tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

论中学中不等式的解法和证明


JI A N G S U
本 科

UNIVERSITY
毕 业 论 文

论中学中不等式的解法与证明
The discuss of inequality solution and proof on middle school

学院名称: 专业班级: 学生姓名: 指导教师姓名: 指导教师职

称:

理学院 数师 0801 汤彩云 程悦玲 讲师

2012



4 月





第一章 中学常见不等式的解法??????????????????6
1.1 分式不等式或高次不等式的解法 ????????????????6 1.1.1 分式不等式的解法 ?????????????????????6 1.1.2 高次不等式的解法 ?????????????????????8 1.2 含绝对值不等式的解法 ????????????????????9 1.3 指数或对数不等式的解法 ???????????????????13 1.3.1 指数不等式的解法 ?????????????????????13 1.3.2 对数不等式的解法?????????????????????14 1.4 含参数不等式的解法 1.5 无理不等式的解法 ????????????????????15 ?????????????????????18

第二章 不等式证明的常用方法…????????????????21
2.1 比较法 ??????????????????????????21 2.2 综合法???????????????????????????22 2.3 分析法???????????????????????????23 2.4 数学归纳法?????????????????????????24 2.5 反证法???????????????????????????24 2.6 放缩法 ??????????????????????????25 2.7 换元法??????????????????????????26 2.8 构造法??????????????????????????26 2.9 松弛量法?????????????????????????27 2.10 参数法 ?????????????????????????28 2.11 局部变动法 ???????????????????????28

第三章 不等式题目中的常用思想 ???????????? ??30 结论?????????????????????????? 34 致谢 ?????????????????????????????34 参考文献 ???????????????????????????35
2

论中学中不等式的解法与证明

专业班级:数师 0801 指导教师:程悦玲

学生姓名:汤彩云 职称:讲师

摘要 不等式在中学数学中占有着一定的地位, 不等式的解法与证明是中学不等
式学习的主要内容。而数学教学的最终目的是让学生形成一定的数学素养和能 力,数学习题是数学教学、数学学习、数学研究的主要途径。因而在本文中,我 总结了一些在数学解题中会常用的解不等式的方法以及证明不等式的方法, 从而使不等式的解法与证明方法更加的完善, 有利于我们进一步的探讨和研究不 等式并且使中学教师进一步系统化这一部分内容, 更有利于在教学过程中做到全 面清晰。 研究主要分为四部分进行: 第一部分:引言。对国内外研究现状,本文研究的目的意义,研究的方法创 新之处进行了介绍。 第二部分:中学常见不等式的解法。例如:含绝对值不等式的解法、含参数 不等式的解法、高次不等式的解法、分式不等式的解法、指数不等式的解法、对 数不等式的解法等等。 第三部分:不等式证明的常用方法。例如:作差法、作商法、反证法、放缩 法、数学归纳法、判别式法等等。 第四部分:不等式题目中的常用思想。从读清题意,分析特点,纵横联系, 寻找方法四个方面入手,研究中学不等式题目中教学以及解题的数学思想。

关键词:不等式

解法

证明

3

The discuss of inequality solution and proof on middle school Abstract: Inequality in middle school mathematics plays a certain low, the solution of
inequality and proved to be the main contents of learning high school inequality. Mathematics teaching the ultimate goal is to enable students to form a certain mathematical accomplishment and ability, mathematical problem is mathematics teaching, mathematics learning mathematics study, the main way. So in this article, I summarize some in mathematical problem solving will commonly used for solving inequality method and prove the inequality method, so that the solution of inequality and the method of proof is more perfect, is helpful for us to further study and discussion about inequality and the middle school teachers' further systematic content of this one part, more helpful in teaching process to clear. Research is mainly divided into four parts: The first part: Introduction. On the research status at home and abroad, this paper studies the purpose and significance, research method innovation are introduced. The second part: Secondary common solutions to inequality. For example: inequalities with absolute value of the solution, the solution of high order parametric inequalities, the solution of inequality, fractional inequality solution, exponential, logarithmic inequality method of solving inequality method of solving etc.. The third part: The inequality proof method. For example: make difference law, commercial law, the reduction to absurdity, scaling method, mathematical induction, discriminant method etc.. Part fourth: Solve the inequality problem of mathematical thought. From the analysis of characteristics, read it, and contact, search for method four aspects of inequality problems in teaching middle school, and problem solving of mathematical thought.

Key words: Inequality

Solution

Prove

4

引 言
数学学习的重要内容就是数量关系,而数量关系就是相等与不等两种。因而 不等式是我们中学学习的重中之重。在现实生活中,不等关系虽然要比相等关系 更普遍的存在,但人们对它的认识却是很迟,直到 17 世纪以后,有关不等式的 理论才逐渐被人们发现和认识,在数学基础理论中占有一席之地。 因此, 本人想对不等式的解法和证明作一个系统性的研究(主要针对中学学 习中会涉及到的一些常见不等式) 。此外关于不等式的另外一个研究领域——不 等式的性质,本文中就不说了。这样将不等式的解法与证明系统化之后,有利于 青年教师在教学的过程中更加全面,也有利于自身对不等式的认识更上一个层 次。 本文的研究还增加了研究不等式题目中的常用思想。 我认为这一块对于中学 老师教学和学生学习不等式这一部分内容具有重大的意义。 因为虽然学习的意义 不在于解题, 但解题却是目前所能想到的考核学生学习情况的最直接最有效的方 法。

5

第一章 1.1

中学常见不等式的解法

分式不等式或高次不等式的解法

1.1.1 分式不等式的解法
f (x) ? 0或 f (x) ? 0 (其中

分式不等式就是形如

? (x)

? (x)

f ( x ) 和 ? ( x ) 为整式且 ? ( x ) ? 0 )的不等式。

分式不等式的解法一般都是通过转化成整式不等式来解决, 不可以盲目的 进行去分母。而是要经过移项,通分,分解因式,标根等步骤来解决。转化 的方法可分为以下几种: 一、转化为整式不等式
f (x) g (x) f (x) g (x) ? 0

?

f(x)·(x)>0 g

? 0

?

f(x)·(x)<0 g
? 0

例1

解不等式

1 ? 2x x?3

解: 原不等式等价于(1-2x) x+3)<0 ( 即

(2x-1) x+3)>0 (
1 2

∴ 原不等式的解集为 {x∣x> 二、转化为不等式组
f (x) g (x) f (x) g (x)
2

或 x<-3}

? 0

?

? f ( x ) ? 0, ? ? g ( x ) ? 0, ? f ( x ) ? 0, ? ? g ( x ) ? 0,



? f ( x ) ? 0, ? ? g ( x ) ? 0, ? f ( x ) ? 0, ? ? g ( x ) ? 0,

? 0

?



例2

解不等式

x ? 2x ?1 x ?1

? 0

解: 原不等式等价于

6

(Ⅰ) ?

? x ? 2 x ? 1 ? 0,
2

? x ? 1 ? 0,

(Ⅱ) ?

? x ? 2 x ? 1 ? 0,
2

? x ? 1 ? 0,

解(Ⅰ)得:

x ? 1+ 2 ,

解(Ⅱ)得:

1- 2 ≤x<1.

