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# 论中学中不等式的解法和证明

JI A N G S U

UNIVERSITY

The discuss of inequality solution and proof on middle school

2012

4 月

1.1 分式不等式或高次不等式的解法 ????????????????6 1.1.1 分式不等式的解法 ?????????????????????6 1.1.2 高次不等式的解法 ?????????????????????8 1.2 含绝对值不等式的解法 ????????????????????9 1.3 指数或对数不等式的解法 ???????????????????13 1.3.1 指数不等式的解法 ?????????????????????13 1.3.2 对数不等式的解法?????????????????????14 1.4 含参数不等式的解法 1.5 无理不等式的解法 ????????????????????15 ?????????????????????18

2.1 比较法 ??????????????????????????21 2.2 综合法???????????????????????????22 2.3 分析法???????????????????????????23 2.4 数学归纳法?????????????????????????24 2.5 反证法???????????????????????????24 2.6 放缩法 ??????????????????????????25 2.7 换元法??????????????????????????26 2.8 构造法??????????????????????????26 2.9 松弛量法?????????????????????????27 2.10 参数法 ?????????????????????????28 2.11 局部变动法 ???????????????????????28

2

3

The discuss of inequality solution and proof on middle school Abstract: Inequality in middle school mathematics plays a certain low, the solution of
inequality and proved to be the main contents of learning high school inequality. Mathematics teaching the ultimate goal is to enable students to form a certain mathematical accomplishment and ability, mathematical problem is mathematics teaching, mathematics learning mathematics study, the main way. So in this article, I summarize some in mathematical problem solving will commonly used for solving inequality method and prove the inequality method, so that the solution of inequality and the method of proof is more perfect, is helpful for us to further study and discussion about inequality and the middle school teachers' further systematic content of this one part, more helpful in teaching process to clear. Research is mainly divided into four parts: The first part: Introduction. On the research status at home and abroad, this paper studies the purpose and significance, research method innovation are introduced. The second part: Secondary common solutions to inequality. For example: inequalities with absolute value of the solution, the solution of high order parametric inequalities, the solution of inequality, fractional inequality solution, exponential, logarithmic inequality method of solving inequality method of solving etc.. The third part: The inequality proof method. For example: make difference law, commercial law, the reduction to absurdity, scaling method, mathematical induction, discriminant method etc.. Part fourth: Solve the inequality problem of mathematical thought. From the analysis of characteristics, read it, and contact, search for method four aspects of inequality problems in teaching middle school, and problem solving of mathematical thought.

Key words: Inequality

Solution

Prove

4

5

1.1.1 分式不等式的解法
f (x) ? 0或 f (x) ? 0 （其中

? (x)

? (x)

f ( x ) 和 ? （ x ) 为整式且 ? ( x ) ? 0 ）的不等式。

f (x) g (x) f (x) g (x) ? 0

?

f（x）·（x）>0 g

? 0

?

f（x）·（x）<0 g
? 0

1 ? 2x x?3

（2x－1） x+3）>0 （
1 2

∴ 原不等式的解集为 {x∣x> 二、转化为不等式组
f (x) g (x) f (x) g (x)
2

? 0

?

? f ( x ) ? 0, ? ? g ( x ) ? 0, ? f ( x ) ? 0, ? ? g ( x ) ? 0,

? f ( x ) ? 0, ? ? g ( x ) ? 0, ? f ( x ) ? 0, ? ? g ( x ) ? 0,

? 0

?

x ? 2x ?1 x ?1

? 0

6

（Ⅰ） ?

? x ? 2 x ? 1 ? 0,
2

? x ? 1 ? 0,

（Ⅱ） ?

? x ? 2 x ? 1 ? 0,
2

? x ? 1 ? 0,

x ? 1+ 2 ,

1－ 2 ≤x<1.

∴ 原不等式的解集为 {x∣x≥1+ 2 或 1－ 2 ≤x<1 }. 三、数轴标根法 形如
f (x) g (x) ? 0

,

f (x) g (x)

? 0

, f（x）·（x）>0 , f（x）·（x）<0 的不等式都可 g g

2x ? 3x ? 2
2

x ? 2x ? 3
2

? 0.

