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定积分与微积分基本定理 2.12


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课时提升作业(十五)
定积分与微积分基本定理 (25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2014·陕西高考)定积分 A.e+2 B.e+1 C.

e 的值为( D.e-1 ) 50 分)

【解析】选 C. =e. 2.(2015· 萍乡模拟)由曲线 xy=1, 直线 y=x, y=3 所围成的平面图形的面积为( A.
32 9

)

B.2-ln 3 D.4-ln 3
1 3

C.4+ln 3

【解析】选 D.由 xy=1,y=3 可得交点坐标为( ,3),由 xy=1,y=x 可得交点坐 标为(1, 1), 由 y=x, y=3 可得交点坐标为(3, 3), 所以由曲线 xy=1, 直线 y=x,y=3 所围成的平面图形的面积为

4-ln 3,故选 D.
-1-

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3.(2015·南昌模拟)已知函数 f(x)= ? A.
4 3

? x 2 , ?2 ? x ? 0, ? x ? 1, 0 ? x ? 2,
20 3

则?

2 ?2

f(x)dx 的值为(

)

B.4
2 ?2

C.6 f(x)dx= ?
0 ?2 2

D.

【解析】选 D. ?

x2dx+ ? (x+1)dx
0

2 1 0 1 8 1 20 ? x3 ? ( x 2 ? x) ? (0 ? ) ? ( ? 4 ? 2 ? 0) ? . 0 3 ?2 2 3 2 3

4.一质点运动时速度与时间的关系为 v(t)=t2-t+2,质点做直线运动,则此质点 在时间[1,2]内的位移为(
A. 17 6 B. 14 3 C. 13 6

)
D. 11 6

【解析】 选 A.质点在时间 [1, 2] 内的位移为 ? (t2-t+2)dt= ( t 3 ? t 2 ? 2t) ?
1

2

1 3

1 2

2 17 . 1 6

5.由直线 x+y-2=0,曲线 y=x3 以及 x 轴围成的图形的面积为(
A. 4 3 B. 5 4 C. 5 6 D. 3 4

)

【解析】选 D.由题意得 ?

? x ? y ? 2 ? 0,
3 ?y ? x ,

解得交点坐标是(1,1).
1 2

故由直线 x+y-2=0,曲线 y=x3 以及 x 轴围成的图形的面积为 ? x3dx+ ? (2-x)dx=
0 1

2 1 1 3 1 41 1 x ? (2x ? x 2 ) ? ? ? . 1 4 2 4 4 0 2

【方法技巧】求平面几何图形面积的技巧 求平面几何图形的面积,需根据几何图形的形状进行适当分割,然后通过分别 求相应区间上的定积分求出各自的面积,再求和. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2015·西安模拟)若函数 f(x)在 R 上可导,f(x)=x3+x2f′(1),则

? f ? x ?dx =_______.
0

2

-2-

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【解析】由题意可知 f′(x)=3x2+2f′(1)x,所以 f′(1)=3+2f′(1),所以 f′(1)=-3,f(x)=x3-3x2,x3-3x2 的一个原函数为 x4-x3,所以
1 4

? ?x
2 0

3

? 3x 2 ?dx ?

1 4 2 x ? x 3 |0 =-4. 4

答案:-4 【加固训练】设函数 f(x)=ax2+b(a≠0),若 ? f(x)dx=3f(x0),则 x0 等于(
0 3

)

A.±1

B. 2
3 3 0 0

C.± 3
1 3

D.2
3 0

【解析】 选 C. ? f(x)dx= ? (ax2+b)dx= ( ax3 ? bx) ? 9a ? 3b ,所以 9a+3b=3(ax02+b), 即 x02=3,x0=〒 3 ,故选 C. 7.由曲线 y=sin x,y=cos x 与直线 x=0,x= 所围成的平面图形(图中的阴影部 分)的面积是_________.
? 2

? ? 【解析】由图可得阴影部分面积 S=2 ? 4 (cos x-sin x)dx= 2 ? sin x ? cos x ? 4 0 0

=2( 2 -1). 答案:2 2 -2 8.(2013·湖南高考)若 【解析】
1 3 T 0

x2dx=9,则常数 T 的值为__________.
1 3

x2dx= ( x 3 ) ? T3 ? 9 ,所以 T=3.

-3-

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答案:3 三、解答题 9.(10 分)如图,求直线 y=2x 与抛物线 y=3-x2 所围成的阴影部分的面积.

