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江苏省扬大附中2012-2013学年度第二学期高三月考--数学


江苏省扬大附中 2012-2013 学年度第二学期高三月考 数学
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在 答题纸的指定位置上. 1.若集合 A ? x | x ≤ 2 , B ? x | x ≥ a 满足 A ? B ? {2} ,则实数 a = 2.已知虚数 z 满足等式: 2 z ? z ? 1 ? 6i ,则

z ? 3.函数 y ? 1 ? sin 2 ( x ? ▲ ▲ ▲ . ▲ 条件. . .

?

?

?

?





?

3

) 的最小正周期是

4.某算法的伪代码如右:则输出的结果是

1 5.已知条件 p:x≤1,条件 q: ? 1 ,则 ? p 是 q 的 x

s←2 i←1 While s≤400 i←i+2 s←s×i End While Print i

(填“充分不必要条件”,“必要不充分条件”,“充要条件”或是“既不充分也不必要条 件”) 6.已知米粒等可能地落入如图所示的四边形 ABCD 内,如果通过 大量的实验发现米粒落入△BCD 内的频率稳定在 和点 C 到直线 BD 的距离之比约为 ▲
A

4 附近, 那么点 A 9

B D


C

7 . 在 等 差 数 列 ?an ? 中 , 若 a3 ? a9 ? a27 ? 12 , 则 a13 ? ▲ . 8..给出下列关于互不相同的直线 m、l、n 和平面 α、β 的四个命题: ①若 m ? ? , l ? ? ? A, 点A ? m, 则l与m不共面 ; ②若 m、l 是异面直线, l // ? , m // ? , 且n ? l , n ? m, 则n ? ? ; ③若 l // ? , m // ? ,? // ? , 则l // m ; ④若 l ? ? , m ? ? , l ? m ? A, l // ? , m // ? , 则? // ? . 其中为真命题的是 ▲ .

1 对一切实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ▲ . 3 x2 ? x ? 5 2 10.当 x ? 2 x ? 8 时,函数 y ? 的最小值是____ ▲ ___. x?2 ?? 11. 在直角坐标系 xOy 中, , j 分别是与 x 轴,y 轴平行的单位向量, 若直角三角形 ABC 中, i
9.若不等式 3
ax 2 ? 2 ax

?

??? ? ? ??? ? ? ? ? AB ? i ? j , AC ? 2i ? m j ,则实数 m=
12 . 椭 圆





x2

2 a2 b2 2 ax ? bx ? c ? 0 的两个根分别为 x1,x2 ,则点 P(x1,x2 )与圆 x 2 ? y 2 ? 2 的位置关系是

?

y2

? 1(a ? 0, b ? 0)的离心率e ?

1

, 右 焦 点 F ( c,0 ) , 方 程



13. 三位同学合作学习,对问题“已知不等式 xy ? ax2 ? 2 y 2 对于 x ??1,2?, y ??2,3? 恒成 立,求 a 的取值范围”提出了各自的解题思路. 甲说:“可视 x 为变量, y 为常量来分析”. 乙说:“寻找 x 与 y 的关系,再作分析”. 丙说:“把字母 a 单独放在一边,再作分析”. 参考上述思路,或自已的其它解法,可求出实数 a 的取值范围是 ▲ .



1 1 14. 给出定义:若 m ? ? x ? m ? (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数, 2 2
记作 ?x?= m. 在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? x ? ?x? 的四个命题: ①函数 y= f (x) 的定义域为 R,值域为 ?0, ? ;②函数 y= f (x) 的图像关于直线 x ? 2 ? 2? (k ?Z ) 对称; ③函数 y= f (x) 是周期函数, 最小正周期为 1; ④函数 y= f (x) 在 ??

? 1?

k

? 1 1? , ? ? 2 2?

上是增函数。 其中正确的命题的序号 ▲ . 二、解答题:(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15、(本小题满分 14 分) 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生, 并统计了他们的物理成绩 (成绩 均为整数且满分为 100 分) 把其中不低于 50 分的分成五段 ?50,60? ,?60,70? ? ?90,100? 后 , 画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: .. 频率 (1)求出物理成绩低于 50 分的学生人数; 率 组距 (2)估计这次考试物理学科及格率(60 分及 率 以上为及格) (3) 从物理成绩不及格的学生中任选两人, 0.03 求他们成绩至少有一个不低于 50 分的概率. 0.025
0.015 0.005

分数
50 60 70 80 90 100

16.(本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 1 ? (1)求角 A;

tan A 2c ? . tan B b

(2)若 m ? (0, ?1) ,n ? cos B, 2cos2 C ,试求|m ? n| 2 的最小值. 17.(本小题满分 15 分) E F 如图, 、 分别为直角三角形 ABC 的直角边 AC
A

?

