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高中必修四 任意角的三角函数 知识点汇总 复习教案(教师版)


任意角的三角函数 复习回顾: 1、180- ? 与 ? 的终边 A.关于 x 轴对称
k ? A. ? 与 k? ? 2 2





B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 D.以上都不对 ( B. k? ? )
(k ? Z )

2、下列各组角中,终边相同的角是

>(k ? Z )

?

k 与 ? 3 3

C. (2k ? 1)?与(4k ? 1)? (k ? Z ) 3、下列转化结果错误的是
? 3 A. 67 30? 化成弧度是 ? rad 8 ? 7 C. ? 150 化成弧度是 ? rad 6

D. k? ?

?

6

与k? ?

?
6

(k ? Z )

B. ?

10 ? 化成度是-600 度 3 ? D. 化成度是 15 度 12

知识点 1:三角函数定义 如图,设锐角 ? 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的正半轴重合,那么它的终边 在 第 一 象 限 . 在 ? 的 终 边 上 任 取 一 点 P ( a, b) , 它 与 原 点 的 距 离

r (r ?

x ? y ? x 2 ? y 2 )。
2 2

y y 叫做 ? 的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? ? ; r r x x (2)比值 叫做 ? 的余弦,记作 cos? ,即 cos ? ? ; r r y (3)比值 y 叫做 ? 的正切,记作 tan ? ,即 tan ? ? ; x

(1)比值

(4)比值 (5)比值 (6)比值

x x 叫做 ? 的余切,记作 cot ? ,即 cot? ? ; y y
r r 叫做 ? 的正割,记作 sec? ,即 sec ? ? ; x x

r r 叫做 ? 的余割,记作 csc? ,即 csc ? ? . y y

例 1、已知角 ? 的终边过点 (a, 2a)(a ? 0) ,求 ? 的六个三角函数值。
解:因为过点 (a, 2a)(a ? 0) ,所以 r ? 5 | a | ,

x ? a, y ? 2a

当 a ? 0时, ? ? sin

y 2a 2a 2 5 ; ? ? ? r 5 5|a| 5a

co? ? s

1 5 x a 5 a ; tan ? ? 2;cot ? ? ;sec ? ? 5;csc ? ? ; ? ? 2 2 r 5 5a y 2a 2a 2 5 当 a ? 0时, ? ? ? ; sin ? ?? r 5 5 | a | ? 5a

cos? ?

x a 5a ? ?? r ? 5a 5



1 5 . tan ? ? 2;cot ? ? ;sec? ? ? 5;csc ? ? ? 2 2

例 2.已知角 ? 的终边经过点 P(x,- 3 )(x>0).且 cos ? = ,求 sin ? 、cos ? 、 tan ? 的值

x 2

知识点 2:三角函数的定义域、值域 ① ? 的始边与 x 轴的非负半轴重合,? 的终边没有表明 ? 一定是正角或负角,以 及 ? 的大小,只表明与 ? 的终边相同的角所在的位置; ②根据相似三角形的知识,对于确定的角 ? ,六个比值不以点 P( x, y ) 在 ? 的终 边上的位置的改变而改变大小;

③当

??

?
2

? k? (k ? Z )

时, ? 的终边在 y 轴上,终边上任意一点的横坐标 x 都等

于 0 ,所以
csc ? ?

tan ? ?

x y r coy? ? sec ? ? y与 x与 x 无意义;同理,当 ? ? k? (k ? Z ) 时,

r y 无意义;

x r x r y y ④除以上两种情况外,对于确定的值α ,比值 r 、 r 、 x 、 y 、 x 、 y 分别是

一个确定的实数,所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量, 一比值为函数值的函数,以上六种函数统称为三角函数。 三角函数的定义域、值域 函 数 定
R









y ? sin ?

[?1,1]

y ? cos ?

R

[?1,1]

y ? tan ?

{? | ? ?