( 2 x ? 1)( x ? 2 ) ( x ? 3 )( x ? 1) ? 0

.

2 1

∴ 原不等式的解集为 {x∣－2≤x<－1 或

1 2

≤x<3}.

f (x) g (x)

<b 的不等式可等价转化为不等式[

f (x) g (x)

－a][

f (x) g (x)

b]<0,这样会更加简捷. 例4 解不等式－1<
3x ? 1 ? 2 x?2 3x ? 1 x? 2
? 0,

? 1 ）（ ·

3x ? 1 x?2

?2

）<0 , －
1 4

( 4 x ? 1)( x ? 5 ) ( x ? 2)
2

<x<5 .

∴ 原不等式的解集为 {x∣－ 五、数形结合法

1 4

<x<5}.

7

k 为何值时，关于 x 的不等式

2 x ? 2 kx ? k
2

4x ? 6x ? 3
2

? 1 的解集是一切实数.

2 x ? 2 kx ? k
2

2 x ? 2 kx ? k
2

4x ? 6x ? 3
2

? 1 恒成立.

∵ 4x2+6x+3>0 ,
?

4x ? 6x ? 3
2

? 1 恒成立

2x2+2kx+k < 4x2+6x+3 恒成立.

x (3 x
2

2 x ? 2 kx ? k
2

4x ? 6x ? 3
2

? 1 的解集为

R.

? 2 x ? 8 )( 1 ? x ? 2 x ) ? 0
2

x ( 3 x ? 4 )( x ? 2 )( 2 x ? 1)( x ? 1) ? 0

。 （*）

x ( 3 x ? 4 )( x ? 2 )( 2 x ? 1)( x ? 1) ? 0

3

4

1 2

)( x ? 1) ? 0 1 2 ? x? 2

4 3

4 3

? x ?1? x ? x ?

? 0

，即 x ? 3 ； ,即 0 ? x ? 1 ；

4

（2） ?

?x ? 1 ? 0 ? x ?0

8

（3） ?

1 ? ?x ? ?0 2 ?x ? 2 ? 0 ?

，即 ? 2 ? x ? ?

1 2

1 2

4 3

.
4 3

1 2

1.2

9

? a ( a ? 0 ), ? a ? ? 0 ( a ? 0 ), 去掉绝对值再解。 ? ? a ( a ? 0 ). ?

x x?2

?

x x?2

x x?2

＜0 ? x(x+2)＜0 ? -2＜x＜0。

?

(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0 ? (3x-4)(x-2)<0 ?

4 3

? x? 2

? x ? ?2 ? ? ( x ? 1) ? ( x ? 2 ) ? 5

10

? ? 2 ? x ? 1, ? ? ( x ? 1) ? ( x ? 2 ) ? 5

? x ? 1, ? ( x ? 1) ? ( x ? 2 ) ? 5 .

x -1 0 2

（图 3） 解: x ? 1 、x ? 2 的几何意义分别为数轴上点 x 到-1 和 2 的距离 x ? 1 - x ? 2 的 几何意义为数轴上点 x 到-1 与 2 的距离之差， 如图可得其最小值为-3， （B） 故选 。 六、 为了更好的掌握含绝对值不等式的解法，下面加几道高考中会遇到的典型 的题型 例 12 解关于 x 的不等式 x ? 3 x ? 8 ? 10
2

2

11

? x ? 3 x ? 8 ? ? 10
2 2

? x ? 3 x ? 8 ? 10

? x ? ? 1或 x ? ? 2 ? ? ?? 6 ? x ? 3

∴ 原不等式的解集为 ( ? 6 , ? 2 ) ? ( ? 1, 3 ) 例 13 解关于 x 的不等式
1 2x ? 3 ? 2

3 ? x? ?2 x ? 3 ? 0 ? ? 2 解：原不等式等价于 ? 1 ? ? 2x ? 3 ? 5 7 ? ? ? x? ? 2 ?4 4

2 2

2 2

1 3 1 3

? x?3

∴ 原不等式的解集为 ( ?

