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高二数学选修(2-1)期末模拟考试题(理科)


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高二数学选修(2-1)期末模拟考试题(理科)
斗鸡中学刘理论

班级: 一、选择题(15×4=60 分)

姓名:

座号:

成绩:

1、(x+1)(x+2)>0 是(x+1)( x 2 +2

)>0 的(

)条件

A 必要不充分 B 充要 C 充分不必要 D 既不充分也不必要 2、已知 p 是 r 的充分不必要条件,s 是 r 的必要条件,q 是 s 的必要条件,那么 p 是 q 成立 的( )条件 A 必要不充分 B 充分不必要 C 充要 D 既不充分也不必要 ??? ???? ? 3、已知 A ? 2, ? 5,1 ? , B ? 2, ? 2, 4 ? , C ?1, ? 4,1 ? ,则向量 A B与 A C 的夹角为( ) A
30
0

B

45

0

C

60

0

D

90

0

4、O、A、B、C 为空间四个点,又 OA 、 OB 、 OC 为空间的一个基底,则( A O、A、B、C 四点共线 B O、A、B、C 四点共面 C O、A、B、C 四点中任三点不共线 D O、A、B、C 四点不共面 5、给出下列关于互不相同的直线 m、l、n 和平面α 、β 的四个命题: ①若 m ? ? , l ? ? ? A , 点 A ? m , 则 l 与 m 不共面 ; ②若 m、l 是异面直线, l // ? , m // ? , 且 n ? l , n ? m , 则 n ? ? ; ③若 l // ? , m // ? , ? // ? , 则 l // m ; ④若 l ? ? , m ? ? , l ? m ? 点 A , l // ? , m // ? , 则 ? // ? . 其中为假命题的是 ( ) A ① B ② C ③ D ④ 6、已知高为 3 的直棱柱 ABC—A′B′C′的底面是边长为 1 的 正三角形(如图 1 所示) ,则三棱锥 B′—ABC 的体积为( ) A
1 4



B

1 2

C

3 6

D
2

3 4

7、若焦点在 x

轴上的椭圆

x

?

y

2

? 1 的离心率为

1 2

,则 m=(



2
3 2 8 3

m
2 3

A

3

B

C

D

8、已知 P ? ? 3 co s ? , 3 sin ? ,1 ? 和 Q ? ? 2 co s ? , 2 sin ? ,1 ? ,则 P Q 的取值范围是( A



?1, 5 ?

B

?1, 5 ?

C ?0, 5?

D

? 0, 2 5 ?

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9、 已知椭圆 距离是( ) A 8 10、与双曲线

x

2

?

y

2

? 1 上一点

P 到它的右准线的距离为 10, 则点 P 到它的左焦点的

100

36

B
x
2

10
y
2

C

12

D

14

?

? 1 有共同的渐近线,且经过点 ? 3 , 2 3

9

16

?

? 的双曲线的一个焦点到

一条渐近线的距离是( ) A 1 B 2 C 4

D

8

11、若抛物线 y 2 ? 8 x 上一点 P 到准线和抛物线的对称轴的距离分别为 10 和 6 ,则此点 P 的横 坐标为( ) A 10 B 9 C 8 D 非上述答案 12、已知坐标满足方程 F(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,那么( ) A 曲线 C 上的点的坐标都适合方程 F(x,y)=0; B 凡坐标不适合 F(x,y)=0 的点都不在 C 上; C 不在 C 上的点的坐标不必适合 F(x,y)=0; D 不在 C 上的点的坐标有些适合 F(x,y)=0,有些不适合 F(x,y)=0。 二、填空题(4*4=16 分) 13、已知四面体 A—BCD,设 AB ? a , BC ? b , CD ? c , DA ? d ,E、F 分别为 AC、BD 中点, 则 EF 可用 a、b、c、d 表示为_______ ____. 14、 “若 A 则 B”为真命题,而“若 B 则 C”的逆否命题为真命题,且“若 A 则 B”是“若 C 则 D”的充分条件,而“若 D 则 E”是“若 B 则 C”的充要条件,则┐B 是┐E 的 条 件;A 是 E 的 条件。 (填“充分” “必要”“充要”或“既不充分也不必要” ) 、 15、设双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 的一条准线与两条渐近线交于

