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2011届高三数学月考、联考、模拟试题汇编 空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积


..

空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积

题组一
一、选择题 1. ( 宁 夏 银 川 一 中 20 11 届 高 三 第 五 次 月 考 试 题 全 解 全 析 理 ) 如右图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度 h 随时间 t 变化的可能图象是 ( )

正 视图

r />
侧 视图

俯 视图

h

h

h

h

O

t

O

t

O

t

O

t

A. B. C. D. 【答案】B 【 分析】可以直接根据变化率的含义求解,也可以求出函数的解析式进行判断。 【解析】容器是一个倒置的圆锥,由于水是均匀注入的,故水面高度随时间变化的变化率逐渐减少,表现在函数 图象的切线上就是其切线的斜率逐渐减少,正确选项 B。 【考点】空间几何体、导数及其应用。 【点评】本题在空间几何体三视图和函数的变化率交汇处命制,重点是对函数变化率的考查,这是一种回归基本 概念的考查方式,值得注意。 2. (浙江省温州市啸秋中学 2010 学年第一学期高三会考模拟试卷)如右 间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的 正方形,俯视图是一个直径为 1 的圆,那么这个几何体的表面积为 A. 3? B. 2? C.
主视图 左视图

图所示, 一个空

3 ? 2

D. 4?
俯视图

答案 C. 3. ( 宁 夏 银 川 一 中 2 011 届 高 三 第 五 次 月 考 试 题 全 解 全 析 理 ) 已知正六棱柱的 12 个顶点都在一个半径为 3 的球面上,当正六棱柱的体 积=底面积 ? 高)时,其高的值为 A. 3 3 B. 2 3 C.

积最大 (柱体体 ( )

2 3 3

D. 3

【答案】B 【分析】根据正六棱柱和球 的对称性,球心 O 必然是正六棱柱上下底面中心连线的中点,作出轴截面即可得到 正六棱柱的底面边长、高和球的半径的关系,在这个关系下求函数取得最值的条件即可求出所要求的量。 【解析】以正六棱柱的最大对角面作截面,如图。设球心为 O ,正六棱柱的上下底面中心分别为 O1 , O2 ,则 O 是

..

O1 , O2 的中点。设正六棱柱的底面边长为 a ,高为 2h ,则 a2 ? h2 ? 9 。正六棱柱的体积为 V ? 6 ?
即V ?

3 2 a ? 2h , 4

3 3 3 3 (9 ? 3h2 ) ,得极值点 h ? 3 ,不难知道这个极值点是极大值点,也是最大 (9 ? h2 )h ,则 V ' ? 2 2 值点。故当正六棱柱的体积最大,其高为 2 3 。

【考点】空间几何体、导数及其应用。 【点评】本题在空间几何体、导数的应用交汇处命制,解题的关键是建立正六棱柱体积的函数关系式。考生如果 对选修系列四的《不等式选讲》较为熟悉的话,求函数 V ? 式进行,

3 3 (9 ? h2 )h 的条件可以使用三个正数的均值不等 2
3

3 3 3 3 3 6 ? (9 ? h2 ) ? (9 ? h2 ) ? 2h2 ? 2 2 2 2 即V ? 等号成立的条件是 (9 ? h )h ? (9 ? h ) ? (9 ? h ) ? 2h ? ? ? , 2 4 ? 3 2 2 ?
9 ? h2 ? 2h2 ,即 h ? 3 。
4. (北京龙门育才学校 2011 届高三上学期第三次月考)如下图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正 方形,且体积为

1 。则该几何体的俯视图可以是 2





答案 C. 5. (广东省汕头英华外国语学校 2011 届高三第三次月考理)四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点,在其中取 4 个点,则这四个点不共面的概 率为 ( A、 )