∴ 原不等式的解集为 {x∣x≥1+ 2 或 1- 2 ≤x<1 }. 三、数轴标根法 形如
f (x) g (x) ? 0

,

f (x) g (x)

? 0

, f(x)·(x)>0 , f(x)·(x)<0 的不等式都可 g g

以用数轴标根法来求解. 例3 解不等式
2x ? 3x ? 2
2

x ? 2x ? 3
2

? 0.

解: 原不等式等价于
( 2 x ? 1)( x ? 2 ) ( x ? 3 )( x ? 1) ? 0

.

如图 1, 数轴上的根为-2,- 1, 3.
2 1

∴ 原不等式的解集为 {x∣-2≤x<-1 或

1 2

≤x<3}.

评注: 利用数轴标根法解分式不等式,要注意分母不能为零. 四、等价转化法 形如 a <
f (x) g (x)

<b 的不等式可等价转化为不等式[

f (x) g (x)

-a][

f (x) g (x)



b]<0,这样会更加简捷. 例4 解不等式-1<
3x ? 1 ? 2 x?2 3x ? 1 x? 2
? 0,

解: 原不等式等价于( 整理得

? 1 )( ·

3x ? 1 x?2

?2

)<0 , -
1 4

( 4 x ? 1)( x ? 5 ) ( x ? 2)
2

解得

<x<5 .

∴ 原不等式的解集为 {x∣- 五、数形结合法

1 4

<x<5}.

7

例5

k 为何值时,关于 x 的不等式

2 x ? 2 kx ? k
2

4x ? 6x ? 3
2

? 1 的解集是一切实数.

解:由题意知,即求 k 的值,使关于 x 的不等式
2 x ? 2 kx ? k
2

2 x ? 2 kx ? k
2

4x ? 6x ? 3
2

? 1 恒成立.

∵ 4x2+6x+3>0 ,
?

4x ? 6x ? 3
2

? 1 恒成立



2x2+2kx+k < 4x2+6x+3 恒成立.

即 2x2+(6-2k)x+3-k >0 恒成立. 令 f (x) =2x2+(6-2k)x+3-k , 由图 2 知, f (x)>0 恒成立 ? △= ( 6 ? 2 k ) 2 ? 4 ? 2 ? ( 3 ? k ) ? 0 . 解得 1<k<3 . ∴ 当 1<k<3 时, 关于 x 的不等式 1.1.2 高次不等式的解法 之所以把高次不等式和分式不等式放在一节内容里面来说是因为他们的 解法有相同的地方。 本文给出一种初等的代数方法求解一类一元高次不等式。 与上文中数轴标根法类似。 例6 解不等式
x (3 x
2

2 x ? 2 kx ? k
2

4x ? 6x ? 3
2

? 1 的解集为

R.

? 2 x ? 8 )( 1 ? x ? 2 x ) ? 0
2

解: 原不等式同解于 先解不等式

x ( 3 x ? 4 )( x ? 2 )( 2 x ? 1)( x ? 1) ? 0

。 (*)

x ( 3 x ? 4 )( x ? 2 )( 2 x ? 1)( x ? 1) ? 0

同解于 x ( x ? )( x ? 2 )( x ?
3

4

1 2

)( x ? 1) ? 0 1 2 ? x? 2

由于 x ? (1) x ?
4 3

4 3

? x ?1? x ? x ?

? 0

,即 x ? 3 ; ,即 0 ? x ? 1 ;

4

(2) ?

?x ? 1 ? 0 ? x ?0

8

(3) ?

1 ? ?x ? ?0 2 ?x ? 2 ? 0 ?

,即 ? 2 ? x ? ?

1 2



所以, (*)的解是 ? 2 ? x ? ?

1 2

或 0 ? x ? 1或 x ?

4 3

.
4 3

那么,原不等式的解是 ? 2 ? x ? ?

1 2

或 0 ? x ? 1或 x ?



1.2

含绝对值不等式的解法

一、 公式法:即利用 x ? a 与 x ? a 的解集求解。 1、绝对值的几何意义: x 是指数轴上点 x 到原点的距离; x 1 ? x 2 是指数 轴上 x 1 , x 2 两点间的距离.。 2、 x ? a 与 x ? a 型的不等式的解法。 当 a ? 0 时,不等式 x ? a 的解集是 ?x x ? a , 或 x ? ? a ? 不等式 x ? a 的解集是 ?x ? a ? x ? a ? ; 当 a ? 0 时,不等式 x ? a 的解集是 ?x x ? R ? 不等式 x ? a 的解集是 ? ; 3、 ax ? b ? c 与 ax ? b ? c 型的不等式的解法。 把 ax ? b 看作一个整体时, 可化为 x ? a 与 x ? a 型的不等式来求解。 当 c ? 0 时,不等式 ax ? b ? c 的解集是 ?x ax ? b ? c , 或 ax ? b ? ? c ? 不等式 ax ? b ? c 的解集是 ?x ? c ? ax ? b ? c ? ; 当 c ? 0 时,不等式 ax ? b ? c 的解集是 ?x x ? R ? 不等式 a ? bx ? c 的解集是 ? ; 例 7 解不等式 x ? 2 ? 3

9

分析:这类题可直接利用上面的公式求解,这种解法还运用了整体思想,如 把“ x ? 2 ”看着一个整体。答案为 ?x ? 1 ? x ? 5 ? 。(解略)
? a ( a ? 0 ), ? a ? ? 0 ( a ? 0 ), 去掉绝对值再解。 ? ? a ( a ? 0 ). ?

二、 定义法:即利用

例 8 解不等式

x x?2

?

x x?2



分析:由绝对值的意义知, a ? a ? a≥0, a ? ? a ? a≤0。 解:原不等式等价于
x x?2

<0 ? x(x+2)<0 ? -2<x<0。

三、 平方法:解 f ( x ) ? g ( x ) 型不等式。 例 9 解不等式 x ? 1 ? 2 x ? 3 。 解:原不等式 ? ( x ? 1) 2 ? ( 2 x ? 3) 2 ? (2 x ? 3) 2 ? ( x ? 1) 2 ? 0
?

(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0 ? (3x-4)(x-2)<0 ?

4 3

? x? 2



说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。 四、 分类讨论法:即通过合理分类去绝对值后再求解。 例 10 解不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 。 分析:由 x ? 1 ? 0 , x ? 2 ? 0 ,得 x ? 1 和 x ? -2 。? 2 和1 把实数集合分成 三个区间,即 x ? ? 2 , ? 2 ? x ? 1 , x ? 1 ,按这三个区间可去绝对值,故可按 这三个区间讨论。 解:当 x<-2 时,得 ?
? x ? ?2 ? ? ( x ? 1) ? ( x ? 2 ) ? 5



解得: ? 3 ? x ? ? 2

10

当-2≤x≤1 时,得 ?

? ? 2 ? x ? 1, ? ? ( x ? 1) ? ( x ? 2 ) ? 5



解得: ? 2 ? x ? 1

当 x ? 1 时,得 ?