,3 )

1 2

，因 2 x ? 1 ? 0 ，故原不等式的解集是空

1 2

， 原 不 等 式 等 价 于

? ( 2 m ? 1) ? 2 x ? 1 ? 2 m ? 1

12

1 2

1 2

?x 1 ? m ?

x ? m?

? x ? ?3 ，无解 ? ? ( 2 x ? 1) ? x ? ? ( x ? 3 ) ? 1

1 ? 3 1 ?? 3 ? x ? 当 ? 3 ? x ? ，得 ? ，解得： ? ? x ? 2 2 4 2 ? ? ( 2 x ? 1) ? x ? x ? 3 ? 1 ?

1

1 ? 1 ?x ? 当 x ? 时，得 ? ，解得： x ? 2 2 2 ?2 x ? 1 ? x ? x ? 3 ? 1 ?

1

3 4

， )
2

1

1.3

1.3.1 指数不等式的解法 转化为代数不等式
1 .a
f (x)

? a

g (x)

( a ? 1) ? f ( x ) ? g ( x ); (0 ? a ? 1) ? f ( x ) ? g ( x )

a 2 .a

f (x)

? a

g (x)

f (x)

? b ( a ? 0, b ? 0 ) ? f ( x ) ? lg a ? lg b

(1)

?0 . 2 ? x
2
1- x

2

? 2 x ?1

? 0 . 04
1 2
x ? 2 x ?1
2

(2)

2

?1

?(

)

2 x? x

2

? 0

? 0 .2

2

x2-2x-1＜2(指数函数的单调性)

13

x2-2x-3＜0

(x+1)(x-3)＜0

? ? 1- x
2

1- x ?1

2

? 2

?

2 x? x

2

? 1 ? ? 2x ? x
2

2

2x ? x
2

?1?

1 - x (? 0)
2

? 2x ? x ? 1- x
2

? (1 ?
2

1- x )

2

2

?

1- x

2

?1? x

? (1 - x )

? 0 ? x ?1

? f ( x) ? 0 ? f ( x ) ? lo g a g ( x )( a ? 1) ? ? g ( x ) ? 0 ; ? f (x) ? g (x) ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x ) ? lo g a g ( x )(0 ? a ? 1) ? ? g ( x ) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?
2

lo g a

l og a

log ( x ? 1)( x ? 2 )
x ?1

x ?1

? 0 ? log

x ?1

( x ? 2) ? 0

?0 ? x ? 1 ? 1 ? x ? 1 ? 1 ?? 1 ? x ? 0 ? x ? 0 ? ? ? ? ? ?x ? 2 ? 0 或 ?x ? 2 ? 0 ? ?x ? 2 或 ?x ? 2 ?x ? 2 ? 1 ?x ? 2 ? 1 ?x ? 3 ?x ? 3 ? ? ? ?

14

?0 ? x ? 1 ? 1 ?x ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? ?x ? x ? 2 ? 0 或 ?x ? x ? 2 ? 0 ? 2 ? 2 ?x ? x ? 2 ? x ? 1 ?x ? x ? 2 ? x ? 1 ?? 1 ? x ? 0 ?x ? 0 ? ? ? ? x ? ? 1或 x ? 2 或 ? x ? ? 1或 x ? 2 ?? 1 ? x ? 3 ? ? ? x ? ? 1或 x ? 3

1.4

（1）不等式 x ? 1 ? x ? 3 ? a 的解集非空，求 a 的取值范围； （2）不等式 x ? 1 ? x ? 3 ? a 的解集为空集，求 a 的取值范围.

（分析：解集非空即指有解，有意义，解集为 ? 即指无解（恒不成立） ，否定之 后为恒成立，本题实质上是成立与恒成立问题）
?4 x ? ?1 ? ? f ( x) ? x ? 1 ? x ? 3 ? ?2 x ? 2 ?1 ≤ x ≤ 3 ? 4 x ?3 ?

f (x) ? a

∴ a ? ? 4 为所求
x ? ?1 ??2 x ? 2 ? ?1 ≤ x ≤ 3 （2）设 g ( x ) ? x ? 1 ? x ? 3 ? ? 4 ? 2x ? 2 x ?3 ?