47 70 4 答案 D. 从 10 个不同的点中任取 4 个点的不同取法共有 C10 =210 种,它可分为两类:4 点共面与不共面.
B、 C、 D、 如图 10,4 点共面的情形有三种: ①取出的 4 点在四面 体的一个面内 (如图中的 AHGC 在面 ACD 4 内) ,这样的取法有 4C6 种; ②取出的 4 面所在的平面与四面体的一组对棱平行(如图 中的 EFGH 与 AC、 BD 平行) ,这种取法有 3 种(因为对棱共 3 组, 即 AC 与 BD、BC 与 AD、AB 与 CD) ; ③取出的 4 点是一条棱上的三点及对棱中点(如图中的 AEBG) ,这样的取法共 6 种. 4 综上所述,取出 4 个不共面的点的不同取法的种数为 C10 ( 4C +3+6)=141 种.
4 6

5 7

7 10

24 35

A

E

H

B F 图 10 G C

D

..

故所求的概率为

141 47 ? ,答案选 D. 210 70
( )

6. (浙江省嘉兴一中 2011 届高三 12 月月考题文)若右图是一 (A)圆锥(C)圆柱个几何体的三视图,则这个几何体是 (A) 圆锥 (B)棱柱 (C)圆柱 (D)棱锥 答案 C. 二、填空题

7. (福建省惠安荷山中学 2011 届高三第三次月考理科试卷) 一个空间几何 图及部分数据如上图所示,则这个几何体 的体积是 答案 ___

体的三视

3 2
a2 ? b2 . 2

8.( 宁 夏 银 川 一 中 20 11 届 高 三 第 五 次 月 考 试 题 全 解 全 析 理 ) 在 Rt?ABC 中,若 ?C ? 900 , AC ? b, BC ? a ,则 ?ABC 外接圆半径 r ?

运用类比方法, 若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为 a, b, c , 则其外接球的半径 R = 【答案】



a 2 ? b2 ? c 2 。 2

【分析】三条侧棱互相垂直的三棱 锥的外接球,与以这三条侧棱为棱的长方体的外接球是相同的,这个长方体 的体对角线的长度就是其外接球的直径。 【解析】作一个在同一个顶点处棱长分别为 a, b, c 的长方体,则这个长方体的体对角线的长度是 a2 ? b2 ? c2 ,

a 2 ? b2 ? c 2 故这个长方体的外接球的半径是 ,这也是所求的三棱锥的外接球的半径。 2
【考点】推理与证明。 【点评】本题考查推理与证明中的类比推理。一般来说类比推理得到的结论未必正确,但出现在高考试题或者模 拟试题中类比推理,不会设计成漫无目标的类比推理试题,而是设计成指向性很强的、能得到正确结论的类比问 题。考生在解答这类试题时,一定要在得出结论的过程中注重演绎推理的应用,不要被表面现象所迷惑。 9.(福建省三明一中 2011 届高三上学期第三次月考理)某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角 形, 侧视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的表面积





答案 S ? 2(? ? 3) 10.(浙江省菱 湖中学 2011 届高三上学期期中考试理) 若某几何 (单位: cm )如图所示, 体的三视图

..

则此几何体的体积是

cm3 .

11. (浙江省杭州宏升高复学校 2011 届高三第一次模拟考试试题理) 一个几何体的三视图如图 3 所示,则该几何体的体积(单位: cm 3 )为
cm 3 .

图3 答案:

??

3 3

12. (浙江省诸暨中学 2011 届高三 12 月月考试题文)已知某个几何体的三 视图如图所示,根据图中标出的 尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积是 答案:

cm3 .

4 . 3

13. (浙江省嵊州二中 2011 届高三 12 月月考试题理) 已知右图的三视图 中正方形的边长为 a ,则该几何体的体积是 答案

7 ? a3 24
正视图 侧视图

14. (浙江省金丽衢十二校 2011 届高三第一次联考理) 若某几何体的三视图 (单 位: cm )如右图所示,则该几何体的表面积为

cm2 .

俯视图

答案 7?

.

..

