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100测评网莱州一中2006级高三数学寒假作业八


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莱州一中 2006 级高三数学寒假作业八
一.选择题: 1.f(x) =cos4x+sin4x 的最小正周期是( )

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A.0<d<4 C.4<d<6

B.d≥4 D.以上结果都不对

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? A. 4

? B. 2

? C. 3
B. 2

D.
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?x ? 1 a?b?c ? ? 9.已知 x , y 满足 ? x ? y ? 4 且目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 7,最小值为1,则 a ?ax ? by ? c ? 0 ?


2.已知 0 ? a ? b ,且 a+b=1,则下列不等式中,正确的是( A. log2 a ? 0 C. log2 a ? log2 b ? ?2
a ?b



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A.-2;

B.2;

C.1;

D.-1;

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?

1 2

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10.给出定义:若 m ?

1 1 ? x ? m ? (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记作 ?x?= m. 2 2
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D. 2

a b ? b a

?

1 2

在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? x ? ?x? 的四个命题:
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3.设 a 、 b 是非零向量, x ? R, 若函数f ( x) ? ( xa ? b) ? (a ? xb) 的图象是一条直线,则必有(
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①函数 y= f ( x) 的定义域为 R,值域为 ?0, ? ; ②函数 y= f ( x) 的图像关于直线 x ? ( k ? Z )对称; 2 ? 2?
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? 1?

k

A. a ? b

B. a // b

C. | a |?| b |

D. | a |?| b |
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③函数 y= f ( x) 是周期函数,最小正周期为 1; ④函数 y= f ( x) 在 ??
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? 1 1? , ? 上是增函数。 ? 2 2?

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4.从一块短轴长为 2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形,其面积的取值范围是[3b2,4b2],则 这一椭圆离心率 e 的取值范围是( )
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其中正确的命题的序号是( ) A. ① B. ②③

C ①②③

D ①④

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A. [

5 3 , ] 3 2

B. [

3 2 , ] 3 2

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C. [

5 2 , ] 3 2

D. [

3 3 , ] 3 2

11、已知直线 mx ? 4 y ? 2 ? 0 与 2 x ? 5 y ? n ? 0 互相垂直,垂足为 p ?1, p ? ,则 m ? n ? p 的值是
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A.24

B.20
?

C. 0

D.-4

5.已知{ an }是等差数列, a1 ? 15 , S5 ? 55 ,则过点 p(3, a2 ) , Q(4, a4 ) 的直线的斜率为( ) A.4 1 B. 4 C.-4 1 D.- 4

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12、已知 m、n、s、t ? R , m ? n ? 2 ,

m n 4 ? ? 9 其中 m、n 是常数,且 s ? t 的最小值是 ,满足 s t 9

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条件的点 (m, n) 是椭圆 A. x ? 2 y ? 1 ? 0
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x2 y 2 ? ? 1 一弦的中点,则此弦所在的直线方程为 4 2
B. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0

6.已知 AB 是椭圆

x2 y2 ? =1 的长轴,若把线段 AB 五等份,过每个分点作 AB 的垂线,分别与椭圆的 25 9


上半部分相交于 C、 D、 E、 G 四点, 设 F 是椭圆的左焦点, 则 FC ? FD ? FE ? FG 的值是 (
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A.15

B.16

C.18

D.20

x2 y2 ? ?1 2 2 13. 已知 P( x, y) 是抛物线 y ? ?8x 的准线与双曲线 8 的两条渐近线所围成的三角形平面区
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2 2 7. 将直线 2 x ? y ? ? ? 0 沿 x 轴向左平移 1 个单位,所得直线与圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 相切,则实数

域内(含边界)的任意一点,则 z ? 2 x ? y 的最大值为
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? 的值为 A.-3 或 7 B.-2 或 8 C.0 或 10 D.1 或 11 8.在坐标平面内,与点 A(1,2)的距离为 1,且与点 B(5,5)的距离为 d 的直线共有 4 条,则 d 的取 值范围是
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14.在算式“9×△+1×□=48”中的△,□中,分别填入两个正整数,使它们的倒数和最小,则这两个 数构成的数对为(△,□)应为 。
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15. 对任意两个集合 M、N,定义:

M ? N ? ?x x ? M且x ? N?

, M?N ? ?M ? N ? ? ?N ? M ? ,设 ________________。
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M ? y y ? x 2 , x ? R , N ? ?y y ? 3sin x, x ? R?,则 M?N ?

