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安徽省安庆市枞阳县白云中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理


白云中学 2015—2016 学年第二学期期中测试 高二理科数学试卷
一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.函数 f ( x) ? ( x ? 1)(x ? 1), A. 3 B. 2 则 f ?(2) ? ( C. 4 ) D. 0 ) D. 3

2.已知函数 f ( x) ? x 2 ? x ? 2, 则 A.

?



1 0

f ( x)dx ? (

11 C. 2 6 1 ? 2i 3 3.已知 a 为实数,若 ? ,则 a ? ( ) a?i 2 1 1 A.1 B. ? 2 C. D. 3 2

13 6

B.

4.“所有金属都能导 电,铁是金属,所以铁能导电”这种推理方法属于( A.演绎推理 B.类比推理 C.合情推理 D.归纳推理



, ,且在点 Q(2, ? 1) 处的切线平行于直线 y ? x ? 3 ,则抛物 5.已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 通过点 P (11)

线方程为(


2 B. y ? 3x ? 11x ? 9 2 D. y ? ?3x ? 11x ? 9
x

2 A. y ? 3x ? 11x ? 9 2 C. y ? 3x ? 11x ? 9

6.命题 p:? x∈R,使得 3 >x;命题 q:若函数 y=f(x﹣1)为偶函数,则函数 y=f(x)关于直线 x=1 对称,则( A.p∨q 真 7.在复平面内,复数 z ? A.第一象限 ) B.p∧q 真 C.¬p 真 D.¬q 假

i ) ? (1 ? 3i)2 对应的点在( 1? i B.第二象限 C.第三象限


D.第四象限

8.如图,阴影部分的面积是(

A. 2 3

B. ?2 3

C.

32 3

D.

35 3

1

9.函数 f ( x) ? sin 2 x 的导数是( A. 2 sin x B. 2sin 2 x

) C. 2 cos x D. sin 2 x

10.下列说法正确的是() A.函数 y ? x 有极大值,但无极小值 B.函数 y ? x 有极小值,但无极大值 C.函数 y ? x 既有极大值又有极小值 D.函数 y ? x 无极值 11.下列函数在点 x ? 0 处没有切线的是( A. y ? 3x2 ? cos x C. y ?
· sin x B. y ? x



1 ? 2x x
2

D. y ?

1 cos x

12 .已知抛物线 C 的方程为 x = y,过点 A(0,﹣1)和点 B(t,3)的直线与抛物线 C 没 有公 共点, 则实数 t 的取值范围是( ) B.(﹣∞,﹣ D.(﹣∞,﹣ )∪( )∪( ,+∞) ,+∞)

A.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) C.(﹣∞,﹣2 )∪(2 ,+∞)

二、填空题(每小题 5 分 ,共 20 分) 13.函数 f ( x) ? x ? x 单调递减区间是
3 2

14.若复数 z ? (a2 ? 2a) ? (a2 ? a ? 2)i 为纯虚数,则实数 a 的值等于



2] 上的最大值是 20,则实数 m 的值等于 15.已知函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x2 ? 9 x ? m 在区间 [ ?2,

. 16.通过观察下面两等式的规律,请你写出一般性的命题:

3 2 3 sin 2 5 ? ? sin 2 65 ? ? sin 2 125 ? ? 2 sin 2 30 ? ? sin 2 90 ? ? sin 2 150 ? ?
___________ _____________________________________

2

高二理科数学试卷答题卡 一、选择题: (每小题 5 分 ,共 60 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题(每小题 5 分 ,共 20 分) 13.___________, 14.____________,15.____________,16.________________ ______________. 三、解答题(共 70 分) 17. (本小题满分 12 分)
, 2) 处的切线与直线 x ? y ? 2 ? 0 垂直,求函数 y ? x2 ? bx ? c 的最 已知抛物线 y ? x2 ? bx ? c 在点 (1

值.

18.(本小题满分 12 分)求函数 y ? x ? 2x ? 5 在区间[-2,2]上的最大值与 最小值
4 2

3

19. (本小题满分 10 分)求曲线 y ? x 2 过点 P(1,-1)的切线方程。

20. ( 本小题满分 12 分)已知△ABC 中,点 A,B 的坐标分别为 A(﹣ x 轴上方. (1)若点 C 坐标为(

,0),B(

,0)点 C 在

,1),求以 A,B 为焦点且经过点 C 的椭圆的方程:

(2)过点 P(m,0)作倾斜角为 的直线 l 交(1)中曲线于 M,N 两点,若点 Q(1,0)恰在以 线段 MN 为直径的圆上,求实数 m 的值.