? x ? 1, ? ( x ? 1) ? ( x ? 2 ) ? 5 .

解得:1 ? x ? 2

综上,原不等式的解集为 ?x ? 3 ? x ? 2 ?。 说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集; (2)这种解法又叫“零点分区间法” ,即通过令每一个绝对值为零求得零 点,求解应注意边界值。 五、 几何法:即转化为几何知识求解。 例 11 围为 ( ) (A)k<3 (B)k<-3 (C)k≤3 (D) k≤-3 对任何实数 x ,若不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? k 恒成立,则实数 k 的取值范

分析:设 y ? x ? 1 ? x ? 2 , 则原式对任意实数 x 恒成立的充要条件是 k ? y m in , 于是题转化为求 y 的最小值。
x -1 0 2

(图 3) 解: x ? 1 、x ? 2 的几何意义分别为数轴上点 x 到-1 和 2 的距离 x ? 1 - x ? 2 的 几何意义为数轴上点 x 到-1 与 2 的距离之差, 如图可得其最小值为-3, (B) 故选 。 六、 为了更好的掌握含绝对值不等式的解法,下面加几道高考中会遇到的典型 的题型 例 12 解关于 x 的不等式 x ? 3 x ? 8 ? 10
2

解:原不等式等价于 ? 10 ? x ? 3 x ? 8 ? 10 ,
2

11

即?

? x ? 3 x ? 8 ? ? 10
2 2

? x ? 3 x ? 8 ? 10

? x ? ? 1或 x ? ? 2 ? ? ?? 6 ? x ? 3

∴ 原不等式的解集为 ( ? 6 , ? 2 ) ? ( ? 1, 3 ) 例 13 解关于 x 的不等式
1 2x ? 3 ? 2

3 ? x? ?2 x ? 3 ? 0 ? ? 2 解:原不等式等价于 ? 1 ? ? 2x ? 3 ? 5 7 ? ? ? x? ? 2 ?4 4

例 14

解关于 x 的不等式 2 x ? 1 ? x ? 2
2 2

解:原不等式可化为 ( 2 x ? 1) ? ( x ? 2 ) ∴ ( 2 x ? 1) ? ( x ? 2 ) ? 0
2 2

即 ( x ? 3 )( 3 x ? 1) ? 0
1 3 1 3

解得: ?

? x?3

∴ 原不等式的解集为 ( ?

,3 )

例 15

解关于 x 的不等式 2 x ? 1 ? 2 m ? 1 ( m ? R )
1 2

解:⑴ 当 2 m ? 1 ? 0 时,即 m ? 集。 ⑵

,因 2 x ? 1 ? 0 ,故原不等式的解集是空

当 2m ? 1 ? 0 时 , 即 m ?

1 2

, 原 不 等 式 等 价 于

? ( 2 m ? 1) ? 2 x ? 1 ? 2 m ? 1

解得:1 ? m ? x ? m

12

综上,当 m ?

1 2

时,原不等式解集为空集;当 m ?

1 2

时,不等式解集为

?x 1 ? m ?
例 16

x ? m?

解关于 x 的不等式 2 x ? 1 ? x ? x ? 3 ? 1
? x ? ?3 ,无解 ? ? ( 2 x ? 1) ? x ? ? ( x ? 3 ) ? 1

解:当 x ? ? 3 时,得 ?

1 ? 3 1 ?? 3 ? x ? 当 ? 3 ? x ? ,得 ? ,解得: ? ? x ? 2 2 4 2 ? ? ( 2 x ? 1) ? x ? x ? 3 ? 1 ?

1

1 ? 1 ?x ? 当 x ? 时,得 ? ,解得: x ? 2 2 2 ?2 x ? 1 ? x ? x ? 3 ? 1 ?

1

综上所述,原不等式的解集为 ( ?

3 4

, )
2

1

1.3

指数或对数不等式的解法

1.3.1 指数不等式的解法 转化为代数不等式
1 .a
f (x)

? a

g (x)

( a ? 1) ? f ( x ) ? g ( x ); (0 ? a ? 1) ? f ( x ) ? g ( x )

a 2 .a

f (x)

? a

g (x)

f (x)

? b ( a ? 0, b ? 0 ) ? f ( x ) ? lg a ? lg b

例 17
(1)

解不等式:

?0 . 2 ? x
2
1- x

2

? 2 x ?1

? 0 . 04
1 2
x ? 2 x ?1
2

(2)

2

?1

?(

)

2 x? x

2

? 0

解 (1)原不等式可化为 ( 0 . 2 )

? 0 .2

2

x2-2x-1<2(指数函数的单调性)

13

x2-2x-3<0

(x+1)(x-3)<0

所以原不等式的解为-1<x<3。 (2)原不等式可化为 2
? ? 1- x
2

1- x ?1

2

? 2

?

2 x? x

2

? 1 ? ? 2x ? x
2

2

2x ? x
2

?1?

1 - x (? 0)
2

? 2x ? x ? 1- x
2

? (1 ?
2

1- x )

2

2

?

1- x

2

?1? x

? (1 - x )

? 0 ? x ?1

注 函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。 1.3.2 对数不等式的解法

转化为代数不等式
? f ( x) ? 0 ? f ( x ) ? lo g a g ( x )( a ? 1) ? ? g ( x ) ? 0 ; ? f (x) ? g (x) ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x ) ? lo g a g ( x )(0 ? a ? 1) ? ? g ( x ) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?
2

lo g a

l og a

例 18

解不等式 logx+1(x -x-2)>1。

解 [法一] 原不等式同解于
log ( x ? 1)( x ? 2 )
x ?1

x ?1

? 0 ? log

x ?1

( x ? 2) ? 0

?0 ? x ? 1 ? 1 ? x ? 1 ? 1 ?? 1 ? x ? 0 ? x ? 0 ? ? ? ? ? ?x ? 2 ? 0 或 ?x ? 2 ? 0 ? ?x ? 2 或 ?x ? 2 ?x ? 2 ? 1 ?x ? 2 ? 1 ?x ? 3 ?x ? 3 ? ? ? ?

所以原不等式的解为 x>3。 [法二] 原不等式同解于 logx+1(x2-x-2)>logx+1(x+1)

14

?0 ? x ? 1 ? 1 ?x ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? ?x ? x ? 2 ? 0 或 ?x ? x ? 2 ? 0 ? 2 ? 2 ?x ? x ? 2 ? x ? 1 ?x ? x ? 2 ? x ? 1 ?? 1 ? x ? 0 ?x ? 0 ? ? ? ? x ? ? 1或 x ? 2 或 ? x ? ? 1或 x ? 2 ?? 1 ? x ? 3 ? ? ? x ? ? 1或 x ? 3
所以原不等式的解为 x>3。 注 解这类对数不等式,要注意真数为正数,并须对底数的分类讨论。

1.4

含参数不等式的解法

一、含参数不等式存在解的问题 如果不等式 f ( x ) ? 0 (或 f ( x ) ? 0 )的解集是 D, x 的某个取值范围是 E,且 D ? E ? ? ,则称不等式在 E 内存在解(或称有解,有意义).

