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高中数学 3-2 第2课时一元二次不等式的应用同步导学案 北师大版必修5


第 2 课时 一元二次不等式的应用 知能目标解读 1.能利用一元二次不等式解简单的分式不等式与高次不等式.? 2.利用一元二次不等式解决二次方程根的分布问题.? 3.解决与一元二次不等式有关的恒成立问题.? 4.解决相关实际应用问题. 重点难点点拨 重点:1.解简单的分式不等式与高次不等式.? 2.解决与一元二次不等式有关的恒成立问题. ? 难点:利用一元二次不等式解决二次方程根的分布问题. 学习方法指导 解不等式的关键问题就是保证转化的等价性.? (1) 分式不等式一般先移项通分, 然后利用 f ?x ? >0(或<0)型转化为 f(x)· g(x)>0 (或 g ?x ? <0) ,再求解.对于 f ?x ? ≥0(或≤0) ,一定不能忽视去掉 g(x)=0 的情况.? g ?x ? (2)含绝对值号的不等式,可分段去掉绝对值号讨论,也可采用两边平方法,应根据 题目条件的特点选取方法.? (3)高次不等式一般分解因式后用标根法求解,但要注意 x 的高次项系数为正.? (4)不等式恒成立求字母取值范围问题:? 在给定区间上不等式恒成立,一般地,有下面常用结论:? ①f(x)<a 恒成立, ? f(x) max<a;? ②f(x)>a 恒成立, ? f(x) min>a.? (5)关于二次方程根的分布主要有以下几种常见问题(a≠0 条件下):? 2 ①方程 ax +bx+c=0 有实根,有两不等实根,无实根.主要考虑判别式Δ 和二次项系数 a 的符号.? 2 ②方程 ax +bx+c=0 有两正根 ? 方程 ax +bx+c=0 有一正一负两实根 ? 2 ③方程 ax +bx+c=0 有零根 ? c=0.? 2 ④方程 ax +bx+c=0 有两个大于 n 的根(解法类似于有两正根) ? 2 方程 ax +bx+c=0 有两个小于 k 的根(解法类似于有两负根情形) 2 方程 ax +bx+c=0 一根大于 k,另一根小于 k(解法类似于一正一负根的情形).? 2 则需 ⑤方程 ax +bx+c=0 两根都在(m、n)内.? 2 则需 ⑥方程 ax +bx+c=0 一根在(m、n)内,另一根在(n、p)内.? 则需 2 方程 ax +bx+c=0 一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内.则需 ? 2 思路方法技巧 命题方向 分式不等式的解法 [例 1] 不等式 x2 ? 4x ?1 <1.? 3x 2 ? 7 x ? 2 [分析] 解分式不等式一般首先要化为 f ?x ? >0(或<0)的标准形式,再等价转化为 g ?x ? 整式不等式或化为一次因式积的形式来用穿针引线法,借助于数轴得解.? [解析] 解法一:原不等式可化为 2 x 2 ? 3x ? 1 2 2 >0 ? (2x -3x+1)(3x -7x+2)>0 ? 3x 2 ? 7 x ? 2 解得原不等式的解集为{x|x< 1 1 或 <x<1,或 x>2}.? 3 2 解法二:原不等式移项,并因式分解得 ?2 x ? 1??x ? 1? >0 ? ?3x ? 1??x ? 2? (2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)>0,? 在数轴上标出(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)=0 的根,并画出示意图,如图所示.? 可得原不等式的解集为{x|x< 1 1 或 <x<1,或 x>2}. 3 2 [说明] 解分式不等式的思路方法是等价转化为整式不等式, 本题的两种解法在等价 变形中主要运用了符号法则,故在求


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