三、简答题 15.(福建省三明一中 2011 届高三上学期第三次月考理)(本题满分 13 分) 如图,在六面体 ABCDEFG 中,平面 ABC ∥平面 DEFG , AD ⊥平面 DEFG , AB ? AC , ED ? DG , B EF ∥ DG .且 AB ? AD ? DE ? DG ? 2 , AC ? EF ? 1 . (Ⅰ)求证: BF ∥平面 ACGD ; (Ⅱ)求二面角 D ? CG ? F 的余弦值; (Ⅲ) 求五面体 ABCDEFG 的体积. 答案 (本题满分 13 分) 解法一 向量法 E 由已知,AD、DE、DG 两两垂直,建立如图的坐标系,则 A(0,0,2) , B(2,0,2) ,C(0,1,2) ,E(2,0,0) ,G(0,2,0) ,F(2,1,0) (Ⅰ) BF ? (2,1,0) ? (2,0, 2) ? (0,1, ?2) , CG ? (0, 2,0) ? (0,1, 2) ? (0,1, ?2) ∴ BF ? CG ,所以 BF∥CG.又 BF ? 平面 ACGD,故 BF//平面 ACGD ?4 分 (Ⅱ) FG ? (0, 2,0) ? (2,1,0) ? (?2,1,0) ,设平面 BCGF 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) , A C

D F

G

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??

?? ??? ? ?? ?? ? ? ? n ? CG ? y ? 2z ? 0 ? 1 则 ? ?? ??? ,令 y ? 2 ,则 n1 ? (1, 2,1) ,而平面 ADGC 的法向量 n2 ? i ? (1,0,0) ? ? ?n1 ? FG ? ?2 x ? y ? 0 ?? ?? ? ?? ?? ? 6 n1 ? n2 1?1 6 ∴ cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? 故二面角 D-CG-F 的余弦值为 .9 分 ? = ? 6 6 | n1 | ? | n2 | 12 ? 22 ? 12 ? 12 ? 02 ? 02
(Ⅲ)设 DG 的中点为 M,连接 AM、FM, 则 V = V三棱柱ADM-BEF +V三棱柱ABC-MFG = DE ? S△ADM ? AD ? S△MFG = 2 ?

1 1 ? 2 ?1 ? 2 ? ? 2 ?1 = 4 .?????13 分 2 2
C

解法二设 DG 的中点为 M,连接 AM、FM,则由已知条件易证四边形 DEFM 是平行四边形, A 所以 MF//DE,且 MF=DE 又∵AB//DE,且 AB=DE ∴MF//AB,且 MF=AB B ∴四边形 ABMF 是平行四边形,即 BF//AM, 又 BF ? 平面 ACGD 故 BF//平面 ACGD?????4 分 (利用面面平行的性质定理证明,可参照给分) (Ⅱ)由已知 AD⊥面 DEFG∴DE⊥AD ,DE⊥DG 即 DE⊥面 ADGC , D ∵MF//DE,且 MF=DE , ∴MF⊥面 ADGC E 在平面 ADGC 中,过 M 作 MN⊥GC,垂足为 N,连接 NF,则 显然∠MNF 是所求二面角的平面角. ∵在四边形 ADGC 中,AD⊥AC,AD⊥DG,AC=DM=MG=1 ∴ CD ? CG ? 5 , ∴MN= ?

M F

N G

2 5 5

在直角三角形 MNF 中,MF=2,MN ?

2 5 5
A C

MF 2 6 ∴ tan ?MNF = = = 5 , cos ?MNF = MN 6 2 5 5
D

N M G

..

故二面角 D-CG-F 的余弦值为

6 ????9 分 6

(Ⅲ) V多面体ABC-DEFG = V三棱柱ADM-BEF +V三棱柱ABC-MFG = DE ? S△ADM ? AD ? S△MFG = 2?