?

?
x

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21.(本小题 13 分) 椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,离心率 e =

2 ,椭圆上的点到焦点的 2

?1? 16 已知函数 f (x)= ? ? -log2x 正实数 a、b、c 成公差为正数的等差数列,且满足 ?3?
f (a) f (b)f (c)<0,若实数 d 是方程 f (x)=0 的一个解,那么下列四个判断: ① d<a; ②d>b; ③d<c; ④d>c 中有可能成立的为
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最短距离为 1-e, 直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m) ,与椭圆 C 交于相异两点 A、B,且 AP
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=? PB .

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(1)求椭圆方程;
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(2)若 OA+? OB = 4OP ,求 m 的取值范围.

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22.(本小题 14 分)设 M 是由满足下列条件的函数 f ( x) 构成的集合:“①方程 f ( x) ? x ? 0 有实数根; (填序号)
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②函数 f ( x) 的导数 f ?( x) 满足 0 ? f ?( x) ? 1 ”
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三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题 12 分)已知 ?ABC 中, | AC |? 1 , ?ABC ? 120 , ?BAC ? ? ,
0
? ?
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(1)判断函数 f ( x) ?

x sin x ? 是否是集合 M 中的元素,并说明理由; 2 4

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记 f (? ) ? AB? BC ,(1)求 f (? ) 关于 ? 的表达式;(2)求 f (? ) 的值域; 18. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的首项为 a1 , 前 n 项和为 Sn , 且点 (

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(2)若集合 M 中的元素具有下面的性质:“若 f ( x) 的定义域为 D,则对于任意 [m, n] ? D ,都存在

p 为常数, n ? N ? 。 (1)求数列 {an } 的通项公式;
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?

Sn B S , n ?1 ) 在直线 y ? x ? p 上, 120° n n ?1


x0 ? [m, n] ,使得等式 f (m) ? f (n) ? (m ? n) f ?( x0 ) 成立”
试用这一性质证明:方程 f ( x) ? x ? 0 只有一个实数根;
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(2)当 a1 ? 10 ,且 S10 是 S n 中的一个最大项,试求 p 的取值范围。

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(3)设 x1 是方程 f ( x) ? x ? 0 的实数根,求证:对于 f ( x) 定义域中的任意的 x 2 , x3 ,当 | x2 ? x1 |? 1 且
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19.(本小题 12 分)已知 m ? R , a ? (?1, x2 ? m) , b ? (m ? 1, 1 ) , c ? (? m, x ) . x x?m (1)当 m ? ?1 时,求使不等式 a ? c ? 1 成立的 x 的取值范围;
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| x3 ? x1 |? 1时, | f ( x3 ) ? f ( x2 ) |? 2
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(2)求使不等式 a ? b ? 0 成立的 x 的取值范围.

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20.(本小题 12 分)为贯彻落实党的十七大精神,加快新农村建设步伐,某镇政府投资 c 万元生产甲乙两种商
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品,据测算,投资甲商品 x 万元,可获得利润 P=x 万元,投资乙商品 x 万元可获得利润 Q=40 x 万元,如果 镇政府聘请你当投资顾问, 试问对甲乙两种商品的资金投入分别是多少万元?才能获得最大利润,获得最 大利润是多少万元?
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一.选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的 1.f(x) =cos4x+sin4x 的最小正周期是( )
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A.

? 4

B.

? 2

C.

? 3

D.
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2.已知 0 ? a ? b ,且 a+b=1,则下列不等式中,正确的是( A. log2 a ? 0 B. 2
a ?b



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1 ? 2

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a b ? b a

C. log2 a ? log2 b ? ?2

D. 2

?

1 2

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①函数 y= f ( x) 的定义域为 R,值域为 ?0, ? ; ②函数 y= f ( x) 的图像关于直线 x ? ( k ? Z )对称; 2 ? 2?
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? 1?

k

3.设 a 、 b 是非零向量, x ? R, 若函数f ( x) ? ( xa ? b) ? (a ? xb) 的图象是一条直线,则必有(
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③函数 y= f ( x) 是周期函数,最小正周期为 1; ④函数 y= f ( x) 在 ??
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? 1 1? , ? 上是增函数。 ? 2 2?