A、B 两点,相应的焦点为 F,若以 AB

为直径的圆恰好过 F 点,则离心率为 16、抛物线 y 2 ? 8 x 上一点 P 到其焦点的距离为 9,则其横坐标为___ ____。 三、解答题(共 74 分) 17、 (12 分)将命题“正偶数不是质数”改写成“若则”的形式,并写出它的逆命题、否命 题、逆否命题,并判断它们的真假。 18、 (12 分)已知顶点在原点, 焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y=2x+1 截得的弦长为 15 。 求抛物线的方程.
2 2

19、 (12 分)已知

x

+

y

=1 的焦点 F1、F2,在直线 l:x+y-6=0 上找一点 M,

9

5

求以 F1、F2 为焦点,通过点 M 且长轴最短的椭圆方程.

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20、 (12 分)A 是△BCD 所在平面外一点,M、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心.若 BD=4,试求 MN 的长.

21、 (12 分)给定双曲线 x ?
2

y

2

? 1 。过

2

A(2,1)的直线与双曲线交于两点 P1 及 P2 ,求线

段 P1 P2 的中点 P 的轨迹方程.

22、 (14 分)在棱长为 1 的正方体
CG ? 1 4 CD

A B C D ? A1 B1C 1 D 1

中, E , F 分别是

D1 D , B D

的中点, G 在棱

CD

上,且

,H 为 ;

C 1G

的中点,应用空间向量方法求解下列问题.
z D1 C1 B1

(1)求证:

E F ? B1 C C 1G

(2)求 EF 与

所成的角的余弦;

(3)求 FH 的长.

A1 E

H

D F A x

G B

C

y

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高二数学选修(2-1)期末模拟考试题(答案)
一、选择题(15×4=60 分) 题目 答案
1 2

1 A

2 B

3 C

4 D

5 C

6 D

7 B

8 A

9 C

10 B

11 D

12 C

二、填空题(4×4=16 分) 13、 (a ? c ) 14、必要 充分 15、 2 16、7

三、解答题(共 74 分) 17、 (12 分)将命题“正偶数不是质数”改写成“若则”的形式,并写出它的逆命题、否命题、逆否命题, 并判断它们的真假。 解:原命题:若一个数是正偶数,则这个数不是质数.(假命题) 逆命题:若一个数不是质数,则这个数是正偶数.(假命题) 否命题:若一个数不是正偶数,则这个数是质数.(假命题) 逆否命题:若一个数是质数,则这个数不是正偶数.(假命题) 18、 (12 分)已知顶点在原点, 焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y=2x+1 截得的弦长为 15 。 求抛物线的方程. 解:依题意可设抛物线方程为: y ? ax (a 可正可负) ,与直线 y=2x+1 截得的弦为 AB;
2

? y 2 ? ax 则可设 A(x1,y1) 、B(x2,y2)联立 ? ?y ? 2x ?1

得 4 x ? (4 ? a ) x ? 1 ? 0
2

即: x 1 ? x 2 ? ?
AB ?

4?a 4

x1 x 2 ?

1 4

(k

2

? 1)[( x 1 ? x 2 ) ? 4 x 1 x 2 ] ?
2

5[( ?

4?a 4

) ? 1] ?
2

15

得:a=12 或-4 所以抛物线方程为 y ? 12 x 或 y ? ? 4 x
2 2

19、 (12 分)已知

x

2

+

y

2

=1 的焦点 F1、F2,在直线 l:x+y-6=0 上找一点 M,

9

5

求以 F1、F2 为焦点,通过点 M 且长轴最短的椭圆方程. 解:由
x
2

?

y

2

? 1 ,得 F1(2,0) 2(-2,0) 1 关于直线 l 的对称点 F1 (6,4) ,F ,F ,连 F1 F2 交 l 于一点,

/

/

9

5
/ 2

即为所求的点 M,∴2a=|MF1|+|MF2|=|F1 F2|=4 5 ,∴a=2 5 ,又 c=2,∴b =16,故所求椭圆方程为
x
2

?

y

2

? 1.