15

g (x) ? a

∴ a ≤ 4 为所求 注：① x ? 1 ? x ? 3 可理解为数轴上点 x 到两定点 ? 1 和 3 的距离之和（或差） ， 由几何意义，易得 f ( x ) 与 g ( x ) 的值域； ②不等式 a ? f ( x ) 有解 （有意义或成立）? a ? f ( x ) m in ； 不等式 a ? f ( x ) 成 立（有解或有意义） ? a ? f ( x ) m ax ； 二、含参数不等式的求解问题 探求含参数不等式的解集， 要以分类讨论的思想为主线，以不等式的基本性 质为基础，进行综合演算，有时还需用到换元法、图象法等基本方法. 例 20 值.
? x?0 x?a≥ x ? ? ?x ? a ≥ 0

?0

）的解集为 [ m , n ] ，且 n ? m ? 2 a ，求 a 的

? x≥ 0 ? 或? x ? a ≥ 0 ?x ? a ≥ x2 ?
1 ? 4a 2

m ? ?a ? ? 即有 ? 1 ? 1 ? 4a ?n ? ? 2 ?1 ? ? ∵ n ? m ? 2 a ，∴ ? ? ? 1 ? 4a 2

1?

，即 ? a ≤ x ≤

1?

1 ? 4a 2

? a ? 2a

，解得 a

? 2

a ?0

0

1? 1 ? 4a 2

，∴ x ? a ≤
2

1?

1 ? 4a 2

?1? ∴?a ≤ x ≤ ? ? ?

1 ? 4a ? 1? ? ?a ? ? 2 ?

1 ? 4a 2

16

1? 1 ? 4a 2 1? 1 ? 4a 2

y

y2 ? x

（负值舍去） ，

y2 ?

x?a

?a

O

x0

x

（图 4） 三、含参数不等式恒成立的问题 近年来在各地的模拟试题以及高考试题中屡屡出现含参数的不等式恒成立 的问题， 解决这类问题的基本方法是分离法、 二次函数法、 导数法、 数形结合法， 有时还运用单调性、判别式、均值定理等辅助手段进行综合解题.

x? R

f ( x ) 是定义在 ( ? ? , 3] 上的减函数，已知 f ( a ? sin x ) ≤ f ( a ? 1 ? cos x )
2 2

? a 2 ? 3 ? sin x ? 即? 2 ? a ? a ? 1 ? cos ?

2

x ? sin x ? ? (sin x ?

1 2

) ?
2

9 4

2
? a2 ≤ 2 ? 故有 ? 2 9 ?a ? a ≥ ? 4

1

9 4

，∴ v ( x ) m ax ?
1? 2

9 4

，解得 ? 2 ≤ a ≤

10

∴所求 a 的取值范围是 [ ? 2 ,

1? 2

10

]

17

1.5

?( f ( x) ? 0)? ? ? 定义域 g ( x )型 ? ? g ( x ) ? 0 ? ? ? f (x) ? g (x) ?

f (x) ?

1? x ? 3x ? 2

3x ? 2 ? 0

5 ? 2x ?

x ?1

? x ?1 ? 1? x ? 0 ? 3 ? ? ∴ ?3 x ? 2 ? 1 ? x x ? ? ? 4 ?

∴4 ? x ?1

3

∴原不等式的解集为 ? x |
?

?

? ? x ? 1? 4 ? 3

⑵ ?5 ? 2 x
?

?

x ?1 ? 0

?x ?1 ? ? ? x ?1 ?x ? 2

∴1 ?

x ? 2

∴原不等式的解集为{ x | 1 ? x ? 2 } 变题：将上例中的⑵变形为： 例 23 解不等式
5 ? 2x ? x ?1
? 0

，接下来去根号； （如何去？）平

x ?1

?5 ? 2 x ? 0 ? Ⅰ： ? x ? 1 ? 0 ? 5 ? 2 x ? ( x ? 1) 2 ?

?5 ? 2 x ? 0

18

5 ? ?x ? 2 ? 解Ⅰ： ? x ? 1 ?? 2 ? x ? 2 ? ?

