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2013年理科全国各省市高考真题——不等式选讲概率(解答题带答案)


2013 年全国各省市理科数学—概率
1、2013 大纲理 T20.(本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时, 负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为 第 1 局甲当裁判. (I)求第 4 局甲当裁判的概率; (II) X 表示前 4 局中乙当裁判的次数,求 X 的数学期望。

1 , 各局比赛的结果相互独立, 2

2、2013 新课标 I 理 T19.(本小题满分 12 分) 一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取 4 件作检验,这 4 件产 品中优质品的件数记为 n .如果 n ? 3 ,再从这批产品中任取 4 件作检验,若都为优质 品,则这批产品通过检验;如果 n ? 4 ,再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优质 品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质 品率为 50%,即取出的产品是优质品的概率都为

1 ,且各件产品是否为优质品相互独立. 2

(Ⅰ)求这批产品通过检验的概率; (Ⅱ)已知每件产品检验费用为 100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品 作质量检验所需的费用记为 X (单位:元),求 X 的分布列及数学期望。

3、2013 新课标Ⅱ理 T19.(本小题满分 12 分) 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产品获利润 500 元,未售出的 产品,每 1 t 亏损 300 元。根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方 图,如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品。以 X (单位: t ,

100 ? X ? 150 )表示下一个销售季度内的市场需求量, T (单位:元)表示下一个销
售季度内经销该农产品的利润。 (Ⅰ)将 T 表示为 X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 的概率; (Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该 X=105 的概率等于需求量落入 ?100 ,110 ? 的 T 的数学期望。 区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 x ? ?100,110 ? ,则取 X=105,且

4、2013 辽宁理 T19.(本小题满分 12 分) 现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答. (I)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; (II)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是

3 4 ,答对每道乙类题的概率都是 ,且各题答对与否相互独立.用 X 表示张同学答对题 5 5 的个数,求 X 的分布列和数学期望.

5、2013 山东理 T19.本小题满分 12 分 甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局 甲队获胜的概率是

1 2 外,其余每局比赛甲队获胜的概率是 .假设每局比赛结果互相独立. 2 3

(1)分别求甲队以 3:0,3:1,3:2 胜利的概率 (2)若比赛结果为 3:0 或 3:1,则胜利方得 3 分,对方得 0 分;若比赛结果为 3:2,则胜利方得 2 分、对方得 1 分,求乙队得分 x 的分布列及数学期望.

6、2013 北京理 T16.( 本小题共 13 分) 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质 量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染,某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日 中的某一天到达该市,并停留 2 天

(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率 (Ⅱ)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列与数学期望。 (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)

7、2013 重庆理 T18. 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球,再从装有1个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出1 个球,根 据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下:

奖级 一等奖 二等奖 三等奖

摸出红、蓝球个数 3红1蓝 3红0蓝 2红1蓝

获奖金额 200 元 50 元 10 元

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级。 (1)求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率; (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期望 E ? X ? 。

8、2013 四川理 T18.(本小题满分 12 分) 某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量 x 在 1, 2,3, ???, 24 这

24 个整数中等可能随机产生。
(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率

Pi (i ? 1, 2,3) ;
(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复 运行 n 次后,统计记录了输出 y 的值为 i(i ? 1, 2,3) 的频数。以下是 甲、乙所作频数统计表的部分数据。 甲的频数统计表(部分) 运行 次数 n 输出 y 的值 为 1 的频数 输出 y 的值 为 2 的频数 输出 y 的值 为 3 的频数 乙的频数统计表(部分)

30
?

14
?

6
?

10
?

2100

1027

376

697

运行 次数 n

输出 y 的值 为 1 的频数

输出 y 的值 为 2 的频数

输出 y 的值 为 3 的频数

30
? 当 n ? 2100 时,根据表中的数 据,分别写出甲、乙所编程序各自输 出 y 的值为 i(i ? 1, 2,3) 的频率(用分

12
?

11
?

7
?

2100

1051

696

353

数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大; (Ⅲ)将按程序框图正确编写的程序运行 3 次,求输出 y 的值为 2 的次数 ? 的分布列 及数学期望。

9、2013 天津理 T16. (本小题满分 13 分) 一个盒子里装有 7 张卡片, 其中有红色卡片 4 张, 编号分别为 1, 2, 3, 4; 白色卡片 3 张, 编号分别为 2, 3, 4. 从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的 4 张卡片中, 含有编号为 3 的卡片的概率. (Ⅱ) 再取出的 4 张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为 X, 求随机变量 X 的分布列和数学 期望.

10、2013 浙江理 T19. 设袋子中装有 a 个红球, b 个黄球, c 个蓝球,且规定:取出一个红球得 1 分,取出一 个黄球 2 分,取出蓝球得 3 分。 (1)当 a ? 3, b ? 2, c ? 1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个 球,记随机变量 ? 为取出此 2 球所得分数之和,.求 ? 分布列; (2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1 个球,记随机变量? 为取出此球所得分 数. 若 E? ?