?

A' P E C

F

B

和斜边 AB 的中点,沿 EF 将 ?AEF 折起到 ?A ' EF 的位置,连结 A ' B 、 A ' C , P 为 A ' C 的中点. (1)求证: EP // 平面 A ' FB ; (2)求证:平面 A ' EC ? 平面 A ' BC ; 18.(本小题满分 15 分) 已 知 直 线 l : y ? kx ? 2 ( k 为 常 数 ) 过 椭 圆
y B l

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的上顶点 B 和左焦点 F ,直 a 2 b2
线 l 被圆 x2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为 d . (1)若 d ? 2 3 ,求 k 的值; (2)若 d ?
F O

x

4 5 ,求椭圆离心率 e 的取值范围. 5
2

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ? a ? x ? 1? ? ln x , a ? R . (1)当 a ? 1 时,判断函数 f ? x ? 的单调性并求出其单调区间; (2)若函数 f ? x ? 的图象与直线 y ? x 至少有一个交点,求实数 a 的取值范围; (3)证明:对任意 n ? N ,都有 ln ?1 ? n ? ?
*

?
i ?1

n

i ?1 成立. i2

20.(本小题 16 分) 已知:集合 A ? (0, ?(1, ?) . 1) ? (1)证明:不存在 x ? A,y ? A ,使得 1, x , 又是一个等比数列的前三项。 (2)是否存在 x ? A,y ? A ,使得 1, x , y 依次既是一个等差数列的第 1、3、8 项, 又是一个等比数列的第 1、3、8 项?证明你的结论。 (3)是否存在 x ? A,y ? A ,使得 1, x ,

y 依次既是一个等差数列的前三项,

y 依次既是一个等差数列的第 r、s、t 项,

又是一个等比数列的第 r、s、t 项?证明你的结论.

附加题 1.选修 4—2 矩阵与变换 二阶矩阵 M 对应的变换将点(1,-1)与(-2,1)分别变换成点(-1,-1)与(0,-2). (1)求矩阵 M;

(2)设直线 l 在变换 M 作用下得到了直线 m:x-y=4,求 l 的方程. 2.选修 4—4 参数方程与极坐标 圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ? ? 4cos ?,? ? ? sin ? . (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过圆 O1 ,圆 O2 两个交点的直线的直角坐标方程. 3.动点 P 在 x 轴与直线 l:y=3 之间的区域(含边界)上运动,且点 P 到点 F(0,1)和 直线 l 的距离之和为 4. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)求曲线 C 与曲线 y 2 ? x 所围图形的面积. 4.一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个定义域为 R 的函数:f1(x)=x,f2(x)=x2, f3(x)=x3,f4(x)=sinx,f5(x)=cosx,f6(x)=2. (1)现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得一个新函数,求所得函数是奇函数 的概率; (2)现从盒子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的卡 片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数 ? 的分布列和数学期望.

参考答案
1 2 2 3 4 9 12 点 P 在圆 5 充分不必 要 6 7 4 14 ①②③ 8 ①②④

1 ? 2i
10

?
11

5 4

?0,1?

9

?3

?2 或 0

??1, ???

13

内 15.解: (1)因为各组的频率和等于 1,故低于 50 分的频率为:

f1 ? 1 ? (0.015? 2 ? 0.03 ? 0.025? 0.005) ?10 ? 0.1 所以低于 50 分的人数为 60 ? 0.1 ? 6 (人)????????????????.5 分
(2)依题意,成绩 60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组(低于 50 分的为第一组), 频率和为 (0.015 ? 0.03 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? 0.75 所以,抽样学生成绩的合格率是 75 %. 于是,可以估计这次考试物理学科及格率约为 75 %??????????????9 分. (3)“成绩低于 50 分”及“[50,60)”的人数分别是 6,9。所以从成绩不及格的学生中选两 人,他们成绩至少有一个不低于 50 分的概率为: P ? 1 ? 16.解:(1) 1 ? 即 ∴ ∵