?
2

? k? , k ? Z }

R

例 1、 (2010 上海文)19.(本题满分 12 分) 已知 0 ? x ?

?

x ? lg(cos x ? tan x ? 1 ? 2sin 2 ) ? lg[ 2 cos( x ? )] ? lg(1 ? sin 2 x) . , 化简: 2 2 2

解析:原式?lg(sinx?cosx)?lg(cosx?sinx)?lg(sinx?cosx)2?0. 知识点 3: .三角函数的符号 由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知:
y ①正弦值 r 对于第一、二象限为正( y ? 0, r ? 0 ) ,对于第三、四象限为负

( y ? 0, r ? 0 ) ;
x ②余弦值 r 对于第一、四象限为正( x ? 0,r ? 0) ,对于第二、三象限为负

( x ? 0, r ? 0 ) ;
y ③正切值 x 对于第一、三象限为正( x, y 同号) ,对于第二、四象限为负( x, y 异

号) . 说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值。

sin ? csc ? 为正 t an? cot? 为正

正弦 、余割 余弦 、正割 正切 、余切
全正
c o? s s e c 为正 ?
y y y

+ o -

+ x

o

+ + x

- + o x + -

例1、若sinθcosθ>0,则θ在 A.第一、二象限 B.第一、三象限

(

) D.第二、四象限

C.第一、四象限

例 2、已知 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 , ? (1)求角 ? 的集合; (2)求角 终边所在的象限; (3)试判断 tan ? ,sin ? cos ? 的符号。 2 2 2 2

例 3、求下列函数的定义域 (1) y ?
sin x ? cos x tan x

(2) y ? ? cos x ? sin x

知识点 4:诱导公式 1、由三角函数的定义,就可知道:终边相同的角三角函数值相同。 即有:
sin(? ? 2k? ) ? sin ? , cos(? ? 2k? ) ? cos ? ,其中 k ? Z . tan(? ? 2k? ) ? tan ? ,

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为 0~2π 间角的三角函数 值问题.
k 2、三角函数诱导公式( ? ? ? )的本质是:奇变偶不变(对 k 而言,指 k 取奇 2

数或偶数) ,符号看象限(看原函数,同时可把 ? 看成是锐角). 诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤: (1)负角变正角,再写 成 2k ? + ? , 0 ? ? ? 2? ;(2)转化为锐角三角函数。 例 1、填空: (1) cos
9? 7? ? tan(? ) ? sin 21? 的值为________ 4 6

(答:

2 3 ? ) ; 2 3

4 (2) 已知 sin( 540 ? ? ? ) ? ? , cs ? ? 20 ? ) ? ______, ? 为第二象限角, 则o 若 ( 7 5



[sin( ? ? ? ) ? cos(? ? 360? )]2 180 ? ________。 tan( ? ? ? ) 180
(答: ?
3 4 ;? ) 100 5

例 2、确定下列三角函数值的符号: (1) cos 2500

? (2) sin( ? ) 4

(3) tan(?6720 )

(4) tan 3?

例 3、求下列各式的值 1. cos

25? 15? ? tan( ? ) 3 4

2. sin 420 cos750 ? sin(?690 )cos(?660 )
0 0 0 0

知识点 5:三角函数线的定义: 设任意角 ? 的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交 与点 P ( x, y ) ,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ;过点 A(1, 0) 作单位圆的切线,它 与角 ? 的终边或其反向延长线交与点 T .
y P T P A
M

y

o

x

M

o

A

x
T

(Ⅰ)

(Ⅱ)

y

T

y

M

o

A

x

o

M A

x

P
(Ⅲ) (Ⅳ)

P T

由四个图看出: 当角 ? 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM ? x, MP ? y ,于是有
sin ? ? y y ? ? y ? MP r 1 , y MP AT ? ? ? AT x OM OA . co? ? s x x ? ? x ? OM r 1 ,

tan ? ?