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A. a ? b

B. a // b

C. | a |?| b |

D. | a |?| b |
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其中正确的命题的序号是( ) A. ① B. ②③
2 2

C ①②③

D ①④

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4.从一块短轴长为 2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形,其面积的取值范围是[3b ,4b ],则 这一椭圆离心率 e 的取值范围是( )
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11、已知直线 mx ? 4 y ? 2 ? 0 与 2 x ? 5 y ? n ? 0 互相垂直,垂足为 p ?1, p ? ,则 m ? n ? p 的值是 A.24 B.20
?

A. [

5 3 , ] 3 2

B. [

3 2 , ] 3 2

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C. [

5 2 , ] 3 2

D. [

3 3 , ] 3 2

C. 0

D.-4

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12、已知 m、n、s、t ? R , m ? n ? 2 ,

5.已知{ an }是等差数列, a1 ? 15 , S5 ? 55 ,则过点 p(3, a2 ) , Q(4, a4 ) 的直线的斜率为( ) A.4 1 B. 4 C.-4 1 D.- 4

m n 4 ? ? 9 其中 m、n 是常数,且 s ? t 的最小值是 ,满足 s t 9

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条件的点 (m, n) 是椭圆
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x2 y 2 ? ? 1 一弦的中点,则此弦所在的直线方程为 4 2
B. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0

6.已知 AB 是椭圆

x2 y2 ? =1 的长轴,若把线段 AB 五等份,过每个分点作 AB 的垂线,分别与椭圆的 25 9


A. x ? 2 y ? 1 ? 0

上半部分相交于 C、D、E、G 四点,设 F 是椭圆的左焦点,则 FC ? FD ? FE ? FG 的值是(
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x2 y2 ? ?1 2 2 13.已知 P( x, y) 是抛物线 y ? ?8x 的准线与双曲线 8 的两条渐近线所围成的三角形平面
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A.15

B.16

C.18

D.20

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7. 将直线 2 x ? y ? ? ? 0 沿 x 轴向左平移 1 个单位,所得直线与圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 相切,则实数
2 2

区域内(含边界)的任意一点,则 z ? 2 x ? y 的最大值为

? 的值为
A.-3 或 7 B.-2 或 8 C.0 或 10 D.1 或 11 8.在坐标平面内,与点 A(1,2)的距离为 1,且与点 B(5,5)的距离为 d 的直线共有 4 条,则 d 的取 值范围是 A.0<d<4 B.d≥4 C.4<d<6 D.以上结果都不对
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14.在算式“9×△+1×□=48”中的△,□中,分别填入两个正整数,使它们的倒数和最小,则这两个 数构成的数对为(△,□)应为 15. 对任意两个集合 M、N,定义:

M ? N ? ?x x ? M且x ? N?



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, M?N ? ?M ? N ? ? ?N ? M ? ,设 ________________。
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M ? y y ? x 2 , x ? R , N ? ?y y ? 3sin x, x ? R?,则 M?N ?

?

?

?x ? 1 a?b?c ? ? 9.已知 x , y 满足 ? x ? y ? 4 且目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 7,最小值为1,则 a ?ax ? by ? c ? 0 ?
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?1? 16.已知函数 f (x)= ? ? -log2x 正实数 a、b、c 成公差为正数的等差数列,且满足 f (a) f (b)f (c)<0,若实 ?3?
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x

A.-2;

B.2;

C.1;

D.-1;

数 d 是方程 f (x)=0 的一个解,那么下列四个判断:
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10.给出定义:若 m ?

1 1 ? x ? m ? (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记作 ?x?= m. 2 2
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① d<a; ②d>b; ③d<c; ④d>c 中有可能成立的为
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(填序号)

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在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? x ? ?x? 的四个命题:

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一.选择题: 1.f(x) =cos4x+sin4x 的最小正周期是( )

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A.-2; 10.给出定义:若 m ?

B.2;

C.1;

D.-1;

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? A. 4

? B. 2

? C. 3

1 1 ? x ? m ? (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记作 ?x?= m. 2 2
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D.
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在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? x ? ?x? 的四个命题: )
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2.已知 0 ? a ? b ,且 a+b=1,则下列不等式中,正确的是( A. log2 a ? 0 B. 2
a ?b

?

1 2



C. log2 a ? log2 b ? ?2

D. 2

a b ? b a

?

