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高中数学选修不等式选讲


不等式选讲(高考试题汇编)
一、知识点整合:
1. 含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a 或 f(x)<-a; (2)|f(x)|<a(a>0)?-a<f(x)<a. (3)对形如|x-a|+|x-b|≤c,|x-a|+|x-b|≥c 的不等式,可利用绝对值的几何意义求解. 2

. 含有绝对值的不等式的性质 |a|-|b|≤|a± b|≤|a|+|b|. 3. 柯西不等式 (1)设 a,b,c,d 均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当 ad=bc 时等号 成立.
n n n a1 a2 an 2 2 (2)若 ai,bi(i∈N*)为实数,则(∑ a )( ∑ b ) ≥ ( ∑ aibi)2,当且仅当 = =?= (当某 bj=0 时,认为 aj=0,j i i b1 b2 bn i=1 i=1 i=1

=1,2,?,n)时等号成立. (3)柯西不等式的向量形式:设 α,β 为平面上的两个向量,则|α|· |β|≥|α· β|,当且仅当这两个向量共线时等号 成立. 4. 不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.

二、典型题型
题型一 含绝对值的不等式的解法 例1 (2013· 课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; a 1? (2)设 a>-1,且当 x∈? ?-2,2?时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围. a 1? 审题破题 (1)可以通过分段讨论去绝对值;(2)在 x∈? ?-2,2?时去绝对值,利用函数最值求 a 的范围. 解 (1)当 a=-2 时,不等式 f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 1

设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3, -5x,x< , ? 2 ? 1 则 y=? -x-2, ≤x≤1, 2 ? ?3x-6,x>1, 其图象如图所示,由图象可知,当且仅当 x∈(0,2)时,y<0,所以原不等式的解集是 {x|0<x<2}. a 1 (2)∵a>-1,则- < , 2 2 ∴f(x)=|2x-1|+|2x+a|

a 1 - , ?时,f(x)=a+1, 当 x∈? ? 2 2? a 1? 即 a+1≤x+3 在 x∈? ?-2,2?上恒成立. a 4 ∴a+1≤- +3,即 a≤ , 2 3 4 ? ∴a 的取值范围为? ?-1,3?. 反思归纳 这类不等式的解法是高考的热点. (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤: ①求零点;②划区间、去绝对值;③分别解去掉绝对值的不等式;④取每个结果的并集,注意在分段时不要 遗漏区间的端点值. (2)用图象法,数形结合可以求解含有绝对值的不等式,使得代数问题几何化,既通俗易懂,又简洁直观, 是一种较好的方法. 变式训练 1 已知函数 f(x)=|x+1|+|x-2|-m. (1)当 m=5 时,求 f(x)>0 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≥2 的解集是 R,求 m 的取值范围. 题型二 不等式的证明 例2 (2012· 福建)已知函数 f(x)=m-|x-2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1]. (1)求 m 的值; 1 1 1 + (2)若 a,b,c∈R ,且 + + =m,求证:a+2b+3c≥9. a 2b 3c 审题破题 (1)从解不等式 f(x+2)≥0 出发,将解集和[-1,1]对照求 m;(2)利用柯西不等式证明. (1)解 因为 f(x+2)=m-|x|, f(x+2)≥0 等价于|x|≤m. 由|x|≤m 有解,得 m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}. 又 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1],故 m=1. 1 1 1 (2)证明 由(1)知 + + =1, a 2b 3c 又 a,b,c∈R ,由柯西不等式得 1 1 1? a+2b+3c=(a+2b+3c)? ?a+2b+3c? 1 1 1 ≥? a· + 2b· + 3c· ?2=9. a 2b 3c? ? 反思归纳 不等式证明的基本方法是比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法和数学归纳法,其中以比较 法和综合法最为基础, 使用综合法证明不等式的关键就是通过适当的变换后使用重要不等式, 证明过程注意 从重要不等式的形式入手达到证明的目的. 变式训练 2 已知 f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式 f(x)<4 的解集为 M. (1)求 M;


(2)当 a,b∈M 时,证明:2|a+b|<|4+ab|. 题型三 不等式的综合应用 例3 (2012· 辽宁)已知 f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1}. (1)求 a 的值;

?x??≤k 恒成立,求 k 的取值范围. (2)若? f ? x ? - 2 f ? ?2??
审题破题 (1)|ax+1|≤3 的解集为[-2,1],对照即可;(2)可通过函数最值解决恒成立 问题. 解 (1)由|ax+1|≤3 得-4≤ax≤2.

