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3.3导数在研究函数中的应用---习题课


3.3 导数在研究函数中的应用-习题课
班别:____ 组别:____ 姓名:____ 评价:____
【学习目标】 1.会判断函数的单调性,并求出单调区间 2.会求函数的极值 3.会求函数在给定区间上的最大值与最小值 【基础训练】——把最简单的题做好就叫不简单! 一、选择题 1. 函数 y=x+lnx 的单调递增区间为( ) A.(0,+∞) B.(-∞,-1),(1,+∞) C.(-1,0) D.(-1,1) 3 3 3 2.若 y=a(x -x)的单调递减区间为(- , ),则 a 的取值范围是( ) 3 3 A.a>0 B.-1<a<0 C.a>1 D.0<a<1 3 2 3.函数 y=2x -3x 的极值情况为( ) A.在 x=0 处取得极大值 0,但无极小值 B.在 x=1 处取得极小值-1,但无极大值 C.在 x=0 处取得极大值 0,在 x=1 处取得极小值-1 D.以上都不对 3 4.函数 f(x)=ax +bx 在 x=1 处有极值-2,则 a,b 的值分别为( ) A.1,-3 B.1,3 C.-1,3 D.-1,-3 3 5. 函数 y=1+3x-x 有( ). A.极小值-1,极大值 1 C.极小值-2,极大值 2 6. 下列结论正确的是( ) B.极小值-2,极大值 3 D.极小值-1,极大值 3

A.在区间[a,b]上,函数的极大值就是最大值 B.在区间[a,b]上,函数的极小值就是最小值 C.在区间[a,b]上,函数的最大值、最小值在 x=a 和 x=b 时取到 D.一般地,在[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值 4 7. 函数 y=x -4x+3 在区间[-2,3]上的最小值为( ) A.72 B.36 C.12 3 2 8. 函数 f(x)=2x -6x -18x+7( ). A.在 x=-1 处取得极大值 17,在 x=3 处取得极小值-47 B.在 x=-1 处取得极小值 17,在 x=3 处取得极大值-47 C.在 x=-1 处取得极小值-17,在 x=3 处取得极大值 47 D.以上都不对

D.0

二、填空题 3 2 9. (2009 年高考江苏卷)函数 f(x)=x -15x -33x+6 的单调减区间为________. 2 10. 函数 f(x)=alnx+bx +3x 的极值点为 x1=1,x2=2,则 a=________,b=________. 2 11. 已知 f(x)=-x +mx+1 在区间[-2,-1]上的最大值就是函数 f(x)的极大值,则 m 的取值范围是 ________. 三、解答题 3 2 12. 求下列函数的单调区间: (1)y=x-lnx; (2)y=x -2x +x.

1

13. 已知函数 y=ax +bx ,当 x=1 时函数有极大值 3, (1)求 a,b 的值; (2)求函数 y 的极小值.

3

2

14. 已知 a 为实数,f(x)=(x -4)(x-a). (1)求导数 f′(x); (2)若 f′(-1)=0,求 f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值.

2

【能力训练】——挑战高手,我能行! 3 2 15.设函数 f(x)=2x -3(a-1)x +1,其中 a≥1, (1)求 f(x)的单调区间; (2)讨论 f(x)的极值情况.

【自主总结】——概念、定义、公式、定理、题型、方法…… 1、学会了 2、掌握了
2

3、还有疑难

答案
【基础训练】 一、选择题 1 x+1 1. 解析:选 A.令 y′=1+ = >0,得 x>0 或 x<-1.又函数定义域为(0,+∞),∴x>0.

x

x

3 3 3 3 )(x+ )<0 的解集为(- , ),知 a>0. 3 3 3 3 3 2 2 3. 解析: 选 C.因为 y=2x -3x , 所以 y′=6x -6x=6x(x-1). 令 y′=0, 解得 x=0 或 x=1.令 y=f(x), 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 2. 解析:选 A.由 f′(x)=a(3x -1)=3a(x-
2

x f′(x) f(x)

(-∞,0) +

0 0 0
3

(0,1) -

1 0 -1

(1,+∞) +

所以,当 x=0 时,函数 y=2x -3x 取得极大值 0;当 x=1 时,函数 y=2x -3x 取得极小值-1.故选 C. 2 4. 解析:选 A.f′(x)=3ax +b,f′(1)=3a+b=0,a+b=-2,解得 a=1,b=-3. 2 5. 解析 f′(x)=-3x +3,由 f′(x)=0 可得 x1=1,x2=-1.由极值的判定方法知 f(x)的极大值为