5 ? ?x ? ? 2 解Ⅱ： ? x ?1 ?

x ? 2

x ?1

∴x ? 2

∴原不等式的解集为{ x | x ? 2 }

? f (x) ? 0 ? f (x) ? 0 ? f ( x ) ? g ( x )型 ? ? g ( x ) ? 0 或? ? f ( x ) ? [ g ( x )] 2 ? g ( x ) ? 0 ?

2x ? 3x ? 1 ? 1 ? 2x
2

?2 x ? 3x ? 1 ? 0 ? Ⅰ： ?1 ? 2 x ? 0 ? 2 x 2 ? 3 x ? 1 ? (1 ? 2 x ) 2 ?
2

?2 x ? 3x ? 1 ? 0 Ⅱ： ?1 ? 2 x ? 0 ?
2

? ?x ? ? 解Ⅰ： ? x ? ?? ? ?

? 1或 x ? ? ? 7 2 1 2

1 2
1 ? ? x ? 1或 x ? ? 2 解Ⅱ： ? 1 ?x ? ? ? 2 ?

? x ? 0

1 2

? x ? 0

x ? ?

1 2

∴x ? 0 }

∴原不等式的解集为{ x | x

? 0

? f (x) ? 0 ? f ( x ) ? g ( x )型 ? ? g ( x ) ? 0 ? f ( x ) ? [ g ( x )] 2 ?

2

19

?2 x ? 3x ? 1 ? 0 ? ?1 ? 2 x ? 0 ? 2 x 2 ? 3 x ? 1 ? (1 ? 2 x ) 2 ?
2

?

1 ? ? x ? 1或 x ? 2 ? 1 ? ?x ? ? 2 ? ?x ? ? 7 或x ? 0 ? 2 ?

∴0

? x ?

1 2

∴原不等式的解集为{ x | 0 ? x ? 2 或 x ? 1 } 注：①无理不等式常见的类型有
? f (x) ≥ 0 ? f (x) ? 0 ? g (x) ≥ f (x) ? ? 或 ? g (x) ≥ 0 ； ? g (x) ≥ 0 ? g (x) ≥ f 2 (x) ?

1

f (x) ≥ 0 ? ? g (x) ≤ f ( x) ? ? g ( x) ≥ 0 ； ? g (x) ≤ f 2 (x) ?

②对根式进行换元转化成有理不等式是处理根式的常见方法； ③数形结合解不等式简洁明了. 类似地可解不等式： a ( a ? x ) ? a ? 2 x （ a
?0

） ，答案： { x | x ?

3 4

a}

20

2.1

log log
a

(1 ? x )

(1 ? x ) a

?

lg (1 ? x ) lg a

lg a lg( 1 ? x

?

? lg( 1 ? x ) lg( 1 ? x )
?

? ? lg

(1 ? x ) (1 ? x )

?1

lg (1 ? x ) lg a

lg 1 ? x) （ lg a

?

lg (1 ? x ) ? lg( 1 ? x ) lg a

?

? lg( 1 ? x ) ? lg( 1 ? x ) lg a

? ? lg

(1 ? x ) (1 ? x )

? 0

∴ log a (1 ? x ) ? log a (1 ? x ) 例 2 已知 a,b∈R+，并且 a≠b，求证 a5+b5＞a3b2+a2b3 证明：(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5) =a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3) =(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2) ∵ ∴ a,b∈R+ a+b＞0, a2+ab+b2＞0

21

∴ 即 ∴

(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)＞0 (a5+b5)-(a3b2+a2b3)＞0 a5+b5＞a3b2+a2b3

2.2

2 2 (a ? b)

（2）求证： a 2 ? b 2 ? b 2 ? c 2 ? c 2 ? a 2 ? （3）若 a + b = 1,
2

2 (a ? b ? c)

2

1 2

?

b?

1 2

? 2

a

?b 2

? (

a?b 2

)

2

? 0

a

2

?b 2

2

?|

a?b 2

|?

a?b 2

∴ a2 ? b2 ?

2 2

(a ? b)

（2）同理： b 2 ? c 2 ?

2 2

(b ? c )

c ?a
2

2

?

2 2

(c ? a )

(a ? )? 1 2 2 ) ? (b ? 1 2 ) ?