【解析】S= ??3 (3-x2-2x)dx
1 ? (3x ? x 3 ? x 2 ) |1 ?3 3 1 1 32 3 2 ? (3 ?1 ? ? 1) ? [3 ? ? ?3 ? ? ? ? ?3 ? ? ? ?3 ? ] ? . 3 3 3

1

【加固训练】 设变力 F(x)作用在质点 M 上, 使 M 沿 x 轴正向从 x=1 运动到 x=10, 已知 F(x)=x2+1 且方向和 x 轴正向相同,求变力 F(x)对质点 M 所做的功. 【解析】变力 F(x)=x2+1 使质点 M 沿 x 轴正向从 x=1 运动到 x=10 所做的功为
10 10 1 W ? ? F ? x ? dx ? ? ? x 2 ? 1? dx ? ( x 3 ? x) 1 1 3
10 1

? 342 ? J ? .

(20 分钟 1.(5 分)(2015·抚州模拟)图中阴影部分的面积是(

40 分) )

-4-

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A.16

B.18
? y ? x ? 4,
2 ? y ? 2x,

C.20 得?

D.22

【解析】选 B.由 ?

?x ? 2, ? x ? 8, 或? ? y ? ?2 ? y ? 4,

则阴影部分的面积为 S=2 ?
?
8 2x dx+ ? ( 2x -x+4)dx 0 2 2

2 2 2 3 8 16 38 4 2 3 1 x2 ? ( x 2 ? x 2 ? 4x) ? ? ? 18. 0 2 3 3 3 3 2

?f ? x ? 4 ? , x ? 0, ? ? 2.(5 分)若 f(x)= ? 则 f(2 014)=_________. ? x 2 ? cos 3tdt, x ? 0 , 6 ? ? ? 0 ?

【解析】当 x>0 时,f(x)=f(x-4), 则 f(x+4)=f(x), 所以 f(2 014)=f(2)=f(-2),
? ? 1 1 又因为 ? 6 cos 3tdt= ( sin 3t) 6 ? , 3 3 0 0

所以 f(2 014)=f(-2)=2-2+ = 答案:
7 12

1 7 . 3 12

3.(5 分)(2015·南昌模拟)由曲线 y= x ,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面 积为________. 【解析】如图所示,联立 ? ? 所以 M(4,2). 由曲线 y= x ,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积
? y ? x ? 2, ? ? y ? x,

解得 ?

?x ? 4, ? y ? 2,

-5-

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4 [ x ? ? x ? 2 ?] dx ? ( x 2 ? x 2 ? 2x) |0 ? S= ?0

4

2 3

3

1 2

16 . 3

答案:

16 3

4.(12 分)汽车以 54 km/h 的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以等加速 度-3 m/s2 刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多远? 【解析】由题意,得 v0=54 km/h=15 m/s. 所以 v(t)=v0+at=15-3t. 令 v(t)=0,得 15-3t=0.解得 t=5. 所以开始刹车 5 s 后,汽车停车. 所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为 s= ? v(t)dt= ? (15-3t)dt
0 0 5 5

= (15t ? t 2 ) =37.5(m). 故汽车走了 37.5 m. 5.(13 分)(能力挑战题)求由抛物线 y2=x-1 与其在点(2,1),(2,-1)处的切 线所围成的面积.
1 .y′x=〒 【解析】y=〒 x-
1 . 2 x- 1
1 2

3 2

5 0

因为过点(2,1)的直线斜率为 y′|x=2= , 直线方程为 y-1= (x-2),即 y= x.同理,过点(2,-1)的直线方程为 y= - x,抛物线顶点在(1,0).如图所示:
1 2 1 2 1 2

-6-

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由抛物线 y2=x-1 与两条切线 y= x,y=- x 围成的图形面积为:S=S△AOB
2 - 2?1 x-1dx = 〓2〓2-2〓 〓 (x- =2- (1-0)= . 1) 2 |1
2

1 2

1 2

1 2

2 3

3

4 3

2 3

【加固训练】曲线 C:y=2x3-3x2-2x+1,点 P( ,0),求过 P 的切线 l 与 C 围成的 图形的面积. 【解析】设切点坐标为(x0,y0),y′=6x2-6x-2, 则 f′(x0)=6x02-6x0-2, 切线方程为 y=(6x02-6x0-2)(x- ), 则 y0=(6x02-6x0-2)(x0- ), 即 2x03-3x02-2x0+1=(6x02-6x0-2)·(x0- ), 整理得 x0(4x02-6x0+3)=0, 解得 x0=0,则切线方程为 y=-2x+1. 解方程组 ?
? y ? ?2x ? 1,
3 2 ? y ? 2x ? 3x ? 2x ? 1,

1 2

1 2

1 2

1 2

得?

3 ? ? x ? 0, ? x ? , 或? 2 ?y ? 1 ? ? y ? ?2.

由 y=2x3-3x2-2x+1 与 y=-2x+1 的图像可知
3 S= ? 2 [(-2x+1)-(2x3-3x2-2x+1)]dx 0

-7-

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3 27 = ? 2 (-2x3+3x2)dx= . 32 0

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-8-


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