又 f(x)≤3 的解集为{x|-2≤x≤1}, 所以当 a≤0 时,不合题意. 4 2 当 a>0 时,- ≤x≤ ,得 a=2. a a x ? (2)记 h(x)=f(x)-2f? ?2?,

? ?-4x-3,-1<x<-1, 2 则 h(x)=? 1 ? ?-1,x≥-2,
所以|h(x)|≤1,因此 k≥1. 反思归纳 不等式 f(a)≥g(x)恒成立时,要看是对哪一个变量恒成立,如果对于?a∈R 恒成立,则 f(a)的最 小值大于等于 g(x),再解关于 x 的不等式求 x 的取值范围;如果对于?x∈R 不等式恒成立,则 g(x)的最大值 小于等于 f(a),再解关于 a 的不等式求 a 的取值范围. 变式训练 3 已知函数 f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a). (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的最小值; (2)当函数 f(x)的定义域为 R 时,求实数 a 的取值范围. 变式训练 4 设 f(x)=|x|+2|x-a|(a>0). (1)当 a=1 时,解不等式 f(x)≤8; (2)若 f(x)≥6 恒成立,求正实数 a 的取值范围.

1,x≤-1,

三、专题限时规范训练
一、填空题 1. 不等式|x+3|-|x-2|≥3 的解集为________. x+y x y 2. 设 x>0,y>0,M= ,N= + ,则 M、N 的大小关系为__________. 2+x+y 2+x 2+y 3. 对于实数 x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为________. 4. 若关于 x 的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解,则实数 a 的取值范围是________. 二、解答题 5. 设不等式|2x-1|<1 的解集为 M. (1)求集合 M; (2)若 a,b∈M,试比较 ab+1 与 a+b 的大小.

1 x+ ?>|a-2|+1 对于一切非零实数 x 均成立,求实数 a 的取值范围. 6. 若不等式? ? x? 1 1 5 7. (2012· 江苏)已知实数 x,y 满足:|x+y|< ,|2x-y|< ,求证:|y|< . 3 6 18 8. 已知函数 f(x)=|x-a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5},求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 f(x)+f(x+5)≥m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围. 9. 已知函数 f(x)=|2x+1|+|2x-3|. (1)求不等式 f(x)≤6 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f(x)<|a-1|的解集非空,求实数 a 的取值范围. 1 1 1 10.设 a,b,c 为正实数,求证: 3+ 3+ 3+abc≥2 3. a b c 一、填空题 错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖北卷(理) )设 x, y , z ? R ,且满足: x ? y ? z ? 1 , x ? 2 y ? 3z ? 14 ,
2 2 2

则 x ? y ? z ? _______. 二、解答题 错误! 未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学 (理) (纯 WORD 版含答案) ) 选修 4—5; 不等式选讲 设 a, b, c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,证明: (Ⅰ) ab ? bc ? ca ?

1 ; 3

(Ⅱ)

a 2 b2 c2 ? ? ? 1. b c a

错误!未指定书签。 . (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) )选修 4-5:不等式 选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? a ,其中 a ? 1 . (I)当 a =2 时,求不等式 f ? x ? ? 4 ? x ? 4 的解集; (II)已知关于 x 的不等式 f ? 2 x ? a ? ? 2 f ? x ? ? 2 的解集为 ? x |1 ? x ? 2? ,求 a 的值. 错误!未指定书签。 . ( 2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题)不等式选讲 : 设不等式

?

?

3 1 x ? 2 ? a(a ? N * ) 的解集为 A ,且 ? A , ? A . 2 2 (1)求 a 的值;
(2)求函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 的最小值.1 错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖南卷(理) )在平面直角坐标系 xOy 中,将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任一路径成为 M 到 N 的一条“L 路径”.如图 6 所示的路径 MM 1M 2 M 3 N 与路径MN1 N 都是 M 到 N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面 xOy 内三点 A(3, 20), B ( ?10, 0), C (14, 0) 处.现计划在 x 轴

上方区域(包含 x 轴)内的某一点 P 处修建一个文化中心.

(I)写出点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明); (II)若以原点 O 为圆心,半径为 1 的圆的内部是保护区,“L 路径”不能进入保护区,请确定点 P 的位置,使其 到三个居民区的“L 路径”长度值和最小. 四,高考试题汇编 1. (2013· 重庆)若关于实数 x 的不等式|x-5|+|x+3|<a 无解,则实数 a 的取值范围是____. 2. (2013· 江西)在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1 的解集为________. 3. (2013· 陕西)已知 a,b,m,n 均为正数,且 a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为_______ 4. (2013 江苏)].已知 a ? b >0,求证: 2a ? b ? 2ab ? a b
3 3 2 2

4. (2012· 山东)若不等式|kx-4|≤2 的解集为{x|1≤x≤3},则实数 k=________.

5.(2012、江苏)已知实数 x,y 满足:

| x ? y |?