1 1 ? 2 ?1 ? 2 ? ? 2 ?1 = 4 .?????13 分 2 2

16. (福建省四地六校 2011 届高三上学期第三次联考试题理) (本题满分 13 分) 一个多面体的直观图和三视图如下 :

2 2

D

C N
F M B

2 2
2

2
E

2 2

A

(其中 M , N 分别是 AF, BC 中点) (1)求证: MN // 平面 CDEF ; (2)求多面体 A ? CDEF 的体积. 答案 解: (1)由三视图知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱,且 AB ? BC ? BF ? 2 ,

DE ? CF ? 2 2 ,∴ ?CBF ? 90? . ---2 分 取 BF 中点 G ,连 MG, NG ,由 M , N 分别是 AF, BC 中点,可设: NG // CF , MG // EF ,
∴面 MNG // 面 CDEF ∴ MN // 面 CDEF ? ---8 分 (2)作 AH ? DE 于 H ,由于三棱柱 ADE ? BCF 为直三棱柱 ∴ AH ? 面 DCEF 且 AH ? 2 ∴ V A?CDEF ?

1 1 8 S CDEF ? AH ? ? 2 ? 2 2 ? 2 ? ,---13 分 3 3 3

题组二
一、 选择题 1.(吉林省实验中学 2011 届高三文)如图是一个几何体的三视图,则此三视图所描述几何体的 表面积为 ( ) A. (12 ? 4 3)? C. (20 ? 4 3)? 答案 B. B.20 ? D.28 ?

..

2. (浙江省温州十校联合体 2011 届高三文)如图 2 为一个几何体的三视图,正视图和侧视图均为矩形, 3 俯视图为正三角形,尺寸如图,则该几何体的全面积为 ( ) A.6+ 2 3 答案 B.
正视图 侧视图

B. 24+ 2 3

C.14 3

D.32+ 2 3
4

3.(浙江省温州十校联合体 2011 届高三文)已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位: cm) , 俯视图 那么可得这个几何体的体积是( ) 图2 1 2 4 8 (A) 3 cm3 (B) 3 cm3 (C) 3 cm3 (D) 3 cm3

2 2 左视图 1 1 2 俯视图 (第 3 题图) 答案 C 4.(浙江省桐乡一中 2011 届高三学理)已知 M 是△ABC 内的一点,且 AB ? AC ? 2 3 ,?BAC ? 30? ,若 ? MBC ,
1 4 1 ? , x, y x y ? MCA 和△MAB 的面积分别为 2 ,则 的最小 值是

2 正视图

(A)9 (B)18

(C)16 (D)20

答案 B. 5. (山西省四校 2011 届高三文)如右图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 该几何体的俯视图可以是( )

1 .则 2

1 A B C D 1 1

1

..

答案 C.

6.(福建省福州八中 2011 届高三文) 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示, 则这个几何体的表面积是

A.30 C.60 答案 C.

B.40 D.80

7. (广东省河源市龙川一中 2011 届高三理)如图,三棱柱的侧棱长为 2,底面是边长为 1 的正三角形,

AA1 ? 面A1 B1C1 ,
正视图是长为 2,宽为 1 的矩形,则该三棱柱的侧视图(或左视图)的面积为( A. 3 答案 A. B. 2 3 C. 1 D. )
C1 A1 B1

3 2

8. (广东省河源市龙川一中 2011 届高三文) 如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为 3 和 4,过直角顶点 长为 4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是( )
C A B

的侧棱

答案 B. 二、填空题
3 2 9. (浙江省桐乡一中 2011 届高三理)如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为 ,且一个内角为

60°的菱形,俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积为 答案 4.

..

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. ) 10. (2011 湖南嘉禾一中) (本小题满分 13 分) 如图(1)是一正方体的表面展开图,MN 和 PB 是两条面对角线,请在图(2)的正方体中将 MN 和 PB 画出 来,并就这个正方体解决下面问题。 (1 )求证:MN//平面 PBD; (2)求证:AQ⊥平面 PBD; (3)求二面角 P—DB—M 的大小.