例 19

(1)不等式 x ? 1 ? x ? 3 ? a 的解集非空,求 a 的取值范围; (2)不等式 x ? 1 ? x ? 3 ? a 的解集为空集,求 a 的取值范围.

(分析:解集非空即指有解,有意义,解集为 ? 即指无解(恒不成立) ,否定之 后为恒成立,本题实质上是成立与恒成立问题)
?4 x ? ?1 ? ? f ( x) ? x ? 1 ? x ? 3 ? ?2 x ? 2 ?1 ≤ x ≤ 3 ? 4 x ?3 ?

解: (1)设



易求得 f ( x ) ? [ ? 4, 4 ] ,
f (x) ? a

有解 ? f ( x ) m in ? a ,

∴ a ? ? 4 为所求
x ? ?1 ??2 x ? 2 ? ?1 ≤ x ≤ 3 (2)设 g ( x ) ? x ? 1 ? x ? 3 ? ? 4 ? 2x ? 2 x ?3 ?



易求得 g ( x ) ? [ 4, ∞ ) ,
15

g (x) ? a

无解 ? g ( x ) ≥ a 恒成立 ? g ( x ) m in ≥ a

∴ a ≤ 4 为所求 注:① x ? 1 ? x ? 3 可理解为数轴上点 x 到两定点 ? 1 和 3 的距离之和(或差) , 由几何意义,易得 f ( x ) 与 g ( x ) 的值域; ②不等式 a ? f ( x ) 有解 (有意义或成立)? a ? f ( x ) m in ; 不等式 a ? f ( x ) 成 立(有解或有意义) ? a ? f ( x ) m ax ; 二、含参数不等式的求解问题 探求含参数不等式的解集, 要以分类讨论的思想为主线,以不等式的基本性 质为基础,进行综合演算,有时还需用到换元法、图象法等基本方法. 例 20 值.
? x?0 x?a≥ x ? ? ?x ? a ≥ 0

如果不等式 x ? a ≥ x ( a

?0

)的解集为 [ m , n ] ,且 n ? m ? 2 a ,求 a 的

解法一:不等式

? x≥ 0 ? 或? x ? a ≥ 0 ?x ? a ≥ x2 ?
1 ? 4a 2

解得: ? a ≤ x ? 0 或 0 ≤ x ≤
m ? ?a ? ? 即有 ? 1 ? 1 ? 4a ?n ? ? 2 ?1 ? ? ∵ n ? m ? 2 a ,∴ ? ? ? 1 ? 4a 2

1?

,即 ? a ≤ x ≤

1?

1 ? 4a 2

? a ? 2a

,解得 a

? 2

a ?0

解法二: 设 x ? a ? t ,则 x ? t 2 ? a 且 t ≥
0

原不等式化为 t ≥ t 2 ? a ? t 2 ? t ? a ≤ 0 ∴0 ≤ t ≤
1? 1 ? 4a 2

,∴ x ? a ≤
2

1?

1 ? 4a 2

?1? ∴?a ≤ x ≤ ? ? ?

1 ? 4a ? 1? ? ?a ? ? 2 ?

1 ? 4a 2

以下同解法一

16

解法三: 分别作出 y12 ? x ? a ( y ≥ 0 )与 y 2 ? x 的图象如下 由 x ? a ? x ,得 x 0 ?
1? 1 ? 4a 2 1? 1 ? 4a 2

y

y2 ? x

(负值舍去) ,

y2 ?

x?a

易知欲使 y1 ≥ y 2 ,只须: ? a ≤ x ≤ x 0 ? 以下同解法一

?a

O

x0

x

(图 4) 三、含参数不等式恒成立的问题 近年来在各地的模拟试题以及高考试题中屡屡出现含参数的不等式恒成立 的问题, 解决这类问题的基本方法是分离法、 二次函数法、 导数法、 数形结合法, 有时还运用单调性、判别式、均值定理等辅助手段进行综合解题.

例 21
x? R

f ( x ) 是定义在 ( ? ? , 3] 上的减函数,已知 f ( a ? sin x ) ≤ f ( a ? 1 ? cos x )
2 2



恒成立,求实数 a 的取值范围.

解:依题可得 a ? 1 ? cox 2 x ? a 2 ? sin x ? 3 恒成立
? a 2 ? 3 ? sin x ? 即? 2 ? a ? a ? 1 ? cos ?

2

x ? sin x ? ? (sin x ?

1 2

) ?
2

9 4

恒成立

令 u ( x ) ? 3 ? sin x ,易知 u ( x ) m in ? 2 再令 v ( x ) ? ? (sin x ? ) 2 ?
2
? a2 ≤ 2 ? 故有 ? 2 9 ?a ? a ≥ ? 4

1

9 4

,∴ v ( x ) m ax ?
1? 2

9 4

,解得 ? 2 ≤ a ≤

10

∴所求 a 的取值范围是 [ ? 2 ,

1? 2

10

]

17

1.5

无理不等式的解法
?( f ( x) ? 0)? ? ? 定义域 g ( x )型 ? ? g ( x ) ? 0 ? ? ? f (x) ? g (x) ?

一、

f (x) ?

在解无理不等式的时候,关键是找出与其同解的有理不等式组,而解 有理不等式组(如:一元一次不等式组、一元二次不等式组和一元高次 不等式组等等)都是我们比较拿手的。简言之: 无理不等式 ? 有理不等式 即:通常所说的无理不等式的有理化解法。 例 22 解不等式⑴ 1 ? x ?
1? x ? 3x ? 2

3x ? 2 ? 0



5 ? 2x ?

x ?1

解:⑴移项:

? x ?1 ? 1? x ? 0 ? 3 ? ? ∴ ?3 x ? 2 ? 1 ? x x ? ? ? 4 ?

∴4 ? x ?1

3

∴原不等式的解集为 ? x |
?

?

? ? x ? 1? 4 ? 3

⑵ ?5 ? 2 x
?

?

x ?1 ? 0

?x ?1 ? ? ? x ?1 ?x ? 2

∴1 ?

x ? 2

∴原不等式的解集为{ x | 1 ? x ? 2 } 变题:将上例中的⑵变形为: 例 23 解不等式
5 ? 2x ? x ?1
? 0

首先要考虑根式有意义,即 5 ? 2 x

,接下来去根号; (如何去?)平

方! 直接平方后得到的不等式是否与原不等式等价?注意: 解不等式所进行的 变换一定要保证是等价变换。我们需要对
x ?1

的符号进行讨论。

解:原不等式的解集等价于下面两个不等式组解集的并集:
?5 ? 2 x ? 0 ? Ⅰ: ? x ? 1 ? 0 ? 5 ? 2 x ? ( x ? 1) 2 ?

或 Ⅱ: ? x ? 1 ? 0 ?

?5 ? 2 x ? 0

18

5 ? ?x ? 2 ? 解Ⅰ: ? x ? 1 ?? 2 ? x ? 2 ? ?

5 ? ?x ? ? 2 解Ⅱ: ? x ?1 ?