6?5 6 ? 15 ? 14 7

?????14 分

tan A 2c sin A cos B 2sin C , ? ?1? ? tan B b sin B cos A sin B

sin B cos A ? sin A cos B 2sin C , ? sin B cos A sin B sin( A ? B) 2sin C 1 ,∴ cos A ? . ? sin B cos A sin B 2
0? A?π

, π A ? .????????????????????????7 分 3 (2)m ? n ? (cos B,2cos2



C ? 1) ? (cos B,cos C) , 2 2π 1 π ? B) ? 1 ? sin(2B ? ) . 3 2 6

? |m ? n| 2 ? cos2 B ? cos2 C ? cos2 B ? cos2 (
∵A?

π 2π 2π ,∴ B ? C ? ,∴ B ? (0, ) . 3 3 3

π π 7π 从而 ? ? 2B ? ? . 6 6 6 π π 1 2 ∴当 sin(2B ? ) =1,即 B ? 时,|m ? n| 取得最小值 . 6 3 2
所 |m ? n| min ? 以 ,
2 .????????????????????????14 分 2

17.(1)证明:? E、P 分别为 AC、A′C 的中点, ? EP∥A′A,又 A′A ? 平面 AA′B,EP ? 平面 AA′B ∴即 EP∥平面 A′FB ????????????????7 分 (2) 证明:∵BC⊥AC,EF⊥A′E,EF∥BC ∴BC⊥A′E,∴BC⊥平面 A′EC BC ? 平面 A′BC ∴平面 A′BC⊥平面 A′EC ????????????????14 分 注:直角三角形条件在证这两问时多余了,可直接用两侧面的直角三角形证明即可。 18.解:(1)取弦的中点为 M,连结 OM 由平面几何知识,OM=1

OM ?

2 k ?1
2

?1

得: k ? 3 , k ? ? 3
2

∵直线过 F、B ,∴ k ? 0 则 k ? (2)设弦的中点为 M,连结 OM 则 OM
2

3

????????????????6 分

?

4 1? k 2

d 2 ? 4(4 ?

4 4 5 2 )?( ) 2 1? k 5

解得 k ?
2

1 4

2 (? ) 2 c 1 4 k e2 ? 2 ? ? ? 2 2 5 a 1? k 4 ? ( )2 k
2

∴0 ? e ?

2 5 5

????????????????15 分

(本题也可以利用特征三角形中的有关数据直接求得) 19.

第(3)问的构造法可直接用第二种方法,作差后用 x 代换 20.解:(1)由方程组 ? (2)假设存在。

? y ? 1 ? 2 x 的解为 x ? 1 不符合题设,可证。 y ?1 ???3 分 ? y ?1 ? x
2

?

1 即可。 n

5 ? y - x ? ( x ? 1) ? ln x ln y y ? x ln y ? ln x 2 ? 由方程组 ? ,得 ,即 ? y x ? 1 y ? 1 ?5 分 x ?1 ln x ? ( )? x x ?
2 5

设 f(x)

?

ln x ( x ? 0, x ? 1) 可证: x ? (0,1) 时,f (x) 单调递减且 f ( x) ? 1 ; , 当 x ?1

当 x ? (1,??) 时,

f (x) 单调递减且 f ( x) ? 1。

f ?( x) ?

1?

1 ? ln x 1 1? x x ,设 g ( x) ? 1 ? ? ln x ,则 g ?( x) ? 。 ???7 分 ( x ? 1) x x
2

2

①当 x ? (0,1) 时, g ?( x) 于是

? 0 , g (x) 递增,故 g ( x) ? g (1) ? 0 ,

f ?( x) ? 0 , f (x) 在 (0,1) 上单调递减。
,则



h( x) ? ln x ? ( x ? 1)

h?( x) ?