我们就分别称有向线段 MP, OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。 ① 三条有向线段的位置:正弦线为 ? 的终边与单位圆的交点到 x 轴的垂直线 段;余弦线在 x 轴上;正切线在过单位圆与 x 轴正方向的交点的切线上,三条有 向线段中两条在单位圆内,一条在单位圆外。 ② 三条有向线段的方向:正弦线由垂足指向 ? 的终边与单位圆的交点;余弦 线由原点指向垂足;正切线由切点指向与 ? 的终边的交点。 ③ 三条有向线段的正负: 三条有向线段凡与 x 轴或 y 轴同向的为正值, x 轴 与 或 y 轴反向的为负值。 ④ 三条有向线段的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后面。 注: (1)三角函数线的特征是:正弦线 MP“站在 x 轴上(起点在 x 轴上)” 、余弦线 OM“躺在 x 轴上(起点是原点)” 、正切线 AT“站在点 A(1, 0) 处(起点是 A )”. (2)三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。 例 1、.利用三角函数线比较下列各组数的大小:
2? 4? s i n 与 sin 3 5 4? cot 5

1?

2? tan

2? 4? 与 tan 3 5

3? cot

2? 与 3

例 2、填空: (1)若 ?

?
8

? ? ? 0 , 则 s i n , c o s , t? 的 大 小 关 系 为 ___ ? ? an
c o ); ?s

(答:

t a n ? s i? ? ? n

? ( 2 ) 若 ? 为锐角,则 ? , sin? , tan 的大小关系为
sin ? ? ? ? tan ? ) ;

_( 答:

( 3 ) 函 数 y ? 1 ? 2 c o x ? l g2 s i n ? 3) 的 定 义 域 是 ____ s ( x
(2k? ?

___ ( 答 :

?
3

, 2 k? ?

2? ](k ? Z ) 3

例 3、利用单位圆写出符合下列条件的角 x 的范围。
1 (1)sin x ? ? ; 2
(1)

(2)cos x ?

1 1 1 ; ,(3)0 ? x ? ? ,sin x ? 且 cos x ? ; 2 2 2

7? 11? ? ? ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? Z ; (2) ? ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? Z ; 6 6 6 6 5? ,k ?Z ; 6

(3)

?
3

?x?

知识点 6、同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1,1 ? tan 2 ? ? sec2 ?,1 ? cot 2 ? ? csc2 ? (2)倒数关系:sin ? csc ? =1,cos ? sec ? =1,tan ? cot ? =1, (3)商数关系: tan ? ?
sin ? cos ? , cot ? ? cos ? sin ?

同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此 角的其它三角函数值。 在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数 的取值,尽可能地压缩角的范围,以便进行定号;在具体求三角函数值时,一般 不需用同角三角函数的基本关系式,而是先根据角的范围确定三角函数值的符 号,再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。 例 1、填空: (1)函数 y ?
sin ? ? tan ? 的值的符号为____ cos ? ? cot ?

(答:大于 0) ;

(2)若 0 ? 2 x ? 2? ,则使 1 ? sin 2 2x ? cos2x 成立的 x 的取值范围是____ (答: [0, (3)已知 sin ? ?

?

m?3 4 ? 2m ? ( ? ? ? ? ) ,则 tan ? =____ , cos ? ? m?5 m?5 2

3 ] ? [ ?,?]) ; 4 4

(答: ? (4)已知

tan ? sin ? ? 3 cos ? ? ?1 ,则 =___; sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 =____ tan ? ? 1 sin ? ? cos ? 5 13 (答: ? ; ) ; 3 5

5 ) ; 12

(5)已知 f (cosx) ? cos3x ,则 f (sin 30? ) 的值为______ (答:-1) 。

例 2、已知 sin 200? ? a ,则 tan160? 等于 A、 ? (答:B

a 1? a2

B、

a 1? a2

C、 ?

1? a 2 a

D、

1? a 2 a


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