5 5 , D? ? ,求 a : b : c. 3 9

11、2013 福建理 T16.(本小题满分 13 分)

某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为 中奖可以获得 2 分;方案乙的中奖率为

2 , 3

2 ,中奖可以获得 3 分;未中奖则不得分。每人 5

有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品。 (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为 X ,求 X ? 3 的 概率; (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽 奖,累计得分的数学期望较大?

12、2013 广东理 T17.(本小题满分 12 分) 某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎 为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有 1 名优秀 工人的概率.

1 2 3

7 9 0 1 5 0
第 17 题图

13、2013 安徽理 T21.(本小题满分 13 分)

某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和 张老师负责,已知该系共有 n 位学生,每次活动均需该系 k 位学生参加( n 和 k 都是固 定的正整数)。假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系 k 位学生,且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生 人数为 x (Ⅰ)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; (Ⅱ)求使 P( X ? m) 取得最大值的整数 m 。

14、2013 陕西理 T19. (本小题满分 12 分) 在一场娱乐晚会上, 有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出 最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手, 其中观众甲是 1 号歌手的 歌迷, 他必选 1 号, 不选 2 号, 另在 3 至 5 号中随机选 2 名. 观众乙和丙对 5 位歌手的 演唱没有偏爱, 因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手. (Ⅰ) 求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率; (Ⅱ) X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求 X 的分布列和数学期望.

15、2013 湖南理 T18.(本小题满分 12 分) 某人在如图 4 所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横的交叉点记忆三 角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验,一株该种作物的年收 获量 Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示: X Y 1 51 2 48 3 45 4 42

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米。 (I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率; (II)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望。

16、2013 湖北理 T20. 假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N 800,502 的随机变量。记一天 中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 p0 。 (I)求 p0 的值;(参考数据:若 X ? N ? , ? 2 ,有

?

?

?

?

P ? ? ? ? ? X ? ? ? ? ? ? 0.6826 , P ? ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? ? 0.9544 ,

P ? ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ? ? 0.9974 。)
(II)某客运公司用 A 、 B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天 往返一次, A 、 B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的运营成本分别 为 1600 元/辆和 2400 元/辆。公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车 不多于 A 型车 7 辆。若每天要以不小于 p0 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从 甲地去乙地的运营成本最小,那么应配备 A 型车、 B 型车各多少辆?

17、2013 江西理 T18.(本小题满分 12 分) 小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加 学校排球队。游戏规则为:以 O 为起点,再从 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , A7 , A8 , (如图)这 8 个点中任 取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的 数量积为 X .若 X ? 0 就参加学校合唱团,否则就 参加学校排球队。 (1) 求小波参加学校合唱团的概率; (2) 求 X 的分布列和数学期望。

参考答案: 1

3 5、解答:(1) p1 ? C3 ( )3 ?

2 3 2 2 1 2 1 4 2 p3 ? C4 ( ) ( ) ? ? 3 3 2 27

8 1 2 8 2 2 , p2 ? C3 ( )2 ? ? , 27 3 3 3 27

(2)由题意可知 X 的可能取值为:3,2,1,0 相应的概率依次为: , 7、

1 4 4 16 7 , , ,所以 EX= 9 27 27 27 9

9、

10、解:(Ⅰ)由已知得到:当两次摸到的球分别是红红时 ? ? 2 ,此时

3? 3 1 ? ;当两次摸到的球分别是黄黄,红蓝,蓝红时 ? ? 4 ,此时 6?6 4 2 ? 2 3 ? 1 1? 3 5 P(? ? 4) ? ? ? ? ;当两次摸到的球分别是红黄,黄红时 ? ? 3 ,此 6 ? 6 6 ? 6 6 ? 6 18 3? 2 2 ? 3 1 时 P(? ? 3) ? ? ? ;当两次摸到的球分别是黄蓝,蓝黄时 ? ? 5 ,此时 6?6 6?6 3 1? 2 2 ?1 1 P(? ? 5) ? ? ? ;当两次摸到的球分别是蓝蓝时 ? ? 6 ,此时 6?6 6?6 9 1? 1 1 ;所以 ? 的分布列是: P(? ? 6) ? ? 6 ? 6 36 P(? ? 2) ?

?
P

2

3

4

5

6

1 4

1 3

5 18

1 9

1 36

(Ⅱ)由已知得到:? 有三种取值即 1,2,3,所以? 的分布列是:

?
P

1

2

3

a a?b?c

b a?b?c

c a?b?c

5 a 2b 3c ? ? E? ? 3 ? a ? b ? c ? a ? b ? c ? a ? b ? c ? 所以: ? ,所以 a 5 2 2b 5 2 3c ? D? ? 5 ? (1 ? 5 ) 2 ? ? (2 ? ) ? ? (3 ? ) ? ? 9 3 a?b?c 3 a?b?c 3 a?b?c ? b ? 2c, a ? 3c ? a : b : c ? 3 : 2 :1。
12、【解析】(Ⅰ) 样本均值为

17 ? 19 ? 20 ? 21 ? 25 ? 30 132 ? ? 22 ; 6 6

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为

2 1 ? ,故推断该车间 12 名工人中有 6 3

1 12 ? ? 4 名优秀工人. 3
(Ⅲ) 设事件 A :从该车间 12 名工人中,任取 2 人,恰有 1 名优秀工人,则

P ? A? ?

