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1.1空间几何体的结构特征


1.1 空间几何体的结构特征

知识探究(一):空间几何体的类型

思考1:在我们周围存在着各种各样的物 体,它们都占据着空间的一部分.如果我 们只考虑这些物体的形状和大小,而不 考虑其他因素,那么由这些抽象出来的 空间图形就叫做空间几何体.你能列举那 些空间几何体的实例? 思考2:观察下列图片,你知道这图片在 几何中分别叫什么名称吗?

思考3:如果将这些几何体进行适当分类, 你认为可以分成那几种类型?
思考4:图(2)(5)(7) (9)(13)(14)(15) (16)有何共同特点?这 些几何体可以统一叫什么 名称? 多面体 思考5:图(1)(3)(4) (6)(8)(10)(11) (12)有何共同特点?这 些几何体可以统一叫什么 旋转体 名称?

思考1:一般地,怎样定义多面体?围 成多面体的各个多边形,相邻两个多边 形的公共边,以及这些公共边的公共顶 点分别叫什么名称?
顶点





由若干个平面 多边形围成的 几何体叫做多 面体 .

思考2:一般地,怎样定义旋转体?



由一个平面图形绕它所在平面内的 一条定直线旋转所形成的封闭几何体 叫做旋转体

多面体
棱 柱

棱 锥

棱台

旋转体



圆柱

圆锥

圆台

1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征

1-1、棱柱的概念
何体叫做棱柱?

一、 观察下列几何体并思考:具备哪些性质的几

A1

D1

B1

C1
A1

C1 B1

A1

E1

D1

B1
E

C1

D A B

C A

C B

A B

C

D

1、定义:有两个面互相平行,其余各面都是四 边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

两个互相平行的平面叫做棱柱的底面,其余各叫
做棱柱的侧面。

相邻侧面的公共边

底面 侧面
侧棱 顶点

叫做棱柱的侧棱。
侧面与底的公共顶点 叫做棱柱的顶点。

棱柱的分类:
1).按底面边数分:
三棱柱、四棱柱、五棱柱、……

三棱柱

四棱柱

五棱柱

2)按侧棱与底面是否垂直分为: 直棱柱、斜棱柱。
侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱. 侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱. 其中,底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.

正棱柱 棱柱 直棱柱 其他直棱柱

斜棱柱

补充:几种四棱柱(六面体)的关系:
底面是 平行四边形 侧棱与底面 垂直

四棱柱

平行六面体

直平行六面体

底面是
矩形

底面为 正方形

侧棱与底面 边长相等

长方体

正四棱柱

正方体

棱柱的表示法(下图)

用平行的两底面多边形的字母表示棱 柱,如:棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1 。

二、棱锥的结构特征
观察下列几何体,有什么相同点?

1、棱锥的概念
有一个面是多边形,其余各面是有 一个公共顶点的三角形, 由这些面所围 成的几何体叫做棱锥。
这个多边形的面叫做棱锥的底面。 有公共顶点的各个三角形叫 做棱锥的侧面。 各侧面的公共顶点叫做 棱锥的顶点。

相邻侧面的公共边叫做棱锥 的侧棱。

1-2、棱锥的概念
(1) 一个面是多边形

S

棱锥的顶点 棱锥的侧棱

(2) 其余各面都是有一 个公共顶点的三角形

棱锥的高

D

棱锥的侧面

E
A

O B

C
棱锥的底面

A

S
D

A

B C

B

D C

2、棱锥的分类: 按底面多边形的边数,可以分为三 棱锥、四棱锥、五棱锥、……
3、棱锥的表示方法:用表示顶点和底面 的字母表示,如棱锥S-ABCD。

正棱锥
如果一个棱锥的底面是正多边 形,并且顶点在底面的射影是底 面的中心,这样的棱锥是正棱锥. 正棱锥的基本性质 E

S

D
O C

各侧棱相等,各侧面 是全等 的等腰三角形,各等腰 三角形底 边上的高相等(它叫做正棱锥的 斜高)。

A

B

1-3、棱台的概念
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与 截面之间的部分叫作棱台。 上底面 侧棱 侧面 高 顶点 下底面

正棱台

用正棱锥截得的棱台叫作正棱台。
正棱台的侧面是全等的等腰梯形,

它的高叫作正棱台的斜高。

斜高

正四棱台

正棱锥

2、由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得 的棱台,分别叫做三棱台,四棱台, 五棱台… 3、棱台的表示法: 棱台用表示上、下底面各顶点的字 母来表示,如右图,棱台ABCD-A1B1C1D1 。
A1 D1 B1

C1

辨析
判断:下列几何体是不是棱台,为什么?

