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高二数学定积分在几何中的应用1


1.7 定积分的简单应用

我们已经看到 , 定积分可以用来计算曲 边 梯形的面积 , 求变速运动物体的位移 .事实 上, 定积分有着广泛的应用 .下面我们介绍 定积分的一些简单应用 .

1.7.1 定积分在几何中的应用

例1 计算由曲线y
2

2

y
1

? x, y ? x 所围图形 的面积S. 分析 首先画草图

y ? x2 B

C
D A
1

y2 ? x

?图1.7 ? 1?.从图中可
以看出 , 所求图形的 面积可以转化为两

o

x

图1.7 ? 1

个曲边梯形面积的差 , 进而可以用定积分求面 积 S .为了确定出被积函数和 积分的上、下限 , 我们需要求出两条曲线 的交点的横坐标 .



作出函数 y 2 ? x, y ? x 2

y
1

的草图, 所求面积为图 1.7 ? 1 中阴影部分的面积 .
解方程组

y ? x2 B

C
D A
1

y2 ? x

y ? x,
2

o

x

y ? x2
图1.7 ? 1

得交点的横坐标为 x ? 0及x ? 1.
1

因此, 所求图形面积为 S ? S曲边梯形 OABC ? S曲边梯形 OABD ??
1 0

2 x dx ? ? x dx ? x 0 3
1 2

3 2

1 3 2 1 1 ? x ? ? ? . 3 0 3 3 3 0

1

例 2 计算由直线 y ? x ? 4,曲线y ? 2 x以及
y
4

y ? x?4

y ? 2x x轴所围图形的面积S . 2 S2 分析 首先画出草图 S1 5 10 x ?图1.7 ? 2?,并设 法 把 o 图1.7 ? 2 所求图形面积问题转 化为求曲边梯形的面积 问题.与例1不同的是 , 还需把所求图形的面积 分成两部分 S1和 S 2 . 为了确定出被积函数和 积分的上、下限 ,需

要求出直线 y ? x ? 4 与曲线 y ? 2x 的交点 的横坐标, 直线y ? x ? 4与x轴的交点 .



作出直线 y ? x ? 4,曲线

y
4

y ? x?4

y ? 2x y ? 2x 的草图 , 所求面积为 2 S2 S1 图1.7 ? 2阴影部分的面积 . o 5 10 x y ? x ? 4, 解方程组 图1.7 ? 2 y ? 2x 得直线 y ? x ? 4与曲线 y ? 2x 的交点?8,4?.

y ? x ? 4与x轴的交点为 ?4,0?.故, 所求图形的面积为 4 8 8 ? ? ? ? ? 2 x dx ? 2 x dx ? x ? 4 dx S ? S1 ? S2 ?0 ?4 ? ? ? ?4 ?
2 2 ? x 3
3 2 4

0

2 2 ? x 3

3 2

8

1 40 2 ? ?x ? 4? ? . 2 3 4 4

8

思考 本题还有其他解法吗 ? 如果有, 请 写出你的解法 ,并比较一下这些解法 .
由上面例题可以发现, 在利用定积分求 平面图形的面积时, 一般要先画出它的 草图, 再借助图形直观确定出 被积函数 以及积分的上、下限 .

; http://www.ahtlbf.com/ 氟塑料磁力泵 氟塑料离心泵 djm593ach 晚饭的时候,我把在人们眼里认为吃不起的青椒、辣椒、蒜薹等蔬菜各拿出一小份,嘱咐妻子砌好。自己去村里的小卖部买来 了酱油、醋,甜酱等调味品。 妻子看着我买来的东西,风趣地问:“哎,苏林,你怎么舍得去花钱,自己不是会做酱油吗?我们家还有山楂,你没有研究研 究能不能用山楂做醋?这样不更省钱吗?” 我的父亲正在闲着看书,听了肖艳的话,一时摸不着头脑,他却放下手中的书,严肃地对我说:“我们做买卖可不能做那亏心 事,让人背地里戳脊梁骨??” “爹,别听她乱说??哪有这样的事??”我狡辩着。 来到厨房里,我瞪了妻子一眼,“哪壶不开提哪壶??好事你不想着,这事你倒记住了??” “这事我怎么会忘呢?现在孩子还小,等孩子长大了,我要讲给他们听,让他们知道我跟了你后曾经有过的日子??” 妻子朝我做个鬼脸,我俩偷偷地笑了。 端上饭菜,父亲尝了尝,伸着大拇指说:“这菜炒的不错,好吃??老六啊??你啥时研究起厨艺来了?来来来,大家一同尝 尝,有这样好的菜不喝上两杯还真有点对不起这几盘菜。” 父亲说着便拿出酒来,咕咕咕地把杯子倒满,也顺便给我倒了一杯。 小荷坐在父亲身旁大口地吃起来,“爸,这是什么菜?真香!”她一边吃一边好奇地问。 肖艳递过一个馒头给她,“小荷,你爷爷还要喝酒呢,多吃个馒头少吃点菜??” 小荷把馒头放到一边,噘着小嘴说:“妈??我不吃馒头就想吃菜??” “好好好,吃菜吃菜??贩菜的还怕没菜吃?”父亲把菜放到了小荷面前。 一家人都笑了。 就这样,每当我进了新鲜的蔬菜来,我总是先做上几个菜让全家人先品尝一番。什么样的菜怎么做就好吃,是炒?是拌?还是 红烧?时间长了,我不仅能向顾客介绍我的蔬菜,还无师自通地悟出了一套做菜的秘诀。谁家的老人过生日或孩子结婚所用到 的菜,我一看便知。所以,我的青菜生意做得非常顺心而红火。 六月的天就像猴子的脸说变就变!睡觉时还是星月当空,半夜里却是大雨磅礴。 妻子担心地对我说:“今晚的雨下个不停,咱就好好睡上一觉吧??钱这东西也不是一天挣的??” 也许人们说的有道理,商人商人,做了买卖就伤了人??或者我就是钻进钱眼儿里去的那种人??我不顾任何人的劝说,半夜 三更当全家人熟睡了的时候,我悄悄地穿上雨衣,钻进雨里骑车向菜市场奔去?? 其实,在我的心里什么也没有,我只是想让我的子女过上更好的生活! 天晴了,主顾们买到了自己所需的青菜,高兴地去了。他们并没有察觉到我的辛苦,好似本来就是如此,你卖我买两不相欠, 你受多大的罪与我有什么关系,就是世界上没有你我还照样吃菜! 同行们却不同了,他们看到我心里有一百个不快乐,嘴上却说,恭喜你,让你今天赶了个好集!其实在他们心里恨不得昨晚的 大雨把我淋死,或者今天还在下雨把我的菜全部烂掉! 然而,我则不同,我总认为这一天我没有虚度过,哪怕是不挣钱甚至折本??最起码我去努力了。 雨季过去了,寒冬接踵而至。


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