1 1 C4C8 16 . ? 2 C12 33

13、【解析】 (Ⅰ)

k k 设事件A表示:学生甲收到李老师的通知信息,则P( A) ? ,P( A) ? 1 - . n n
设事件B表示:学生甲收到张老师的通知信息,则P( B) ? P( A), P( B) ? P( A) .

设事件C表示:学生甲收到李老师或张老师的通知信息.
则 P(C) = 1 - P( A) ? P( B) ? 1 ? (1 ?

k 2 2k k ) ? ? ( )2 . n n n 2k k ? ( )2 . n n

所以, 学生甲收到李老师或张老师的通知信息为

(Ⅱ)(Ⅱ) 当0 ?

k 2 ? 1时,m ? k时f (m)取最大值. n 2

当1 -

2 k 1 ? ? 时, m ? 2k时P(m)取最大值 2 n 2

1 k 当 ? ? 1时,当m ? n时P(m)取最大值 2 n
14、【答案】(Ⅰ)

4 ; 15

(Ⅱ) X 的分布列如下:

X
P

0

1

2

3

4 75

20 75

33 75

18 75

数学期望 EX ?

28 15

【解析】(Ⅰ) 设事件 A 表示:观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手。 观众甲选中 3 号歌手的概率为

2 3 ,观众乙未选中 3 号歌手的概率为 1 - 。 3 5

所以 P(A) =

2 3 4 (- ) ?1 ? . 3 5 15
4 15

因此,观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为

(Ⅱ) X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,则 X 可取 0,1,2,3. 观众甲选中 3 号歌手的概率为

2 3 ,观众乙选中 3 号歌手的概率为 。 3 5
2 3 3 5
2

当观众甲、乙、丙均未选中 3 号歌手时,这时 X=0,P(X = 0) = (1 ? ) ? (1 ? ) ? 当观众甲、乙、丙中只有 1 人选中 3 号歌手时,这时 X=1,P(X = 1) =

4 . 75

2 3 2 3 3 2 3 3 8 ? 6 ? 6 20 . ? (1 ? ) 2 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? )(1 ? ) ? ? ? ? ? 3 5 3 5 5 3 5 5 75 75
当观众甲、乙、丙中只有 2 人选中 3 号歌手时,这时 X=2,P(X = 2) =

2 3 3 2 3 3 2 3 3 12 ? 9 ? 12 33 . ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? ? ? ? 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75 75
当观众甲、乙、丙均选中 3 号歌手时,这时 X=3,P(X =3) =

2 3 2 18 . ?( ) ? 3 5 75

X 的分布列如下表: X
P 0 1 2 3

4 75

20 75

33 75

18 75

E? ? 0 ?

4 20 33 18 20 ? 66 ? 54 28 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? ? 75 75 75 75 75 15

所以,数学期望 EX ?

28 15

15、【解析】 (Ⅰ) 由图知,三角形边界共有 12 个格点,内部共有 3 个格点. 从三角形上顶点按逆时针方向开始,分别有 0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1 对格点,共 8 对格 点恰好“相近”。 所以,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率

P?

8 2 ? 12 ? 3 9

(Ⅱ)三角形共有 15 个格点。 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 1 个的格点有 2 个,坐标分别为(4,0),(0,4)。

所以P(Y ? 51) ?

4 15 4 15 6 15

与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 2 个的格点有 4 个,坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1)。 所以P (Y ? 48) ?

与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 3 个的格点有 6 个,坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0,1,) ,(0,2),(0,3,)。 所以P (Y ? 45) ?

与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 4 个的格点有 3 个,坐标分别为(1,1), (1,2), (2,1)。 所以P (Y ? 42) ? 如下表所示: X Y 频数 概率 P 1 51 2 2 48 4 3 45 6 4 42 3

3 15

2 15

4 15

6 15

3 15

E (Y ) ? 51 ?

2 4 6 3 102 ? 192 ? 270 ? 126 690 ? 48 ? ? 45 ? ? 42 ? ? ? ? 46 15 15 15 15 15 15

? E (Y ) ? 46 . (完)

16、【解析与答案】(I) p0 ? 0.5 ?

1 ? 0.9544 ? 0.9772 2

(II)设配备 A 型车 x 辆, B 型车 y 辆,运营成本为 z 元,由已知条件得

? x ? y ? 21 ?36 x ? 60 y ? 900 ? ,而 z ? 1600 x ? 2400 y ? y?x?7 ? ? x, y ? N ?

作出可行域,得到最优解 x ? 5, y ? 12 。 所以配备 A 型车 5 辆, B 型车 12 辆可使运营成本最小。

17、


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