即: 1 ?

x ? 2



x ?1

∴x ? 2

∴原不等式的解集为{ x | x ? 2 }

二、 例 24

? f (x) ? 0 ? f (x) ? 0 ? f ( x ) ? g ( x )型 ? ? g ( x ) ? 0 或? ? f ( x ) ? [ g ( x )] 2 ? g ( x ) ? 0 ?

解不等式

2x ? 3x ? 1 ? 1 ? 2x
2

解:原不等式的解集等价于下面两个不等式组解集的并集:
?2 x ? 3x ? 1 ? 0 ? Ⅰ: ?1 ? 2 x ? 0 ? 2 x 2 ? 3 x ? 1 ? (1 ? 2 x ) 2 ?
2



?2 x ? 3x ? 1 ? 0 Ⅱ: ?1 ? 2 x ? 0 ?
2

? ?x ? ? 解Ⅰ: ? x ? ?? ? ?

? 1或 x ? ? ? 7 2 1 2

1 2
1 ? ? x ? 1或 x ? ? 2 解Ⅱ: ? 1 ?x ? ? ? 2 ?

? x ? 0

即: ?

1 2

? x ? 0



x ? ?

1 2

∴x ? 0 }

∴原不等式的解集为{ x | x

? 0

一定要注意 g (x)的正负的讨论,并且原不等式的解集应当是与其等价的两 个不等式组解集的并集,尤其要注意结合数轴找出它们的并集。但是,如果 将上述中的“>”改为“<”的话,那么又是另一种题型,我们就来看看:

三、

? f (x) ? 0 ? f ( x ) ? g ( x )型 ? ? g ( x ) ? 0 ? f ( x ) ? [ g ( x )] 2 ?
解不等式 2 x ? 3 x ? 1 ? 1 ? 2 x
2

例 25

解:原不等式等价于下列不等式组:

19

?2 x ? 3x ? 1 ? 0 ? ?1 ? 2 x ? 0 ? 2 x 2 ? 3 x ? 1 ? (1 ? 2 x ) 2 ?
2

?

1 ? ? x ? 1或 x ? 2 ? 1 ? ?x ? ? 2 ? ?x ? ? 7 或x ? 0 ? 2 ?

∴0

? x ?

1 2

或x ? 1

∴原不等式的解集为{ x | 0 ? x ? 2 或 x ? 1 } 注:①无理不等式常见的类型有
? f (x) ≥ 0 ? f (x) ? 0 ? g (x) ≥ f (x) ? ? 或 ? g (x) ≥ 0 ; ? g (x) ≥ 0 ? g (x) ≥ f 2 (x) ?

1





f (x) ≥ 0 ? ? g (x) ≤ f ( x) ? ? g ( x) ≥ 0 ; ? g (x) ≤ f 2 (x) ?

②对根式进行换元转化成有理不等式是处理根式的常见方法; ③数形结合解不等式简洁明了. 类似地可解不等式: a ( a ? x ) ? a ? 2 x ( a
?0

) ,答案: { x | x ?

3 4

a}

20

第二章

不等式证明的常用方法

不等式的证明在高考和各种竞赛中经常出现,而且不等式证明的方法种类繁 多,不胜枚举,不等式的证明方法除了作差和比较两种方法以外,还有很多,了 解并掌握这些方法有助于我们不等式的证明和学习。

2.1

比较法

作差作商后的式子变形,判断正负或与 1 比较大小 作差比较法-----要证明 a>b,只要证明 a-b>0。 作商比较法---已知 a,b 都是正数,要证明 a>b,只要证明 a/b>1 例1 已知 0<x<1 求证 log a (1 ? x ) ? log a (1 ? x )
log log
a

做商:

(1 ? x )

(1 ? x ) a

?

lg (1 ? x ) lg a

lg a lg( 1 ? x

?

? lg( 1 ? x ) lg( 1 ? x )
?

? ? lg

(1 ? x ) (1 ? x )

?1

做差: log a (1 ? x ) ? log a (1 ? x ) ?

lg (1 ? x ) lg a

lg 1 ? x) ( lg a

?

lg (1 ? x ) ? lg( 1 ? x ) lg a

?

? lg( 1 ? x ) ? lg( 1 ? x ) lg a

? ? lg

(1 ? x ) (1 ? x )

? 0

∴ log a (1 ? x ) ? log a (1 ? x ) 例 2 已知 a,b∈R+,并且 a≠b,求证 a5+b5>a3b2+a2b3 证明:(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5) =a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3) =(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2) ∵ ∴ a,b∈R+ a+b>0, a2+ab+b2>0

又因为 a≠b,所以(a-b)2>0
21

∴ 即 ∴

(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0 (a5+b5)-(a3b2+a2b3)>0 a5+b5>a3b2+a2b3

2.2

综合法

利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质,推导出所要证明的不等式,这 个证明方法叫综合法。 例3 设 a, b, c ? R, (1)求证: a 2 ? b 2 ?
2 2 (a ? b)

(2)求证: a 2 ? b 2 ? b 2 ? c 2 ? c 2 ? a 2 ? (3)若 a + b = 1,
2

2 (a ? b ? c)

求证: a ?
2

1 2

?

b?

1 2

? 2

证: (1)∵

a

?b 2

? (

a?b 2

)

2

? 0



a

2

?b 2

2

?|

a?b 2

|?

a?b 2

∴ a2 ? b2 ?

2 2

(a ? b)

(2)同理: b 2 ? c 2 ?

2 2

(b ? c )



c ?a
2

2

?

2 2

(c ? a )

三式相加: a 2 ? b 2 ? b 2 ? c 2 ? c 2 ? a 2 ? (3)由幂平均不等式:
(a ? )? 1 2 2 ) ? (b ? 1 2 ) ?

2 (a ? b ? c)

1 2

( a?

1 2
1 2

?

b?

1 2
1 2

( a ? b ? 1) 2

?

2 2

?1

∴ a? 例4

?

b?

? 2

已知 a 2 ? b 2 ? 1 ,求证: a sin ? ? b sin ? ? 1

证明:方法一.令 a ? sin ? , b ? cos ?
22

? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin( ? ? ? ) ? 1

方法二
? a ? sin
2 2

? ? 2 a sin ?

b ? cos
2 2

2

? ? 2 b cos ?
2

? a ? b ? sin
2

? ? cos ? ? 2 ( a sin ? ? b cos ? )
2

? 2 ? ( a sin ? ? b cos ? ) 2 ? a sin ? ? b cos ? ? 1

2.3

分析法
定义:从求证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,把证明这个

不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题, 如果能够肯定这些条件都已 具备,那么就可以判定所证的不等式成立,这种方法叫做分析法。 分析法的证明思路: “执果索因”即从求证的不等式出发,不断地用充分条 件来代替前面的不等式,直至找到已知不等式为止。 分析法是证明不等式时的一种常用基本方法,在证题不知从何下手时,有时 可以运用分析法而获得解决。在“执果索因”递推过程中,要学会经常小结常用 技巧(通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母、乘方、开方) 。
例 5 已知 n ? N , 求证: n (1 ? ? ? ? n 2 1 4 1 4 1 2n ? 1 ? 1 4 ? ? ???? ? n( 1 3 上式左边 上式右边 只需证: 及 1 3 ? 1 5 n 2 ? n 2 ?( ? 1 2 1 2 1 3 ? ???? ? 1 n ?1 ? 1 5 1 5 1 2n 1 2n 1 6 ? ??? 1 2n ? ??? (1 ? 1 3 1 2n ? 1 1 2n ? 1 1 4 ? ? 1 5 ? ??? 1 2n ? 1 )? ? 1 1 1 1 ( ? ? ???? ) n 2 4 2n 1 4 ???? 1 2n )

证:本题只需证

? ???

