………………………4 分 方法二:略(向量法) ??? ???? ??? ? ? (2) 如图以 D 为原点,以 DA, DC , DP 为方向向量建立空间直角坐标系 D-xyz. 则有关点及向量的坐标为: ………………………………5 分 G(1,2,0),E(0,1,1) ,F(0,0,1) ???? ??? ? (0, -1, ,EG = 0) (1, -1) 1, ……6 EF =



? 设平面 EFG 的法向量为 n =(x,y,z) ? ??? ? ?n ? EF ? 0 ?? y ? 0 ?x ? z ? ∴ ? ? ??? ?? ?? . ? ?n ? EG ? 0 ? x ? y ? z ? 0 ? y ? 0 ? ? n 取 =(1,0,1) 平 面 PCD

第 19 题图 的 一 个 法 向 量

,

??? ? DA =(1,0,0)…………………………………8 分

??? ? ? ??? ? ? DA ? n 2 2 ? ∴cos DA, n ? ??? ? ? ………………………………10 分 ? 2 | DA | ? | n | 2 2

结合图知二面角 G-EF-D 的大小为 45°……………………………12 分 20.解: (Ⅰ) bn ? 设
an ? 1 5 ?1 , b1 ? ? 2 ……………………………………………1 n 2 2


bn?1 ? bn ? an?1 ? 1 an ? 1 1 ? n ? n?1 ?(an?1 ? 2an ) ? 1? = 1?1 ?(2n?1 ? 1) ? 1? ? 1 …………4 n ?1 ? 2 2 2 2n ?

分 所以数列 ? ? 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,
an ? 1 a1 ? 1 ? ? (n ? 1) ? 1, ?an ? (n ? 1) ? 2n ? 1 …………7 分 2n 2
an ? 1 ? ? 为首项是 2 公差是 1 的等差数列.…………………………………5 n ? 2 ?

? Sn ? (2 ? 21 ? 1) ? (3 ? 22 ? 1) ? ? ? (n ? 2n?1 ? 1) ? [(n ? 1) ? 2n ? 1] ?Sn ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? n ? 2n?1 ? (n ? 1) ? 2n ? n

……………………………………8

分 设 Tn ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? n ? 2n?1 ? (n ? 1) ? 2n
2Tn ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n ? (n ? 1) ? 2n?1.

① ②

②-①,得
Tn ? ?2 ? 21 ? (22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n?1 …………………………………1

1分 所 以

Sn ? n ? 2n?1 ? n ? n ? (2n?1 ? 1) ………………………………………………………12 分

21. 解: (1) 设椭圆方程为

x2 y 2 ? =1(a>b>0),由焦点坐标可得 c=1 a 2 b2
解 得 a=2 , b=

2b 2 由 |PQ|=3 , 可 得 =3 , a x2 y 2 ? =1…………4 分 4 3

3 ,故椭圆方程为

(2) 设 M ( x1 , y1 ) ,N ( x2 , y2 ) ,不妨 y1 >0, y2 <0,设△ F1 MN 的内切圆的径 R,
1 (MN+ F1 M+ F1 N)R=4R 2 1 因此 S ?F1MN 最大,R 就最大, S ?AMN ? F1 F2 ( y1 ? y2 ) ? y1 ? y2 , 2

则△ F1 MN 的周长=4a=8, S? F1MN ?

? x ? my ? 1 ? 由题知,直线 l 的斜率不为零,可设直线 l 的方程为 x=my+1,由 ? x 2 y 2 得 ? ?1 ? 3 ?4

(3m 2 ? 4) y 2 +6my-9=0,

?3m ? 6 m 2 ? 1 得 y1 ? , 3m 2 ? 4 y2 ?
, 则 S ?AMN ?

?3m ? 6 m 2 ? 1 3m 2 ? 4

12 m 2 ? 1 1 AB( y1 ? y2 )= y1 ? y2 = , 令 t= m 2 ? 1 ,则 t≥1, 2 3m ? 4 2

则 S ?AMN

12 m 2 ? 1 12t 12 1 1 ? ? 2 ? , 令 f(t)=3t+ ,则 f′(t) =3- 2 , 2 1 3m ? 4 3t ? 1 3t ? t t t

当 t≥1 时,f′(t)≥0,f(t)在[1,+∞)上单调递增,
12 =3, 3 12 3 即当 t=1,m=0 时, S ?AMN ≤ =3, S ?AMN =4R,∴ Rmax = ,这时所求内切圆面积的 3 4 9 9 最大值为 π.故直线 l:x=1,△AMN 内切圆面积的最大值为 π………………12 16 16

有 f(t)≥f(1)=4, S ?AMN ≤


a2 ? 2 1 2ax( x ? ) a 2a ,( x ? ? 1 ) ………………………1 22.解: f ?( x) ? 2 ? 2x ? a ? 1 1 1 ? ax a ? ax 2 2



(Ⅰ)由已知,得 f ?( ) ? 0 即

1 2

a2 ? 2 1 ? ,?a 2 ? a ? 2 ? 0,? a ? 0,?a ? 2. 经检验, 2a 2

a ? 2 满足条件.………………4 分

(Ⅱ)当 0 ? a ? 2 时,?

a2 ? 2 1 a2 ? a ? 2 (a ? 2)(a ? 1) ? ? ? ? 0, 2a 2 2a 2a

?

a2 ? 2 1 ? , ……………………………………………………………5 分 2a 2
2ax 1 a2 ? 2 时, x ? ? 0, ? 0 .又 1 ? ax 2 2a

?当 x ?

?1 ? f ?( x ) ? 0, 故 f ( x ) 在 ? , ?? ) 上是增函数………………………6 分 ?2
) ( Ⅲ ) 当 a ? ( 1 , 2时 , 由 ( Ⅱ ) 知 , f ( x ) 在 [ ,1] 上 的 最 大 值 为

1 2

1 1 f (1) ? ln( ? a) ? 1 ? a, 2 2

于是问题等价于:对任意的 a ? (1, 2),不等式 ln( ? a) ? 1 ? a ? m(a2 ? 1) ? 0 恒成 立.…8 分 记 g (a) ? ln( ? a) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 1),(1 ? a ? 2) 则
g?(a) ? 1 a ? 1 ? 2ma ? [2ma ? (1 ? 2m)], ………………9 分 1? a 1? a a ? 0,? g( a) 在区间(1,2) 1? a 1 2 1 2

1 2

1 2

当 m ? 0 时,有 2ma ? (1 ? 2m) ? 2m(a ? 1) ? 1 ? 0 ,且

上递减,且 g (1) ? 0 ,则 m ? 0 不可能使 g (a) ? 0 恒成立,故必有 m ? 0. …………11 分 当 m ? 0 ,且 g ?(a) ?
2ma 1 [a ? ( ? 1)]. 1? a 2m



1 1 ? 1 ? 1 ,可知 g (a ) 在区间 D ? (1, min{2, ? 1})上递减,在此区间 D 上有 2m 2m 1 ? 1 ? 1 ,这时 g ?(a ) ? 0 ,即 g (a ) 在(1, 2m

g ( a ) ? g (1) ? 0,与 g (a) ? 0 恒成立矛盾,故

2)上递增,恒有 g (a ) ? g (1) ? 0 满足题设要求.
?m ? 0 ? ?? 1 ? 2m ? 1 ? 1 ?





m?

1 ,……………………………………………………………13 分 4


[







m













1 ?? .…………………………………………………14 分 , ) 4


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