1 1 5 , | 2 x ? y |? , | y |? 3 6 求证: 18 .

1? ?1 2 2? 6. (2011· 湖南)设 x,y∈R,且 xy≠0,则? ?x +y2?· ?x2+4y ?的最小值为________. 1.(2011 山东)不等式 | x ? 5 | ? | x ? 3 |? 10 的解集为 (A)[-5.7] (C) (??, ?5] ? [7, ??) 2.(2011 年高考天津卷理科 13) (B)[-4,6] (D) (??, ?4] ? [6, ??)

1 ? ? A ? ? x ? R | x ? 3 ? x ? 4 ? 9? , B ? ? x ? R | x ? 4t ? , t ? (0, ??) ? t ? ? ,则集合 A ? B =________. 已知集合
3.对于实数 x,y,若

x ?1 ? 1



y ? 2 ?1

,则

x ? 2 y ?1

的最大值为

.

4.(2011 年高考广东卷理科 9)不等式

x ?1 ? x ? 3 ? 0

的解集是______.

4.(2011 年高考陕西卷理科 15)(不等式选做题)若关于 x 的不等式

a ? x ?1 ? x ? 2

存在实数解,则实数 a 的

取值范围是 5.(2011 年高考辽宁卷理科 24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-2|-|x-5|. (I)证明:-3≤f(x)≤3; (II)求不等式 f(x)≥x2-8x+15 的解集. 6. (2011 年高考全国新课标卷理科 24)(本小题满分 10 分) 选修 4-5 不等选讲

设函数

f ( x) ? x ? a ? 3x, a ? 0

(1)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集;

x x ? ?1 (2)如果不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ,求 a 的值。
7.(2011 年高考江苏卷 21)选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 解不等式: x? | 2 x ? 1|? 3 8.(2011 年高考福建卷理科 21)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 设不等式

?

?

2x - 1< 1

的解集为 M.

(I)求集合 M; (II)若 a,b∈M,试比较 ab+1 与 a+b 的大小.

9. (2010 年高考陕西卷理科 15)(不等式选做题)不等式

的解集为

.

10. (2010 年高考福建卷理科 21) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 (Ⅰ)若不等式 。 的解集为 ,求实数 的值; 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围。

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若

12. (2010 年高考辽宁卷理科 24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

已知

均为正数,证明:

,并确定

为何值时,等号成立。

13. (2008 广东,14) (不等式选讲选做题)已知 a ? R ,若关于 x 的方程 a 的取值范围是 。

x 2 ? x? | a ?

1 | ? | a |? 0 4 有实根,则
;若 f ( x) ? 5 ,

14. (2007 广东,14) (不等式选讲选做题)设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? x ? 3, 则f (?2) = 则 x 的取值范围是 。 4.设函数 f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线 x=1 对称,则 a 的值为

16. (2007 海南、宁夏,22C,10 分) (选修 4 –5:不等式选讲 )设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | x ? 4 | . (1)解不等式 f ( x) ? 2 ; (2)求函数 y ? f ( x) 的最小值。 17 . ( 2008 ·山东高考题)若不等式 | 3x ? b |? 4 的解集中的整数有且仅有 1 、 2 、 3 ,则 b 的取值范围为 。

| x ?1| ?1 18. (2009 广东 14)不等式 | x ? 2 | 的实数解为

.

19. (2009 福建选考 21(3) ) 解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1 20. (2009 辽宁选作 24)

f ( x) ? 3 ; 设函数 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? a | . (I)若 a ? ?1, 解不等式
(II)如果 ?x ? R, f ( x) ? 2, 求a 的取值范围。 1.福建 23.(3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? m? | x ? 2 |, m ? R ,且 f ( x ? 2) ? 0 的解集为 [?1,1] 。

1 1 1 ? ? ?m a , b , c ? R (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 ,且 a 2b 3c ,求证: a ? 2b ? 3c ? 9 。
2.湖南 10.不等式|2x+1|-2|x-1|>0 的解集为_______. 4 江西 15.(2) (不等式选做题)在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6 的解集为___________。 5 辽宁 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知

f ? x ? = ax+1 ? a ? R ?

,不等式

f ? x? ? 3

的解集为

? x -2 ? x ? 1?

(1)求 a 的值

? x? f ? x ? -2 f ? ? ? k ?2? (2)若 恒成立,求 k 的取值范围
6 若存在实数 x 使 | x ? a | ? | x ? 1|? 3 成立,则实数 a 的取值范围是 7 新课标(24) (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知函数 .

f ( x) ? x ? a ? x ? 2

(1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若

f (x) ? x ? 4

的解集包含 [1, 2] ,求 a 的取值范围。


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