答案 10.解:M、N、Q、B 的位置如右图示。 (正确标出给 1 分) (1)∵ND//MB 且 ND=MB ∴四边形 NDBM 为平行四边形 ∴MN//DB??????3 分 ∴BD ? 平面 PBD,MN ? 平面PBD ∴MN//平面 PBD????????4 分 (2)∵QC⊥平面 ABCD,BD ? 平面 ABCD, ∴BD⊥QC????????5 分 又∵BD⊥AC, ∴BD⊥平面 AQC??????????6 分 ∵AQ ? 面 AQC ∴AQ⊥BD,同理可得 AQ⊥PB, ∵BD ? PD=B ∴AQ⊥面 PDB???????????8 分 (3)解法 1:分别取 DB、MN 中点 E、F 连结 PE、EF、PF??????9 分 ∵在正方体中,PB=PB ∴PE⊥DB????????10 分 ∵四边形 NDBM 为矩形 ∴EF⊥DB ∴∠PEF 为二面角 P—DB—M 为平面角????11 分 ∵EF⊥平面 PMN ∴EF⊥PF[ 设正方体的棱长为 a,则在直角三角形 EFP 中 ∵ EF ? a, PF ?

2 a 2

∴ tan?PEF ?

PF 2 ? EF 2

..

?PEF ? arctan

2 ??????????13 分 2

解法 2:设正方体的棱长为 a, 以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图: 则点 A(a,0,0) ,P(a,0,a) ,Q(0,a,a)????9 分 ∴ PQ ? (?a, a,0), AQ ? (?a, a, a) ??????10 分 ∵PQ⊥面 DBM,由(2)知 AQ⊥面 PDB ∴ AQ, PQ 分别为平面 PDB、平面 DBM 的法向量????????12 分 ∴ cos ? AQ, PQ ??

AQ ? PQ | AQ | ? | PQ |

?

2a 2 2a ? 3a

?

6 3
2 2 ??????13 分 , ? AQ, PQ ?? arctan 2 2

∴ tan ? AQ, PQ ??

11. (四川成都市玉林中学 2010—2011 学年度) (本题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ? 底面 ABCD, PD ? DC ,E 是 PC 的中点. (1)证明 PA ∥ 平面 EDB ; (2)求 EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值. 答案 11. (本小题满分 12 分 (I)证明:连结 AC,AC 交 BD 于 O.连结 EO. ? 底面 ABCD 是正方形,? 点 O 是 AC 的中点 在 ?PAC 中,EO 是中位线,? PA∥EO . 而 EO ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB, 所以 PA∥ 平面 EDB. (II)解: 作 EF ? DC 交 DC 于 F.连结 BF.设正方形 P ABCD 的边长为 a . ? PD ? 底面 ABCD,? PD ? DC . ? EF∥PD, F 为 DC 的中点.

??????3 分 ??????5 分

? EF ? 底面 ABCD,BF 为 BE 在底面 ABCD
内的射影, 故 ? EBF 为直线 EB 与底面 ABCD 所成的角. ??????8 分 Rt ? BCF 在 中,

E

C F D O A

B

a 5 BF ? BC ? CF ? a ? ( )2 ? a. 2 2 1 a ? EF ? PD ? ,?在 Rt ?EFB 中, 2 2 a EF 5 tan EBF ? ? 2 ? . BF 5 5 a 2
2 2 2

..

所以 EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值为

5 . ??????????12 分 5
P

E

C

B

D

A

12. (江苏泰兴市重点中学 2011 届理)已知 E,F 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BC 和 CD 的中点,求: (1)A1D 与 EF 所成角的大小; (2)A1F 与平面 B1EB 所成角; (3)二面角 C-D1B1-B 的大小.

(1)因为 A1 D ? (?1, 0, ?1), EF ? (? , ? , 0), 所以

???? ?

??? ?

???? ? A1 D ? (?1) 2 ? 0 ? (?1) 2 ? 2

1 2

1 2

??? ? 1 1 2 EF ? (? ) 2 ? (? ) 2 ? 0 ? 2 2 2 ???? ? ??? ? 1 1 A1 D?EF ? ? 0 ? 0 ? 2 2 ???? ? ??? ? ? 可知向量 A 1D 与 EF 的夹角为 60
因此 A 1 D 与 EF 所成角的大小为 60
?

AB ? 平面 B1C1CB ,所以 AB 是平面 B1 EB 的法向量 (2)在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,因为

??? ?