) ? ( n ? 1)( ) ? ??? 1 2n

1 2

) ? n(

1 6

)?

n 2

? ???

以上两不等式显然成立

,即原不等式也成立

例6

求证 3 ? 6 ? 2 2 ? 7

证:? 9 ? 6 ? 0, 8 ? 7 ? 0
23

? 为了证明原不等式成立,只需证明 (
即 15 ? 2 54 ? 15 ? 2 56 , 只需证明 54 ? 56 , 54 ? 56
? 5 4 ? 5 6 成立

9?

6) ? ( 8 ?
2

7)

2

? 原不等式成立
2.4 数学归纳法

对于含有 n ( n ? N ) 的不等式,当 n 取第一个值时不等式成立,如果使不等式在
n ? k (n ? N )

时成立的假设下,还能证明不等式在 n ? k ? 1 时也成立,那么肯定

这个不等式对 n 取第一个值以后的自然数都能成立。 例7 已知: a , b ? R ? , n ?
N

,n

? 1 ,求证: a

n

?b

n

? a

n ?1

b ? ab

n ?1

.

证明 (1)当 n ? 2 时, a 2 ? b 2 ? ab ? ab ? 2 ab ,不等式成立; (2)若 n ? k 时, a k ? b k ? a k ?1 b ? ab k ?1 成立,则
a
k ?1

?b

k ?1

? a (a

k

? b ) ? ab
k

k

?b

k ?1

? a (a

k ?1

b ? ab

k ?1

) ? ab

k

?b

k ?1

= a k b ? ab k ? ( a 2 b k ?1 ? 2 ab k ? b k ? 1 ) ? a k b ? ab k ? b k ?1 ( a ? b ) 2 ? a k b ? ab k , 即 a k ?1 ? b k ?1 ? a k b ? ab k 成立. 根据(1)(2) a n ? b n ? a n ?1 b ? ab n ?1 对于大于 1 的自然数 n 都成立. 、 ,

2.5
例8

反证法
已知 a ? b ? 0 , n 是大于 1 的整数,求证: n a ? n b . 假设 则 即
b a
n

证明

a ?
b a

n

b



n

?1,

? 1,

24



b ? a,

这与已知矛盾,所以 n a ? n b
例 .9 证明 .对任意实数 1 3 证:若不然,那么存在 实数 a , b 使得对任意 1 3 a 、 b 必存在 x ? ?0 ,1 ?、 y ? ?0 ,1 ?

使 xy ? ax ? by ?

x , y ? ?0 ,1 ?都有 xy ? ax ? by ? 取 x ? 1, y ? 0 及 x ? 0 , y ? 1 ? a ? 1 3 取x ? y ? 1 ? 1? a ? b ? 1 3 而1? a ? b ?1? a ? b ?1? 故得证 1 3 ,b ? 1 3

?

1 3

?

1 3

( 矛盾 )

2.6

放缩法
1 2 3 4 3 4 ??? 99 100 99 100 1 10

例 10

求证:

?

???

?

证:令 A ? A
2

1 2

?

1 2 3 2 99 2 1 2 3 4 99 100 1 1 ? ( ) ? ( ) ? ?( ? ) ? ? ? ? ??? ? ? ? 2 4 100 2 3 4 5 100 101 101 100
2

?A

? 1 10

1 100

?A ?

注:放缩常用技巧
1 n ? 1 n ?1 ? 1 n ( n ? 1) n) ? ? 1 n
2

?

1 n ( n ? 1) ? n 1 n

? ?

1 n ?1 2 2 n

? ?

1 n 2 n ? n ?1 ? 2( n ? n ? 1)

2( n ? 1 ?

2 n ?1 ?

25

2.7

换元法
设 x , y ? R ,且 x ? y ? 1,求证( 1 2 ? x? (
4 ?

例 11

x?

1 x

)y ? (

1 y

) ?

25 4

证:令 x ? 1 x t ? ? 3 2 1 4 当x ? y ? 1 2 t
2

? t, y ? 1 y ) ? (x

1 2
2

? t ,? ( ? 1)( y xy
2

1 2

? t ?

1 2

)

)y ? ( ?
2

? 1)

25 16 ?

25 25 16 ? 1 4 4

?t

时,等号成立 a 1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ? 1则 1 an
2

推广:更一般的有如果 ( a1 ? 例 12 1 a1 )a 2 ? ( 1 a2

) ? ? ? (a n ?
2

) ? (n ?

1 n

)

n

实数 x , y 满足 x

? 4y

? 4 x , 求证 : 2 ?

5 ? x? y ? 2?

5 5

证明: )、令 x ? y ? k , y ? k ? x 代入 ? ? 0 ? 2 ? 1 2) x
2

5 ? x? y ? 2? ? y
2

? 4x ? 4 y

2

? 0,x ? 2 ) ? 4 y (
2

2

( x ? 2) ? 4, 2 2

2

?1 5

1

y ? ? x ? b 直线,两式连立求得 3)( x ? 2) ? 4 y
2 2

2?

5 ? x? y ? 2?

? 4

令 x ? 2 ? 2 cos ? , y ? sin ? ? x ? y ? 2 cos ? ? sin ? ? 2 ? ?2? 5 ? x? y ? 2? 5 2
2

? 1 sin (? ? x ) ? 2
2

2.8
例 13

构造法
已知实数 a,b,c,d,e 满足 a+b+c+d+e=8. 且 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? e 2 ? 16 ,求 e 的范围。

解: f ( x ) ?
2

( x ? a) ? x ? b) ? ( x ? c) ? ( x ? d ) (
2 2 2

2

? 4 x ? 2 ?a ? b ? c ? d ?x ? ( a ? b ? c ? d )
2 2 2

? 4 x ? 2 ( 8 ? e ) x ? (16 ? e ) ? 0 ( 恒成立)
2 2

26

∴△≤0 求得 0≤e≤16/5 例 14 设 a i , b i ? R ( i ? 1, 2 ,...... n ) 且 a 1 ? a 2 ? ...... ? a n ? 0 , 证明
( a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 ? ...... ? a n b n )
2 2 2 2 2

2

2

2

? ( a 1 ? a 2 ? a 3 ? ...... ? a n )( b1 ? b 2 ? b 3 ? ...... b n )

2

2

2

2

证明:构造关于 x 的二次函数
f ( x ) ? ( a1 ?
2

?

n

a i ) x ? 2 ( a 1 b1 ?
2

2

i?2

?

n

a i b i ) x ? ( b1 ?

