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高中数学--函数的奇偶性(1)导学案


高一数学

◆必修一

◆导学案

◆函数

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课题:函数奇偶性(1)
【学习目标】 1、理解函数的奇

偶性及其几何意义 2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质; 3、掌握判断函数奇偶性的方法与步骤. 【学习重点、难点】 重点:函数的奇偶性的概念。 难点:判断函数奇偶性的方法

【课内探究】首先独立思考探究,然后合作交流展示
问题情境:美丽的蝴蝶,盛开的鲜花,六角形的雪花晶体,中国的古建筑,我们学校的综合大楼,它 们都具有对称的美.这种“对称美”在数学中也有大量的反映.今天,让我们开启知识的大门,进入 更精彩纷呈的函数奇偶性的学习. 探究点一 偶函数的概念 问题 1 观察下列函数的图象,你能通过函数的图象,归纳出三个函数的共同特征吗?

【课前导学与自测】
1.函数奇偶性的概念 (1)偶函数:如果对于函数 f(x)的定义域内 一个 x,都有 ,那么函数 f(x)就叫做偶 函数. (2)奇函数:如果对于函数 f(x)的定义域内 一个 x,都有 ,那么函数 f(x)就叫做奇 函数. 2.奇、偶函数的图象 (1)偶函数的图象关于 对称,图象关于 对称的函数一定是偶函数. (2)奇函数的图象关于 对称,图象关于 对称的函数一定是奇函数. 3.判断函数奇偶性要注意定义域优先原则,即首先要看定义域是否关于 对称.

问题 2 关于 y 轴对称的点的坐标有什么关系? 问题 3 怎样说明函数 y=x2 的图象关于 y 轴对称? 问题 4 如果函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称,我们就说这个函数是偶函数,那么如何从代数的角度 定义偶函数? 问题 5 通过前面的探究, 你 能得出偶函数的图象 有怎样的对 称性质吗? 例 1 判断下列函数哪些是偶函数. x3-x2 (1)f(x)=x2+1;(2)f(x)=x2,x∈[-1,3];(3)f(x)=0.(4)f(x)= x-1

【自测】
1、如果函数的图像关于原点对称,那么这个函数一定是奇函数吗? 2、图像关于 y 轴对称的函数一定是偶函数吗? 3、你能试着自己总结出判断函数的奇偶性的步骤吗? 4、一个函数一定是奇函数,或者是偶函数吗?是否存在一个函数既是奇函数,又是偶函数? 5、若 f ( x) 具有奇偶性,函数的定义域会关于原点对称吗? 6、给定四个函数: (1) f ( x) ? x ? x ; (2) y ?
3

探究点二
2

奇函数的概念

1 1 x ?1 ( x ? 0) ;(3) f ( x) ? x ? ; (4) y ? ; x x x
;哪些是偶函数

1 问题 1 观察函数 f(x)=x 和 f(x)= 的图象(如图),你能发现两个函数图象有什么共同特征吗? x

1 (5) f ( x) ? x ? 1.(6) f(x)=x2;其中哪些是奇函数 7、函数 f ( x) ? x ? x 的图像关于点__________对称.
3

我的疑惑

小结 (1)奇函数的定义:一般地,如果对于函数 f(x)的定义域的任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x), 那么 f(x)就叫做奇函数. (2) 如果一个函数 f(x)是奇函数或偶函数, 那么我们就说函数 f(x)具有奇偶性.

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◆函数

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问题 2 类比偶函数图象的对称性,奇函数的图象有怎样的对称性质呢? 例 2 判断下列函数的奇偶性. (1) f ( x) ? 2 x4 ? 3x2 ;

(2) f x ( ? ) x ( x ?

(3)f(x)= x; 1)

ax ? b 为奇函数,则( ). x?c A. a ? 0 B. b ? 0 C. c ? 0 D. a ? 0 3.偶函数 y=f(x)的定义域为[t-4,t],则 t=_______
2.已知函数 y= 4.若函数 f ( x) ? (k ? 2) x 2 ? (k ? 1) x ? 3 是偶函数,则 f ( x) 的递减区间是 。 )

(4)f(x)= 1-x + x -1.

2

2

x+2 ? ? (5)f(x)=?0 ? ?-x+2

?x<-1?, ?|x|≤1?, ?x>1?.

5.已知函数 y=f(x)为偶函数,其图象与 x 轴有四个交点,则方程 f(x)=0 的所有实根之和是 ( A.0 B.1 C .2 D.4 *6.设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 ( ) A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数

7.设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5]. 若当 x∈[0,5]时, f(x)的图象如下图,则 不等式 f ( x) ? 0 的解是 .

小结 (1)对于一个函数来说,它的奇偶性有四种可能:是奇函数但不是偶函数;是偶函数但不是奇 函数;既是奇函数又是偶函数;既不是奇函数也不是偶函数. (2)用定义判断函数奇偶性的步骤:①先求定义域,看是否关于原点对称;②再判断 f(-x)= -f(x)或 f(-x)=f(x)是否恒成立. 探究点三 函数奇偶性的应用 例 3 如图,给出了偶函数 y=f(x)的局部图象,试比较 f(1)与 f(3)的大小. 小结 本题有两种解法,一种是通过图象观察,f(-3)>f(-1),选用偶函数定义,得 f(3)>f(1);另一种 方法是利用偶函数图象的对称性. 跟踪训练 3 如图,给出了奇函数 y=f(x)的局部图象,则 f(-4)=________.

【个人收获与问题】 知识:

方法:

【课堂小结】
1.两个定义:对于 f(x)定义域内的任意一个 x,如果都有 f(-x)=-f(x)? f(-x)+f(x)=0? f(x)为奇函数; 如果都有 f(-x)=f(x)? f(-x)-f(x)=0? f(x)为偶函数. 2.两个性质:函数为奇函数? 它的图象关于原点对称;函数为偶函数? 它的图象关于 y 轴对称. ) 【课后反思】

【当堂检测】(加号*的可以选做)
1.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( A.y=x3 B.y=|x|+1 C.y=-x2+1 2 D.y=- x


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