4

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) =ax +cx+d(a≠0)在 R 上满足 f (? x) =- f ( x) ,
3

当 x=1 时 f ( x) 取得极值-2。(1)求 f ( x) 的单调区间和极大值;(2)证明:对任意 x1,x2∈(-1,1), 不等式│ f ( x1 ) ? f ( x2 ) │<4 恒成立. .

5

22. (本小题满分 12 分)在各项为正数的数列 ?an ? 中,数列的前 n 项和 S n 满足 S n ? (1)求 a1 , a2 , a3 (2)由(1)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明。

1 1 (a n ? ) 2 an

6

一、1-5:CADAA 二、填空题 13.[-2/3,0].

6-10:ABCDB

高二理科数学答案 11-12:CD 16: sin ? ? sin
2 2

14:0

15: ?2

? ??
2

? sin 2 ? ?

3 三、解答题 2

, 2) )处的切线的斜率为 17. (12 分)解:由于 y ? x2 ? bx ? c ,所以 y? ? 2 x ? b ,所以抛物线在点 (1
k ? 2 ? b ,因为切线与直线 x ? y ? 2 ? 0 垂直,所以 2 ? b ? 1 ,即 b ? ?1 ,又因为点 (1 , 2) 在抛物线上,

所以 1 ? b ? c ? 2 ,得 c ? 2 .因为 y ? x2 ? x ? 2 ,于是函数没有最值,当 x ?

1 7 时,有最小值 . 4 2

18.

(12 分) x ? ?2

y最大值 ? 13
2

x??

2 3 3

y最小值 ?

37 9

19.(10 分)设 Q(a ,a

)点是过 P 点的切线与 y ? x 2 的切点,切线斜率 2a,切线方程为:

y ? a 2 ? 2a (x ? a ) ? 过 P 点? -1 ? a 2 ? 2a (1 ? a )
切线方程为 y=(2 ? 2 2)x ? (3 ? 2 2) 20.(12 分)(1)设椭圆方程为 ∵C ,A = ,

a ? 1? 2

(a>b>0),则 c= , ∴椭圆方程为



∴2a=|AC|+|BC|=4,b=

(5 分)

(2)直线 l 的方程为 y=﹣(x﹣m),令 M(x1,y1),N(x2,y2), 将 y=﹣(x﹣m)代入椭圆方程 ,消去 y 可得 6x2﹣8mx+4m2﹣8=0



, 若 Q 恰在以 MN 为直径的圆上,则



即 m +1﹣(m+1)(x1+x2)+2x1x2=0, ∴3m2﹣4m﹣5=0 解得 .

2

3 2 21. (12 分). 解: (1)由 f (? x) =- f ( x) (x∈R)得.d=0∴ f ( x) = ax +cx , f ?( x ) =ax +c.

7

由题设 f(1)=-2 为 f ( x) 的极值,必有 f ?(1) =0∴ ?

?a ? c ? 0 解得 a=1,c=-3 ?3a ? c ? 0

2 ∴ f ?( x ) =3x -3= 3(x-1)(x+1) 从而 f ?(1) = f ?(?1) =0.

当 x∈(-∞,-1)时, f ?( x ) >0 则 f ( x) 在(-∞,-1)上是增函数; 在 x∈ (-1,1)时, f ?( x ) <0 则 f ( x) 在(-1,1)上是减函数 当 x∈(1,+∞)时, f ?( x ) >0 则 f ( x) 在(1,+∞)上是增函数 ∴ f (?1) =2 为极大值.
3 (2)由(1)知, f ( x) = x ? 3 x 在 [-1,1]上是减函数,且 f ( x) 在[-1,1]上的最大值 M= f (?1) =2,在

[-1,1]上的最小值 m= f(2)=-2. 对任意的 x1,x2∈(-1,1),恒有│ f ( x1 ) ? f ( x2 ) │<M-m=2-(-2)=4?

22、 (12 分) a 1 ? 1

a 2 ? 2 ?1

a 3 ? 3? 2

a n ? n ? n ?1

证明: (1) n ? 1 时 a 1 ? 1 成立 (2)假设 n ? k 成立即 a 当 n ? k +1 时
k

? k ? k ?1

ak ?1 ? sk ?1 ? sk ?

1 2

(ak ?1 ?

1 1 1 1 ) ? (ak ? ) ? (ak ?1 ? )? k ak ?1 2 ak 2 ak ?1

1

2 ? ak ?1 ? 2 kak ?1 ?1 ? 0

解之得: ak ?1 ? k ?1 ? k

8


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