2 (a ? b ? c)

1 2

( a?

1 2
1 2

?

b?

1 2
1 2

( a ? b ? 1) 2

?

2 2

?1

∴ a? 例4

?

b?

? 2

22

? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin( ? ? ? ) ? 1

? a ? sin
2 2

? ? 2 a sin ?

b ? cos
2 2

2

? ? 2 b cos ?
2

? a ? b ? sin
2

? ? cos ? ? 2 ( a sin ? ? b cos ? )
2

? 2 ? （ a sin ? ? b cos ? ） 2 ? a sin ? ? b cos ? ? 1

2.3

? ???

) ? ( n ? 1)( ) ? ??? 1 2n

1 2

) ? n(

1 6

)?

n 2

? ???

，即原不等式也成立

23

? 为了证明原不等式成立，只需证明 (

? 5 4 ? 5 6 成立

9?

6) ? ( 8 ?
2

7)

2

? 原不等式成立
2.4 数学归纳法

n ? k (n ? N )

N

，n

? 1 ，求证： a

n

?b

n

? a

n ?1

b ? ab

n ?1

.

a
k ?1

?b

k ?1

? a (a

k

? b ) ? ab
k

k

?b

k ?1

? a (a

k ?1

b ? ab

k ?1

) ? ab

k

?b

k ?1

= a k b ? ab k ? ( a 2 b k ?1 ? 2 ab k ? b k ? 1 ) ? a k b ? ab k ? b k ?1 ( a ? b ) 2 ? a k b ? ab k ， 即 a k ?1 ? b k ?1 ? a k b ? ab k 成立. 根据（1）（2） a n ? b n ? a n ?1 b ? ab n ?1 对于大于 1 的自然数 n 都成立. 、 ，

2.5

b a
n

a ?
b a

n

b

n

?1，

? 1，

24

b ? a，

x , y ? ?0 ,1 ?都有 xy ? ax ? by ? 取 x ? 1, y ? 0 及 x ? 0 , y ? 1 ? a ? 1 3 取x ? y ? 1 ? 1? a ? b ? 1 3 而1? a ? b ?1? a ? b ?1? 故得证 1 3 ,b ? 1 3

?

1 3

?

1 3

( 矛盾 )

2.6

1 2 3 4 3 4 ??? 99 100 99 100 1 10

?

???

?

2

1 2

?

1 2 3 2 99 2 1 2 3 4 99 100 1 1 ? ( ） ? （ ） ? ?（ ? ） ? ? ? ? ??? ? ? ? 2 4 100 2 3 4 5 100 101 101 100
2

?A

? 1 10

1 100

?A ?

1 n ? 1 n ?1 ? 1 n ( n ? 1) n) ? ? 1 n
2

?

1 n ( n ? 1) ? n 1 n

? ?

1 n ?1 2 2 n

? ?

1 n 2 n ? n ?1 ? 2( n ? n ? 1)

2( n ? 1 ?

2 n ?1 ?

25

2.7

4 ?

x?

1 x

）y ? (

1 y

) ?

25 4

2

? t， y ? 1 y ) ? (x

1 2
2

? t ，? ( ? 1)( y xy
2

1 2

? t ?

1 2

)

）y ? ( ?
2

? 1)

25 16 ?

25 25 16 ? 1 4 4

?t

2

) ? ? ? (a n ?
2

) ? (n ?

1 n

)

n

? 4y

? 4 x , 求证 : 2 ?

5 ? x? y ? 2?

5 5

2

5 ? x? y ? 2? ? y
2

? 4x ? 4 y

2

? 0，x ? 2 ) ? 4 y (
2

2

( x ? 2) ? 4， 2 2

2

?1 5

1

y ? ? x ? b 直线，两式连立求得 3）（ x ? 2） ? 4 y
2 2

2?

5 ? x? y ? 2?