1 2

①函数 y= f ( x) 的定义域为 R,值域为 ?0, ? ; ②函数 y= f ( x) 的图像关于直线 x ? ( k ? Z )对称; 2 ? 2?
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? 1?

k

3.设 a 、 b 是非零向量, x ? R, 若函数f ( x) ? ( xa ? b) ? (a ? xb) 的图象是一条直线,则必有(
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③函数 y= f ( x) 是周期函数,最小正周期为 1; ④函数 y= f ( x) 在 ??
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? 1 1? , ? 上是增函数。 ? 2 2?

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A. a ? b

B. a // b

C. | a |?| b |

D. | a |?| b |
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其中正确的命题的序号是( ) A. ① B. ②③
2 2

C ①②③

D ①④

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4.从一块短轴长为 2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形,其面积的取值范围是[3b ,4b ],则 这一椭圆离心率 e 的取值范围是( )
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11、已知直线 mx ? 4 y ? 2 ? 0 与 2 x ? 5 y ? n ? 0 互相垂直,垂足为 p ?1, p ? ,则 m ? n ? p 的值是 A.24 B.20
?

5 3 , ] A. [ 3 2

3 2 , ] B. [ 3 2

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5 2 , ] C. [ 3 2

3 3 , ] D. [ 3 2

C. 0

D.-4

12、已知 m、n、s、t ? R , m ? n ? 2 ,
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m n 4 ? ? 9 其中 m、n 是常数,且 s ? t 的最小值是 ,满足 s t 9

5.已知{ an }是等差数列, a1 ? 15 , S5 ? 55 ,则过点 p(3, a2 ) , Q(4, a4 ) 的直线的斜率为( ) A.4
2

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条件的点 (m, n) 是椭圆 A. x ? 2 y ? 1 ? 0

1 B. 4
2

C.-4

1 D.- 4

x2 y 2 ? ? 1 一弦的中点,则此弦所在的直线方程为 4 2
B. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0

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6.已知 AB 是椭圆

x y ? =1 的长轴,若把线段 AB 五等份,过每个分点作 AB 的垂线,分别与椭圆的 25 9


上半部分相交于 C、D、E、G 四点,设 F 是椭圆的左焦点,则 FC ? FD ? FE ? FG 的值是( A.15 B.16 C.18 D.20
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x2 y2 ? ?1 2 2 13. 已知 P( x, y) 是抛物线 y ? ?8x 的准线与双曲线 8 的两条渐近线所围成的三角形平面区
域内(含边界)的任意一点,则 z ? 2 x ? y 的最大值为
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2 2 7. 将直线 2 x ? y ? ? ? 0 沿 x 轴向左平移 1 个单位,所得直线与圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 相切,则实数

14.在算式“9×△+1×□=48”中的△,□中,分别填入两个正整数,使它们的倒数和最小,则这两个 数构成的数对为(△,□)应为 15. 对任意两个集合 M、N,定义:

? 的值为
A.-3 或 7 B.-2 或 8 C.0 或 10 D.1 或 11 8.在坐标平面内,与点 A(1,2)的距离为 1,且与点 B(5,5)的距离为 d 的直线共有 4 条,则 d 的取 值范围是 A.0<d<4 B.d≥4 C.4<d<6 D.以上结果都不对
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M ? N ? ?x x ? M且x ? N?



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, M?N ? ?M ? N ? ? ?N ? M ? ,设 ________________。
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M ? y y ? x 2 , x ? R , N ? ?y y ? 3sin x, x ? R?,则 M?N ?

?

?

?x ? 1 a?b?c ? ? 9.已知 x , y 满足 ? x ? y ? 4 且目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 7,最小值为1,则 a ?ax ? by ? c ? 0 ?


1? 16 已知函数 f (x)= ? ? ? -log2x 正实数 a、b、c 成公差为正数的等差数列,且满足 ?3?

x

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f (a) f (b)f (c)<0,若实数 d 是方程 f (x)=0 的一个解,那么下列四个判断: ① d<a; ②d>b; ③d<c; ④d>c 中有可能成立的为
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(填序号)

19.(本小题 12 分)已知 m ? R , a ? (?1, x2 ? m) , b ? (m ? 1, 1 ) , c ? (? m, x ) . x x?m (1)当 m ? ?1 时,求使不等式 a ? c ? 1 成立的 x 的取值范围;
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(2)求使不等式 a ? b ? 0 成立的 x 的取值范围.