因为

??? ? AB ? (1,1,0) ? (1,0,0) ? (0,1,0)
???? ? 1 1 A1 F ? (0, , 0) ? (1, 0,1) ? ( ?1, , ?1) 2 2 ??? ? ???? ? 3 ???? ? ??? ? 1 ???? ? ??? ? 1 ? 所以 AB ? 1, A1 F ? , A1 F ?AB ? ,由 cos ? A1 F , AB ?? ,所以可得向量之间的夹角约为 19.47 2 2 3
(3)因为 AC1 ? 平面 B1D1C ,所以 AC1 是平面 B1D1C 的法向量,因为

???? ?

???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? ???? AC1 ? (?1,1,1), AC ? (?1,1, 0), AC1 ? 3, AC ? 2, AC1 ?AC ? 2

..

所以 cos ? AC1 , AC ??

???? ? ????

6 ,所以可得两向量的夹角为 35.26? 3

根据二面角夹角相等或互补可知,二面角约为 35.26? 13. (浙江省桐乡一中 2011 届高三文) ( 14 分)已 知空间向量 a =(sin ? ,-1,cos ? ) ,b =(1,2cos ? ,1) ,

1 ? a · b = 5 , ? ∈(0, 2 ).
(1)求 sin 2? 及 sin? , cos? 的值; (2)设函数 f ( x ) ? 5 cos(2 x ? ? ) ? cos 2 x( x ? R) ,求 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程; (3)求函数 f ( x ) 在区间

[?

11? 5? ,? ] 24 24 上的值域。

a ?b ?
答案 13.解: (1)∵

1 5

sin ? ? cos ? ?


1 5 ①????????2 分 1 25

1 ? 2 sin ? cos ? ?


sin 2? ?


24 25 ②????????4 分 sin ? ? 4 3 , cos ? ? 5 5 ????????6 分

联立①,②解得:

(2) f ( x) ? 5 cos(2 x ? ? ) ? cos2 x

? 5 cos 2 x cos ? ? 5 sin 2 x sin ? ? cos 2 x ? 3 cos 2 x ? 4 sin 2 x ? cos 2 x

? 4(sin 2 x ? cos 2 x)
? 4 2 sin( 2 x ?

?

) 4 ????????10 分

T ? ? . ????????11 分 ∴ f ( x)的最小正周期


2x ?

?
4

? k? ?

?
2

,得: x ? x?

k? ? ? , (k ? Z ) 2 8 ????????12 分

图象的对称轴方程为:

k? ? ? , (k ? Z ) 2 8 [

..

(3)当 x ?

[?

11? 5? ? 2? ? ? 1 ,? ] ? [? ,? ] sin(2 x ? ) ? [?1,? ] 24 24 ,2x+ 4 3 6 ,∴ 4 2

∴f(x)的值域为[ ? 4 2 ,?2 2 ]

14. (福建省四地六校联考 2011 届高三文) (本小题满分 12 分) 某小区要建一座八边形的休闲小区,它的主体造型的平面图是由二个相同的矩形 A BCD 和 EFGH 构成的面积 2 为 200m 的十字型地域,计划在正方形 MNPQ 上建一座“观景花坛” , 造价为 4 200 元 2 2 /m ,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价为 210 元/m , 再在 2 四个空角(如△DQH 等)上铺草坪,造价为 80 元/m . (1)设总造价为 S 元,AD 长为 x m,试建立 S 与 x 的函数关系; (2)当 x 为何值时,S 最小?并求这个最小值. 答案 15.(本小题满分 12 分) (1)依题意得: S ? 38000 ? 4000 ( x ?
2

100 ) (0 ? x ? 10 2 ) x2

??6 分

2 100 2 100 (2) ∵x + 2 ≥20,当且仅当 x = 2 即 x= 10 时取等号,∵ 10 ∈(0,10 2 ), x x

∴ x ? 10m ,

S min ? 118000 元

??????12


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第八章 第一节 空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积(往年真题集锦)

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6年高考4年模拟第8章 第1节 空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积【答案+解析,40页】

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