20

16

20、 (12 分)A 是△BCD 所在平面外一点,M、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心.若 BD=4,试求 MN 的长.

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解:连结 AM 并延长与 BC 相交于 E,又连结 AN 并延长与 CD 相交于 E,则 E、F 分别为 BC 及 CD 之中点. 现在 MN = AN ? AM ?
2 3 AF ? 2 3 AE

2 2 2 1 2 1 1 1 = ( AF ? AE ) ? EF = ( CF ? CE ) = ( CD ? CB ) ? ( CD ? CB ) = BD 3 3 3 3 3 2 2 3

∴MN=| MN |=

1 3

| BD |=

1 3

BD=

4 3

21、 (12 分)给定双曲线 x ?
2

y

2

2

? 1 。过 A(2,1)的直线与双曲线交于两点 P1 及 P2 ,求线段 P1 P2 的

中点 P 的轨迹方程. 解:设 P1 ( x 1 , y 1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 ) 代入方程得 x ?
2 1

y1 2

2

? 1,x

2 2

?

y2 2

2

? 1.

两式相减得: ( x 1 ? x 2 )( x 1 ? x 2 ) ?

1 2

( y 1 ? y 2 )( y 1 ? y 2 ) ? 0 。

又设中点 P(x,y) ,将 x 1 ? x 2 ? 2 x , y 1 ? y 2 ? 2 y 代入,当 x 1 ? x 2 时得
2x ? y1 ? y 2 y?1 2 y y1 ? y 2 · ? 0 。又 k ? ? , 2 x1 ? x 2 x1 ? x 2 x ? 2

代入得 2 x ? y ? 4 x ? y ? 0 。
2 2

当弦 P1 P2 斜率不存在时,其中点 P(2,0)的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程
8( x ? 1) 7
2

4( y ? ? 7

1 2

)

2



? 1。

22、 (14 分)在棱长为 1 的正方体
CG ? 1 4 CD

A B C D ? A1 B1C 1 D 1

中, E , F 分别是

D1 D , B D

的中点, G 在棱 C D 上,



,H 为

C 1G

的中点,应用空间向量方法求解下列问题.

(1)求证:

E F ? B1 C C 1G

;
D1

z C1 B1

(2)求 EF 与

所成的角的余弦;

A1 (3)求 FH 的长.(16 分) 解 : 以 D 为 坐 标 原 点 , 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 D-xyz. 则

E

H

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D F A x B G

C

y

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E ( 0 ,0 ,

1

) 2 ,

F(

1 1 3 , , 0 ), C (0,1, 0 ), B1 (1,1,1), C 1 (0,1,1), G (0, , 0 ) 2 2 4

??? ? 1 1 1 ???? ? E F ? ( , , ? ), B1C ? ( ? 1, 0, ? 1) 2 2 2 ??? ???? ? 1 1 ? E F ? B1 C ? ? ? 0 ? ? 0 2 2 ??? ? ???? 则 E F ? B1 C 即 E F ? B1 C
???? ? ???? ? 1 C 1 G ? (0, ? ,1) ? C 1 G ? 4 (2) ??? ? EF ? 0 ? (?
2

1 4

) ?1 ?
2 2

17 4

,由(1)知

??? ???? ? ? 1 1 2 1 2 3 1 3 1 3 2 ( ) ? ( ) ?1 ? ? E F ? C 1G ? ? 0 ? ? ? ( ? ) ? 0 ? 2 2 2 2 2 4 2 8

??? ???? ? ? ??? ???? ? E F ? C 1G 51 ? co s E F , B1 C ? ? E F ? C 1G 17
51

故 EF 与

C 1G

所成角的余弦值为 1 7 .
? H ( 0, 7 1 1 1 , ), 又 F ( , , 0 ) 8 2 2 2

(3)

? H 为 C 1G 1

的中点,
7 8 ? 1 2 ) ?(
2

???? ? FH ?

(0 ?

1 2

) ?(
2

1 2

? 0) ?
2

41 8

即 FH =

41 8

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