2

3

2

f(1)=3,极小值为 f(-1)=1-3+1=-1,故选 D.
6.答案:D 3 3 7. 解析:选 D.y′=4x -4,令 y′=0,得 4x -4=0,∴x=1.当 x<1 时,y′<0; 当 x>1 时,y′>0.∴y 极小值=ymin=0. 2 8. 解析 f′(x)=6x -12x-18,令 f′(x)=0,解得 x1=-1,x2=3.当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化 情况如下表:

x f′(x) f(x)

(-∞,-1) +

-1 0 极大值

(-1,3) -

3 0 极小值

(3,+∞) +

∴当 x=-1 时,f(x)取得极大值,f(-1)=17;当 x=3 时,f(x)取得极小值,f(3)=-47.答案 A

二、填空题 2 9. 解析:f′(x)=3x -30x-33=3(x-11)(x+1),由(x-11)(x+1)<0,得单调减区间为(-1,11). 答案:(-1,11) 2 a 2bx +3x+a 10. 解析:f′(x)= +2bx+3= ,

x

x

∵函数的极值点为 x1=1,x2=2, 2 2bx +3x+a ∴x1=1,x2=2 是方程 f′(x)= =0,

x

? 3 ?- =1+2, ? 2b

即 2bx +3x+a=0 的两根,∴由根与系数的关系知 ? a 1 =1×2, 解得?a=-2, b=- . 2b 2 ?

2

1 答案:-2 - 2

11. 解析:f′(x)=m-2x,令 f′(x)=0,得 x= .由题设得 ∈[-2,-1],故 m∈[-4,-2]. 2 2 三、解答题

m

m

3

1 1 12. 解:(1)函数的定义域为(0,+∞).其导数为 y′=1- .令 1- >0,解得 x>1.因此,(1,+∞)

x

x

1 是函数的单调增区间.再令 1- <0,解得 0<x<1.因此,(0,1)是函数的单调减区间.

x

1 2 2 (2)y′=3x -4x+1.令 3x -4x+1>0,解得 x>1 或 x< .因此,函数的单调 3 1 1 2 增区间为(1,+∞),(-∞, ).再令 3x -4x+1<0,解得 <x<1. 3 3 ? ? ?3a+2b=0, ?a=-6, 2 13. 解 (1)y′=3ax +2bx, 当 x=1 时, y′=3a+2b=0, 又 y=a+b=3, 即? 解得? ?a+b=3, ?b=9. ? ? 经检验,x=1 是极大值点,符合题意,故 a,b 的值分别为-6,9. (2)y=-6x +9x ,y′=-18x +18x,令 y′=0,得 x=0 或 x=1.(列表省略) ∴当 x=0 时,函数 y 取得极小值 0. 14.解:(1)由原式,得 f(x)=x -ax -4x+4a,∴f′(x)=3x -2ax-4. 1 1 2 2 3 (2)由 f′(-1)=0, 得 3×(-1) -2a×(-1)-4=0, 解得 a= , 此时有 f(x)=x - x -4x+2, 2 2 4 f′(x)=3x2-x-4.由 f′(x)=0,得 x= 或 x=-1, 3 4 50 9 又 f( )=- ,f(-1)= ,f(-2)=0,f(2)=0 3 27 2 9 50 ∴f(x)在[-2,2]上的最大值为 ,最小值为- . 2 27
3 2 2 3 2 2

【能力训练】 15. 解:由已知得 f′(x)=6x[x-(a-1)],令 f′(x)=0,解得 x1=0,x2=a-1. 2 (1)当 a=1 时,f′(x)=6x ≥0,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增. 当 a>1 时,f′(x)、f(x)随 x 的变化情况如下表: 0 (0,a-1) a- 1 (a-1,+∞) f′(x) 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 从上表可知,当 a>1 时,函数 f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,a-1)上单调递减, 在(a-1,+∞)上单调递增. (2)由(1)知,当 a=1 时,函数 f(x)没有极值;当 a>1 时,函数 f(x)在 x=0 处取得极大值 1, 3 在 x=a-1 处取得极小值 1-(a-1) . (-∞,0) +

x

4



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