? 4

2

? 1 sin (? ? x ) ? 2
2

2.8

2

( x ? a） ? x ? b) ? ( x ? c) ? ( x ? d ) （
2 2 2

2

? 4 x ? 2 ?a ? b ? c ? d ?x ? ( a ? b ? c ? d )
2 2 2

? 4 x ? 2 ( 8 ? e ) x ? (16 ? e ) ? 0 ( 恒成立）
2 2

26

∴△≤0 求得 0≤e≤16/5 例 14 设 a i , b i ? R ( i ? 1, 2 ,...... n ) 且 a 1 ? a 2 ? ...... ? a n ? 0 ， 证明
（ a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 ? ...... ? a n b n )
2 2 2 2 2

2

2

2

? ( a 1 ? a 2 ? a 3 ? ...... ? a n )( b1 ? b 2 ? b 3 ? ...... b n )

2

2

2

2

f ( x ) ? ( a1 ?
2

?

n

a i ) x ? 2 ( a 1 b1 ?
2

2

i?2

?

n

a i b i ) x ? ( b1 ?

2

i?2

?b
i?2

n

2 i

)

b1 a1
n

)? 0

n n

? ? ? （ a 1 b1 ? ? a i b i ) ? 4 ( a 1 ? ? a i )( b1 ? ? b i ) ? 0 4
2 2 2 2 2 i?2 i?2 i?2

∴命题得证

（此公式称为 Aczel 不等式）

2.9

2 3

7 27

, z≤
1 3

1 3

2 3

??

z ?

? ? (0 ? ? ?

1 3

, z 为松弛变量

)

≤(x+y)z+
?( 1 3
? 7 27 ?

1 2 （ x ? y ) (1 ? 2 z ) 4
1 2 2 1 ( ? ? ) ( ? 2? ) 4 3 3
?

? ? )(
?
2

2 3
?

??)?
?
2

?

7 27

?

2

(

1 2

??) ?

7 27
27

4

2

2

7 27

2

2.10

xy ? 2 yz x ? y ? z
2 2 2

2

?

5 2

2 2

?

2

?

? 2 ? xy ? 2 1 ? ? yz

1? ? ? 2 ?
1 ? ? ? 4?
? ?
1 5

2

1 1 5

?

5 2

2.11

3 3 2

sinA+sinB=2sin
? 2 cos

A? B 2

cos

A? B 2

C 2

cos

A? B 2

? 2 cos

C 2

(等号成立时 A=B)

28

?
3
3 3 2

sinA+sinB+sinC 取最大值为
∴ sinA+sinB+sinC≤
3 3 2

29

? x ? 2 m ? 1, ? x ? m ? 2.

30

（ 1 a ? 1 b ? 1 c ）
abc

a
2

? 4 a ? b ? 6 b ? c ? 12 c ? 49 ? 0 。
2 2

∴ ( a ? 2 ) 2 ? (b ? 3) 2 ? ( c ? 6 ) 2 ? 0 ∴ a ? 2 ? 0， b ? 3 ? 0， c ? 6 ? 0 即 a=2，b=3，c=6
（ 1 a ? 1 b ? 1 c ）
abc

?1

? x ? 2 y ? 4k , ?2 x ? y ? 2k ? 1

1 2

<k<1.

31

1 12 ? x ?1 ?1 x x ?1 ? 1 6

1 12 1 ( t ? 1) t
1 12 ? (t t ?1
2

? 1) t

?

1 6

( t ? 0， t ? 1)

?

?

1 6

( t ? 0， t ? 1)

∴ 6 ? ( t ? 1) t ? 12 ( t ? 0， t ? 1) 解得 2 ? t ? 3 从而 2 ?
x ?1 ? 3

2b ? 2c a ? 1 ，求证 b
2

? 4 ac ( a , b , c ? R )

2 2
2 2 ) ? b(?
2

2 2

) ? c ? 0 ，这表明二次方程 ax

2

? bx ? c ? 0

，从而需要判别式 ? ? 0 ，即 b 2 ? 4 ac 成立。

32

（2）设孔明同学暑假期间卖出报纸 x 份，由（1）可知 x ? 1000 ，依题意得：
?1 0 0 0 ? 0 .1 ? 0 .2 ( x ? 1 0 0 0 ) ? 1 4 0 ? ?1 0 0 0 ? 0 .1 ? 0 .2 ( x ? 1 0 0 0 ) ? 2 0 0

，解得 1200 ? x ? 1500 .

33

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