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题号

13

131313333331313131313131313131313333333331333
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17.(本小题 12 分)已知 ?ABC 中, | AC |? 1 , ?ABC ? 120 , ?BAC ? ? ,
0
? ?
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记 f (? ) ? AB? BC ,(1)求 f (? ) 关于 ? 的表达式;(2)求 f (? ) 的值域; B 120° A

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?



20.(本小题 12 分)为贯彻落实党的十七大精神,加快新农村建设步伐,某镇政府投资 c 万元生产甲乙两种商 18. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的首项为 a1 , 前 n 项和为 Sn , 且点 (

S n S n ?1 , ) 在直线 y ? x ? p 上, n n ?1

品,据测算,投资甲商品 x 万元,可获得利润 P=x 万元,投资乙商品 x 万元可获得利润 Q=40 x 万元,如果 镇政府聘请你当投资顾问, 试问对甲乙两种商品的资金投入分别是多少万元?才能获得最大利润,获得最 大利润是多少万元?
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p 为常数, n ? N ? 。 (1)求数列 {an } 的通项公式;
(2)当 a1 ? 10 ,且 S10 是 S n 中的一个最大项,试求 p 的取值范围。
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21.(本小题 12 分) 椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,离心率 e = 2 ,椭圆上的点到焦点的 2 22.(本小题 14 分)设 M 是由满足下列条件的函数 f ( x) 构成的集合:“①方程 f ( x) ? x ? 0 有实数根; ②函数 f ( x) 的导数 f ?( x) 满足 0 ? f ?( x) ? 1 ” (1)判断函数 f ( x) ?

最短距离为 1-e, 直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m) ,与椭圆 C 交于相异两点 A、B,且 AP (1)求椭圆方程;
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=? PB .

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(2)若 OA+? OB = 4OP ,求 m 的取值范围.

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x sin x ? 是否是集合 M 中的元素,并说明理由; 2 4

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(2)若集合 M 中的元素具有下面的性质:“若 f ( x) 的定义域为 D,则对于任意 [m, n] ? D ,都存在

x0 ? [m, n] ,使得等式 f (m) ? f (n) ? (m ? n) f ?( x0 ) 成立”
试用这一性质证明:方程 f ( x) ? x ? 0 只有一个实数根;
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(3)设 x1 是方程 f ( x) ? x ? 0 的实数根,求证:对于 f ( x) 定义域中的任意的 x 2 , x3 ,当 | x2 ? x1 |? 1 且

| x3 ? x1 |? 1时, | f ( x3 ) ? f ( x2 ) |? 2
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莱州一中 2006 级高三数学寒假作业八 答案
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一.BCAAC
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DAAAC

BD

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBD BBDB

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二.13.5 14.(4,12)15.[-3,0)∪(3,+∞) 16①②③
? ?
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答: 若政府投资 c 不少于 400 万元时,应对甲投入 c—400 万元, 乙对投入 400 万元,可获得最大利润 c+400 万元. 政府投资 c 小于 400 万元时,应对甲不投入,的把全部资金 c 都投入乙商品可获得最大利润 40 c 万
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三.17 解:(1)∴ f (? ) ? AB? BC ?

4 1 2 3 1 sin ? ? sin( 60 0 ? ? ) ? ? ( cos? ? sin ? ) sin ? 3 2 3 2 2

1 ? 1 ? ? s i n 2?(? ) ? (0 ? ? ? ) 3 6 6 3 1 (2) f (? ) ? (0, ] 6
18 解:(Ⅰ)∴ {an } 的通项公式为: an ? ?2 pn ? a1 ? 2 p (Ⅱ)由前 n 项和公式得 Sn ? ? pn ? na1 ? pn
2

元. y2 x2 2 c 2 21 解: (1)设 C: 2+ 2=1(a>b>0) ,设 c>0,c2=a2-b2,由条件知 a-c= , = , a b 2 a 2 ∴a=1,b=c= 2 x2 ,故 C 的方程为:y2+ =1 2 1 2

(2)由 AP =λ PB 得 OP - OA =λ( OB - OP ) , (1+λ) OP = OA +λ OB , ∴λ+1=4,λ=3 设 l 与椭圆 C 交点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2)
? ?y=kx+m ? 2 2 ?2x +y =1 ?