1? x ?0 x



h(x)



(0,1)

上递增,

h( x) ? h(1) ? 0 ,即 ln x ? ( x ? 1) ,所以 f(x) ?

ln x ? 1。 ???9 分 x ?1

②当 x ? (1,??) 时, g ?( x) ? 0 , g (x) 递减,故 g ( x) ? 于是

g (1) ? 0 ,

f ?( x) ? 0 , f (x) 在 (1,??) 上单调递减。
1? x 即 h ? 0 ,h(x) 在 (1,??) 上递减, ( x) ? h(1) ? 0 , ln x ? ( x ? 1) , x
? ln x ?1 x ?1 ? ln x ( x ? 0, x ? 1)的性质可知满足题设的 x, y 不存在。 ???11 分 x ?1

h?( x) ?
所以 f(x)

由函数 f(x)

(3)假设 1, x , y 是一个公差为 d 的等差数列的第 r、s、t 项,又是一个等比为 q 等比 数列的第 r、s、t 项。于是有: x ? 1 ? (s ? r )d , y ? 1 ? (t

? r )d ,

x?q ,y?q
s ?r

t ?r



? y ?1 x ?1 ?t ? r ? s ? r ? 从而有 ? , ln x s ? r ? ? ? ln y t ? r ?
设 f(x)

所以

ln x ln y ? 。 x ?1 y ?1

?

ln x ( x ? 0, x ? 1) ,同(2)可知满足题设的 x, y 不存在 ???16 分 x ?1
2 7

注:证法太繁,在第二问中,可用 d , q 来表示,消去 d 可得 7q ? 2q ? 5 ? 0 ,则构造

f ? q ? ? 7q2 ? 2q7 ? 5 易得到极值点为 q ? 1 。

附加题参考答案
?a b ? ? a b ? ?1 ? ? ?1? ? a b ? ? ?2 ? ?0 ? 附 1.(1)设 M= ? ? ,则有 ? c d ? ? ?1? = ? ?1? , ? c d ? ?1 ? = ? ?2 ? , ?c d ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?
?a ? 1 ?b ? 2 ? ? ?c ? 3 ?d ? 4 ?





? a ? b ? ?1, 且 ? ?c ? d ? ?1,

??2a ? b ? 0, ? ??2c ? d ? ?2.











?1 M= ? ?3

2? .??????????5 分 4? ?

(2)任取直线 l 上一点 P(x,y)经矩阵 M 变换后为点 P’(x’,y’).
? x? ? ?1 因为 ? ? ? ? ? y ? ? ?3
?x' =x+2y, 2? ? x ? ? x ? 2 y ? ? ? y ? ? ?3x ? 4 y ? ,所以?y' =3x+4y,又 m: x? ? y ? ? 4 , ? 4? ? ? ? ?

所以直线 l 的方程(x+2y)-(3x+4y)=4,即 x+y+2=0.????????????10 分 附 2.解:以有点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的 长度单位. (1) x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,由 ? ? 4cos ? 得 ? 2 ? 4? cos? . 所以 x 2 ? y 2 ? 4 x . 即 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 为圆 O1 的直角坐标方程. 同理 x ? y ? y ? 0 为圆 O2 的直角坐标方程. ??????????????6 分
2 2

? x2 ? y 2 ? 4x ? 0 ? (2)由 ? 2 2 ?x ? y ? y ? 0 ?
相减得过交点的直线的直角坐标方程为 4 x ? y ? 0 . ??????????10 分 附 3.(1)设 P(x,y),根据题意,得 x2 ? ( y ? 1)2 ? 3 ? y ? 4 . 化 简 , 得

y?

1 2 x ( y ≤ 3) .????????????????????????5 分 4
( 2 )

S ??

3

16

0

1 ? 2 3 1 ? x ? x 2 ? dx ? x 2 ? x3 ? 4 ? 3 12 ?

x ? 3 16

?

4 .??????????????10 分 3

附 4.(1)记事件 A 为“任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”,由题

C32 1 意知 P( A) ? 2 ? . C6 5
(2)ξ 可取 1,2,3,4.

………………………………4 分
1 C3 1 C1 C1 3 ? , P(? ? 2) ? 3 ? 3 ? , 1 1 1 C6 2 C6 C5 10

P(? ? 1) ?

P(? ? 3) ?

1 1 1 C3 C 2 C3 C1 C1 C1 C1 3 1 ;………………8 分 ? 1 ? 1 ? , P(? ? 4) ? 3 ? 2 ? 1 ? 3 ? 1 1 1 1 1 C6 C5 C4 20 C6 C5 C4 C3 20

故 ξ 的分布列为 ξ P 1 2 3 4

1 2

3 10

3 20

1 20

E? ? 1 ?

7 1 3 3 1 7 ? 2 ? ? 3? ? 4? ? . 答:ξ 的数学期望为 . 4 2 10 20 20 4

…………10 分


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