2

i?2

?b
i?2

n

2 i

)

由 f(x)图像开口向上,抛物线总是会有 x 轴上方 的图形 又f (
b1 a1
n

)? 0

故 f(x)=0 有实根
n n

? ? ? ( a 1 b1 ? ? a i b i ) ? 4 ( a 1 ? ? a i )( b1 ? ? b i ) ? 0 4
2 2 2 2 2 i?2 i?2 i?2

∴命题得证

(此公式称为 Aczel 不等式)

2.9

松弛量法
例 15 已知 x,y,z≥0,且 x+y+z=1,求证:0≤yz+zx+xy-2xyz≤ 证明:不妨设 x≥y≥z 则 x+y≥
2 3

7 27



, z≤
1 3

1 3

可令 x+y=

2 3

??

z ?

? ? (0 ? ? ?

1 3

, z 为松弛变量

)

此时,yz+zx+xy-2xyz=z(x+y)+xy(1-2z)

≤(x+y)z+
?( 1 3
? 7 27 ?

1 2 ( x ? y ) (1 ? 2 z ) 4
1 2 2 1 ( ? ? ) ( ? 2? ) 4 3 3
?

? ? )(
?
2

2 3
?

??)?
?
2

?

7 27

?

2

(

1 2

??) ?

7 27
27

4

2

2

又 yz+zx+xy ? 3 3 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3 ? xyz ? 3 ≥2xyz 即 0≤yz+zx+xy-2xyz≤
7 27

2



以上过程也是常用的“均值换元”

2.10

参数法
xy ? 2 yz x ? y ? z
2 2 2

例 16

若 x,y,z>0,求证:
2

?

5 2

证明: 分母 ? ( x ? ? y ) ? (1 ? ? ) y ? z
2 2

?

2

?

? 2 ? xy ? 2 1 ? ? yz

1? ? ? 2 ?
1 ? ? ? 4?
? ?
1 5

左?
2

1 1 5

?

5 2

2.11

局部变动法

例 17 在△ABC 中,求证:sinA+sinB+sinC≤

3 3 2

证明:暂且固定 C 不动,让 A,B 变动,但 A+B+C= ? ∴A+B= ? —C

sinA+sinB=2sin
? 2 cos

A? B 2

cos

A? B 2

C 2

cos

A? B 2

? 2 cos

C 2

(等号成立时 A=B)

28

即只有当 A=B 时,sinA+sinB+sinC 才能取最大值。 由 A,B,C 对称性易知当 A=B=C 时,即 A=B=C=
?
3
3 3 2

时,

sinA+sinB+sinC 取最大值为
∴ sinA+sinB+sinC≤
3 3 2

29

第三章 不等式题目中的常用思想
一、数形结合思想 例1 把不等式组的解集表示在数轴上,如图所 . (图 5)

示,那么这个不等式组的解集是

分析:根据数轴上所表示的范围,即可写出不等式组的解集.

解:由图可知两个不等式的解集分别为 x≥-2 与 x>1,所以该不等式组的解 集应为 x>1. 点评: 数形结合思想是一种重要的数学思想, 在解不等式组问题时常常用到, 在解不等式组的过程中要体会它的应用. 二、函数思想 例 2 求证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2) 分析:本题用作差法、分析法、综合法都容易证,但根据式子特点,构造二 次函数也可以。 证明:构造 f(x)= (a2+b2) x2-2(ac+bd)+(c2+d2)=(ax-c)2+(bx-d)2≥0. 且 a2+b2>0,由二次函数理论得 Δ=4(ac+bd)2-4(a2+b2)(c2+d2)≤0, 从而(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2). 另解:若结合向量知识,令 α=(a,b),β=(c,d),则由|α·β|≤|α||β|两边平方 即得证. 点评:这题体现了函数思想,函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题, 经常利用的性质是:函数的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图 像变换等.构造函数或向量,关键在于对结论形式的充分认识,在于所学知识 的完整掌握,在此渗透数学思想用利于培养学生思维的深刻性与创新性. 三、分类讨论思想 例3 A.3 如果不等式组 ? B.1
? x ? 2 m ? 1, ? x ? m ? 2.

的解集是 x>-1,那么 m 的值是( C.-1 D.-3



分析:因为 m 的值不确定,所以 2m+1 与 m+2 的大小无法比较,因此需从 解集为 x>-1 入手将原题进行分类讨论.

30

解:若 2m+1= -1,即 m=-1 时,m+2=1,这时不等式组的解集是 x>1, 与题设矛盾,故 m≠-1;若 m+2=-1,即 m=-3 时,2m+1=-5,这时不等 式组的解集是 x>-1,与题设相符,因此 m=-3,故应选 D. 点评:当问题存在多种不同情况时,要特别注意分类加以讨论,否则易出错 而漏解. 四、转化与化归思想 例 4. 已知 a,b,c 为正整数,且 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 48 ? 4 a ? 6 b ? 12 c ,求
( 1 a ? 1 b ? 1 c )
abc

的值。

解: 因为不等式两边均为正整数, 所以不等式 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 48 ? 4 a ? 6 b ? 12 c 与 不等式 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 48 ? 1 ? 4 a ? 6 b ? 12 c 等价,这个等价不等式又可转化为
a
2

? 4 a ? b ? 6 b ? c ? 12 c ? 49 ? 0 。
2 2

∴ ( a ? 2 ) 2 ? (b ? 3) 2 ? ( c ? 6 ) 2 ? 0 ∴ a ? 2 ? 0, b ? 3 ? 0, c ? 6 ? 0 即 a=2,b=3,c=6
( 1 a ? 1 b ? 1 c )
abc

?1

评注: 将等式与不等式对应等价转化,是转化数学问题的常用且非常有效的手 段。 五、整体思想 例5 已知 ?
? x ? 2 y ? 4k , ?2 x ? y ? 2k ? 1

且-1<x-y<0,则 k 的取值范围是________.

分析:要求 k 的取值范围,需要根据已知条件构造关于 k 的不等式组,观察 方程组可知,将方程组中的两个方程左右两边直接相减,可得到 x-y=- 2k+1,然后整体代入不等式组-1<x-y<0,即可得到关于 k 的不等式组, 解关于 k 的不等式组即可. 解 : 将 方 程 组 中 的 两个 方 程 组 相 减 , 得 x - y= - 2k+1. 将 其 整 体 代 入 -1<x+y<0,得-1<-2k+1<0.解不等式组,得
1 2

<k<1.

点评:本题在求解过程中,两次运用了整体思想,一次是将方程组中的两个 方程相减;一次是将-2k+1 整体代入,这样比求出方程组的解后再代入要
31

简捷.在解决类似问题时,应注意整体思想的灵魂运用. 六、换元思想 例6 解不等式
1 12 ? x ?1 ?1 x x ?1 ? 1 6

解:若令 x ? 1 ? t 则 x ? t 2 ? 1 ∵ x ? ? 1 ,且 x ? 0 ∴t ? 0 且t ? 1 ∴不等式化为 即
1 12 1 ( t ? 1) t
1 12 ? (t t ?1
2

? 1) t

?

1 6

( t ? 0, t ? 1)

?