当 a1 ? 10 时, Sn ? ? pn ? (10 ? p)n
2

………………………………………(8分)

? a10 ? 0 1 5 ∵ S10 最大, 则有 ? ,解得 ? p ? …………………………….(12分) 2 9 ? a11 ? 0
19 解:(Ⅰ)当 m ? ?1 时,使不等式 a ? c ? 1 成立的 x 的取值范围是

得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0

Δ=(2km)2-4(k2+2) (m2-1)=4(k2-2m2+2)>0 (*) -2km m2-1 x1+x2= 2 , x1x2= 2 k +2 k +2
?x1+x2=-2x2 ? ∵ AP =3 PB ∴-x1=3x2 ∴? 2 ?x1x2=-3x2 ?

? x ?2 ? x ? ?1或0 ? x ? 1? .
2 2 (Ⅱ)∵ a ? b ? ?(m ? 1) ? x ? m ? x ? (m ? 1) x ? m ? ( x ? 1)( x ? m) ? 0 , x x x ∴ 当 m<0 时, x ? (m, 0) (1, ? ?) ;

当 m=0 时, x ? (1, ? ?) ; 当 0 ? m ? 1 时, x ? (0, m ) 当 m>1 时, x ? (0, 1 )

(1, ? ?) ; 当 m=1 时, x ? (0, 1 ) (1, ? ?) ; (m, ? ?) .

-2km 2 m2-1 消去 x2,得 3(x1+x2) +4x1x2=0,∴3( 2 ) +4 2 =0 k +2 k +2
2

整理得 4k2m2+2m2-k2-2=0 2-2m2 1 1 m2= 时,上式不成立;m2≠ 时,k2= 2 , 4 4 4m -1 2-2m2 1 1 因 λ=3 ∴k≠0 ∴k2= 2 >0,∴-1<m<- 或 <m<1 2 2 4m -1

20 解:设对甲厂投入 x 万元(0≤x≤c),则对乙厂投入为 c—x 万元.所得利润为 y=x+40 c ? x (0≤x≤c) 令 c ? x =t(0≤t≤ c ),则 x=c-t
2 2

容易验证 k2>2m2-2 成立,所以(*)成立
2

∴y=f(t)=-t +40t+c=-(t—20) +c+400 当 c ≥20,即 c≥400 时,则 t=20, 即 x=c—400 时, ymax =c+400 当 0< c <20, 即 0<c<400 时,则 t= c ,即 x=0 时,ymax=40

1 1 即所求 m 的取值范围为(-1,- )∪( ,1) 2 2 22 解:(Ⅰ)易知 0 是 f(x)-x=0 的根

c.

0<

1 1 1 3 ≤ f ? (x)= + sinx≤ <1 4 2 4 4

∴f(x)∈M

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Ⅱ)假设 f ( x) ? x ? 0 存在两个实根 ? , ? (? ?

? ) ,则 f (? ) ? ? ? 0 , f (? ) ? ? ? 0 不妨设 ? ? ? ,由

题 知 存 在 实 数 ? ? (? , ? ) , 使 得 f (? ) ? f (? ) ? (? ? ? ) f ?(? ) 成 立 。 ∵ f (? ) ? ? , f ( ? ) ? ? 且

? ? ? ,∴ f ?(? ) ? 1
与已知矛盾,所以方程 f ( x) ? x ? 0 只有一个实数根 ( Ⅲ ) 不妨设 x 2 ? x3 ,∵ f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 为增函数,∴ f ( x2 ) ? f ( x3 ) ,又∵ f ?( x) ? 1 ∴函数

f ( x) ? x 为减函数,∴ f ( x2 ) ? x2 ? f ( x3 ) ? x3 ,
∴ 0 ? f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? x3 ? x2 ,即 | f ( x3 ) ? f ( x2 ) |?| x3 ? x2 | , ∴ | f ( x3 ) ? f ( x2 ) |?| x3 ? x2 |?| x3 ? x1 ? ( x2 ? x1 ) |?| x3 ? x1 | ? | x2 ? x1 |? 2 ∴ 0 ? f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? x3 ? x2 ,即 | f ( x3 ) ? f ( x2 ) |?| x3 ? x2 | ,……..(12 分) ∴ | f ( x3 ) ? f ( x2 ) |?| x3 ? x2 |?| x3 ? x1 ? ( x2 ? x1 ) |?| x3 ? x1 | ? | x2 ? x1 |? 2 )

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