(1)

(2)

课堂练习:

1. 下面的几何体中,哪些是棱柱?

例2 一个三棱柱可以分割成几个三棱 锥?
C1

B1 C1

B1 A1

A1

C

B C

B

A

A

思考:既然棱柱、棱锥、棱台都 是多面体,那么它们之间有怎样 的关系?当底面发生变化时,它 们能否相互转化?
棱台的上底面扩大 上下底面全等 棱台的上底面缩小 为一个点

旋转一周。。。

矩形

直角三角形

直角梯形

半圆

圆柱

圆锥

圆台



O1

四、圆柱的结构特征
定义:以矩形的一边所在直线为旋转轴, 其余三边旋转形成的曲面所围成的旋转体 叫做圆柱。 (1)旋转轴叫做圆柱的轴。 (2) 垂直于轴的边旋转而 成的圆面叫做圆柱的底面。
B’ 轴 侧 面

矩 形
O

A ’ A ’

O’

母 线

(3)平行于轴的边旋转而 成的曲面 叫做圆柱的侧面。 (4)无论旋转到什么位置,不垂 直于轴的边都叫做圆柱的母线。

A

O B

底面

2、表示:用表示它的轴的字母表示,如 圆柱OO1。 O 3、圆柱 与棱柱统 称为柱体。 O1
侧面 轴 底面 母线

五、圆锥的结构特征
S

1、定义:以直角三角形的直角边所在直 线为旋转轴,其余两边旋转而成的曲面所 围成的几何体叫做圆锥。 (1)旋转轴叫做圆锥的轴。 (2) 垂直于轴的边旋转而成 的曲面叫做圆锥的底面。
A

直角三角形
O

(3)不垂直于轴的边旋转而 成的曲面叫做圆锥的侧面。 (4)无论旋转到什么位置不 垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。

2、圆锥的表示
用表示它 的轴的字母表 示,如圆锥SO。 S


侧面 母线
O

3、圆锥与 棱锥统称为 锥体。

B

A 底面

六、圆台的结构特征
1、定义:用一个平行于圆锥底面的平面去 截圆锥,底面与截面之间的部分,这样的 几何体叫做圆台。

2、圆台的表示:用表示它的轴的字母表 示,如圆台OO′

3、圆台与棱台统称为台体。

O'

底面 轴 侧面 母线 底面

O

七、球的结构特征
以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转所 形成的曲面叫作球面,球面所围成的几何体叫作球体, 简称球。 球定义2:空间中,到定点的距离等于定长的所有点围 成的几何体。

直径
O

球心 半径

(1)半圆的半径叫做球的半径。
(2)半圆的圆心叫做球心。 (3)半圆的直径叫做球的直径。 (4)半圆弧旋转所成的曲面叫球面

A 半径 2、球的表示:

O
球心 B

用表示球心的字 母表示,如球O

想一想:用一个平面去截一个球,截面是什么?
用一个截面去截一 个球,截面是圆面。 O

球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。 球面被不过球心的截面截得的圆叫球的小圆。

归纳小结1
简单几何体

简单旋转体

简单多面体



圆 柱

圆 锥

圆 台

棱 柱

棱 锥

棱 台

旋转体的侧面展开图
如图,底面半径为1,高为2的 圆柱,在A点有一只蚂蚁,现 在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点 爬到B点,问蚂蚁爬行的最 短距离是多少?

[规范解答] 把圆柱的侧面沿 AB 剪开, 然后展开成为平面图形 ——矩形, 如图所示, 连接 AB′, 则 AB′即为蚂蚁爬行的最短距 离.4 分 ∵AB=A′B′=2,AA′为底面圆的周长, 且 AA′=2π×1=2π,6 分 ∴AB′= A′B′2+AA′2= 4+?2π?2= 2 1+π2,10 分 所以蚂蚁爬行的最短距离为 2 1+π2.12 分

[规律总结]

解此类题的关键要清楚几何体的

侧面展开图是什么样的平面图形,并进行合理 的空间想象,且记住以下常见几何体的侧面展 开图:

归纳小结2
多面体 旋转体 棱柱 圆柱 柱体 棱锥 棱台 圆台 台体

圆锥
锥体


球体

1.1.2简单组合体的结构特征

简单组合体

日常生活中我们常用到的日用品,比如:消毒液、 暖瓶、洗洁精等的主要几何结构特征是什么?
圆柱 圆台

圆柱

由柱、锥、台、球这些简单几何体组成 (拼接或截去)的几何体叫做简单组合体.

八、简单几何体的结构特征

(2)

简单组合体
走在街上会看到一些物体,它们的主要几何结构特 征是什么?



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