?

1 6

( t ? 0, t ? 1)

∴ 6 ? ( t ? 1) t ? 12 ( t ? 0, t ? 1) 解得 2 ? t ? 3 从而 2 ?
x ?1 ? 3

即4 ? x ?1 ? 9 ∴不等式的解集是 ?x 3 ? x ? 8 ? 点评: 通过换元, 把代数问题转化为三角问题, 实现章节之间的沟通与转化、 渗透换元思想开阔了学生视野、培养同学们思维的概括性与简洁性. 七、方程思想 例 7. 已知
2b ? 2c a ? 1 ,求证 b
2

? 4 ac ( a , b , c ? R )

分析:结论可以转化为 b 2 ? 4 ac ? 0 ,恰好是一元二次方程有实根的必要条件。 解: 由已知可化为 a ( ? 有实根 ? 八、建模思想 例9 初中毕业了,孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取 140~200 元钱,买
2 2
2 2 ) ? b(?
2

2 2

) ? c ? 0 ,这表明二次方程 ax

2

? bx ? c ? 0

,从而需要判别式 ? ? 0 ,即 b 2 ? 4 ac 成立。

一份礼物送给父母.已知:在暑假期间,如果卖出的报纸不超过 1000 份, 则每卖出一份报纸可得 0.1 元;如果卖出的报纸超过 1000 份,则超过部分 ....

32

每份可得 0.2 元. (1)请说明:孔明同学要达到目的,卖出报纸的份数必须超过 1000 份. (2)孔明同学要通过卖报纸赚取 140~200 元,请计算他卖出报纸的份数在 哪个范围内. 分析:孔明同学准备卖报纸赚取 140~200 元钱,但是如果卖出的报纸不超 过 1000 份,每份只得 0.1 元,卖 1000 分最多得 0 ?1 ? 1 0 0 0 ? 1 0 0 元,因此孔 明同学要达到目的,卖出报纸的份数必须超过 1000 份。设孔明同学利用暑 假卖出报纸的份数 x ,可以赚取 0 ?1 ? 1 0 0 0 ? 0 ?1 ? ( x ? 1 0 0 0 ) 元,又因为赚取的 钱在 140~200 内,可列不等式组解决。 解: (1)因为 0 ?1 ? 1 0 0 0 ? 1 0 0< 14 0 ,所以因此孔明同学要达到目的,卖出报 纸的份数必须超过 1000 份。

(2)设孔明同学暑假期间卖出报纸 x 份,由(1)可知 x ? 1000 ,依题意得:
?1 0 0 0 ? 0 .1 ? 0 .2 ( x ? 1 0 0 0 ) ? 1 4 0 ? ?1 0 0 0 ? 0 .1 ? 0 .2 ( x ? 1 0 0 0 ) ? 2 0 0

,解得 1200 ? x ? 1500 .

答:孔明同学暑假期间卖出报纸的份数在 1200~1500 份之间. 点评:当实 际问题中存在不等关系时,可根据不等关系建立不等式(组)模型,通过解 不等式(组)来解决问题

33

结 论

不等式是中学数学学习的重要部分,本文通过对不等式的解法、证明、数学思想 三方面的研究, 希望为以后中学教师在教学过程中提供一个相对完整有条理的依 据,便于教师教学生学。当然由于本人知识水平有限,本文中还有一些不足的地 方,接受批评指正。





在论文的准备和写作过程中,笔者得到了程老师的悉心指导和热情帮助,特 别是她敏锐的学术眼光和严谨的治学态度使我受益颇深.同时,我也要感谢我的 其他老师和同学们, 是他们给予我的帮助让我走过大学的风风雨雨,在那些最艰 苦的日子里是他们激励我、鼓励我,让我奋发图强. 我也将以更多的努力来回报他们,我相信我会做得更好!

34

参考文献:
[1]李长明,周焕山.初等数学研究[M].北京:高等教育出版社,1995,253-263. [2]叶慧萍.反思性教学设计-不等式证明综合法[J].数学教学研 究,2005,10(3):89-91. [3]胡炳生,吴俊.现代数学观点下的中学数学[M].北京:高等教育出版 社,1998,45-50. [4]宋庆.一个分式不等式的再推广[J].中等数学,2006,45(5):29-31. [5]蒋昌林.也谈一类分式不等式的统一证明[J].数学通报,2005,15(2):75-79. [6]匡继昌.常用不等式[M].济南:山东科技出版社,2004,23-34. [7]张新全.两个不等式的证明[J].数学通报,2006,45(4):54-55. [8]李铁烽.构造向量证三元分式不等式[J].数学通报,2004,(2):101-102. [9]胡如松.垂足三角形的几个有趣性质及其猜想[J].福建中学数学, 2004,(5):23-25. [10]马雪雅.加权几何平均不等式[J].数学杂志,2006,26(3):319-322.

35


推荐相关:

论中学中不等式的解法和证明

JI A N G S U 本科 UNIVERSITY 毕业论文 论中学中不等式的解法与证明 The discuss of inequality solution and proof on middle school 学院名称: 专业班级: ...


高中数学不等式解法与不等式证明与综合问题

高中数学不等式解法与不等式证明与综合问题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。几...另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等 特级教师 王新敞 wxckt@126.com...


浅谈中学数学中不等式的解法

浅谈中学数学中不等式的解法_数学_高中教育_教育专区。浅谈中学数学中不等式的...a ? b ,且 a , b 是正整数,所以要证明以上不等式成立,只需证明 ln ?1...


高中数学 不等式的解法举例解析

不等式的解法举例不等式渗透在中学数学各个分支中,应用范围十分广泛,诸如集合问题...无一不与不等式有着密切的联系,许多问题,最终都可归结为不 等式的求解或证明...


高中数学 不等式的解法举例解析

不等式的解法举例不等式渗透在中学数学各个分支中,应用范围十分广泛,诸如集合问题...无一不与不等式有着密切的联系,许多问题,最终都可归结为不 等式的求解或证明...


不等式的证明和解法的研究

中学数学中不等式及其解法的研究摘要:不等式的证明和解法中学数学的重要内容和强大工具,在中学数学中应用广泛,有着不 可替代的地位,应用不等式的思想进行解题,...


不等式证明

下列函数中,最小值为 2 A. C.y=ex+2e﹣x B. D.y=log2x+2logx2 2...【考点】不等式的证明. 【专题】综合题;不等式的解法及应用. 【分析】(Ⅰ)...


不等式,推理与证明,知识点

掌握各类型不等式的解法 4、不等式的证明 线性规划...不论 x 为何值,二次三项式 ax2+bx+c 恒为正...中有___个元素. x+1 14.不等式 >0 的解集是...


高中 不等式知识总结

综合法证明不等式,注意掌 握变形过程的一些常用...a a?m ? 考点二 不等式的解法 (1)整式不等式...无论此类题目是 以什么实际问题提出, 其求解的格式...


高中数学精品例析:常见解不等式的解法

不等式的解法高考要求 不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛,又是学习...(1)用定义证明 f(x)在[-1,1]上是增函数;(2)解不等式新疆源头学子 小屋...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com