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2012年全国高中数学竞赛(四川预赛试题及其解答0)


2012 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)
一、单项选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)
2 1、设集合 S ? x | x ? 5 x ? 6 ? 0 , T ? x | x ? 2 |? 3 ,则 S ? T =(

?

?

?

?
<

br />)

A、 {x | ?5 ? x ? ?1}

B、 {x | ?5 ? x ? 5} C、 {x | ?1 ? x ? 1}

D 、 {x |1 ? x ? 5} ) D、

2、正方体 ABCD ? A B1C1D1 中 BC1 与截面 BB1D1D 所成的角是( 1 A、

? 6

B、

? 4

C、

? 3

? 2


3、已知 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 , g ( x) ? kx ? 1 ,则“ | k |? 2 ”是“ f ( x) ? g ( x) 在 R 上恒成立”的( A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

4、设正三角形 ?1 的面积为 S1 ,作 ?1 的内切圆,再作内切圆的内接正三角形,设为 ? 2 ,面积为 S2 ,如此 下去作一系列的正三角形 ?3 , ?4 ,L , ,其面积相应为 S3 , S4 ,L , ,设 S1 ? 1 , Tn ? S1 ? S2 ? L ? Sn ,则
n ? ??

lim Tn =(
A 、

) B 、

6 5

4 3

C、

3 2

D 、2

5、设抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,顶点为 O , M 是抛物线上的动点,则

| MO | 的最大值为( | MF |



A 、

3 3

B 、

2 3 3

C、

4 3

D 、 3

6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形,在此容器内注入水,并放入半径为 r 的一个实心球,此时 球与容器壁及水面恰好都相切,则取出球后水面高为( ) A、 r B、 2 r C、 3 12r D、 3 15r

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 7、如图,正方形 ABCD 的边长为 3, E 为 DC 的中点, AE 与 BD 相交于 F ,则
A F E D

uuu uuu r r FD ? DE 的值是
1 x


B C

8、 ( x ? x ? ) 的展开式中的常数项是
2 6

. (用具体数字作答)

(an ? 1) 2 9、设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 Sn ? ,则 S20 的值为 4
10、不超过 2012 的只有三个正因数的正整数个数为 . .



11、已知锐角 A, B 满足 tan( A ? B) ? 2 tan A ,则 tan B 的最大值是
1

12、从 1,2,3,4,5 组成的数字不重复的五位数中,任取一个五位数 abcde , 满足条件“ a ? b ? c ? d ? e ”的概率是 .

答题卷
姓名
1 2 3 4


5


6



得分

一、单项选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 7. 10. 8. 11. 9. 12.

三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分) 13、设函数 f ( x) ? sin x ? 3cos x ? 1 , (I)求函数 f ( x ) 在 [0,

?
2

] 上的最大值与最小值; b cos c 的值. a

(II)若实数 a, b, c 使得 af ( x) ? bf ( x ? c) ? 1 对任意 x ? R 恒成立,求

2

14、已知 a, b, c ? R ? ,满足 abc(a ? b ? c) ? 1 , (I)求 S ? (a ?c )(b ?c ) 的最小值; (II)当 S 取最小值时, 求 c 的最大值.

15、直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 1的左支交于 A 、 B 两点,直线 l 经过点 (?2, 0) 和 AB
2 2

的中点,求直线 l 在 y 轴的截距 b 的取值范围.

3

16、设函数 f n ( x) ? xn (1 ? x)2 在 [ ,1] 上的最大值为 an ( n ? 1, 2,3,L , ) . (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)求证:对任何正整数 n(n ? 2) ,都有 an ?

1 2

1 成立; (n ? 2)2
7 成立. 16

(III)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,求证:对任意正整数 n ,都有 S n ?

4

参考答案
一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 1、C 2、A 提示: S ? x ? 1 ? x ? 6 , T ? x ? 5 ? x ? 1 , 故S ? T ? x ? 1 ? x ? 1

?

?

?

?

?

?
1 BC1 ,所以 2

提示:过 C1 作 C1O ⊥ B1D1 于点 O,连 BO,则∠ C1BO 是所求的角.因为 C1O ?

∠ C1BO = 3、A

? 6

提示: f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 x2 ? (2 ? k ) x ? 4 ? 0 恒成立,于是有 (2 ? k )2 ? 4*4 ? 0 ,即

?6 ? k ? 2
4、B 提示:这样一系列的三角形是相似三角形,相似比为

1 1 ,故面积成等比递缩数列,公比为 ,于 2 4

1 1 ? ( )n 4 4 , 所以, 是 Tn ? limTn ? 3 1 n ??? 1? 4
5、B 提示:由条件知 F (1, 0)、O(0,0) ,点 M 坐标为 (x,y) ,显然 x ? 0 ,则

(

MO MF
2 3 3

)2 ?

MO x2 ? y 2 x2 ? 4 x 4 1 1 4 的最大值 ? 2 ? ? 3( ? )2 ? ,当 x ? 2 时等号成立,故 2 2 ( x ?1) ? y x ? 2x ?1 3 x ?1 3 3 MF



6、D

提示:如图为圆锥轴截面 PAB ,球心为 O ,为可得 PC ? OC ? PO ? r ? 2r ? 3r, AC ? 3r,

1 4 5 VPAB ? ? ( 3r ) 2 ? 3r ? 3? r 3 ,设取出球后,水面 EF 高为 h .则 VPAB ? 3? r 3 ? ? r 3 ? ? r 3 . 3 3 3
因为

VPEF h3 ? , 所以 h3 ? 15r 3 , h ? 3 15r 3 VPAB PC

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 7、 ?

3 2

提示:

uuu uuu r r DF DE 1 1 3 2 3 ? ? , 故 FD ? DE ? ?DF ? DE ? cos ∠ FDE = ? ? 3 2 ? ? ?? FB AB 2 3 2 2 2

8、 ?5

提示:由条件知常数项是 提示:由条件知 a1 ?

C

2 6

( ?1) 4 ? C 6(?1)3 ? ?5 .
3

9、0

(a1 ? 1) 2 , 解得 a1 ? 1 。 4

当 n ? 2 时,由 Sn ?
2

(an ? 1) 2 (a ? 1)2 1 1 2 2 Sn?1 ? n?1 知 ,所以 an ? ( an ? 1) ? ( an ?1 ? 1) , 4 4 4 4
2

即 (an ?1) ? (an?1 ? 1) , 所以 an ? an?1 ? 2(舍去), an ? ?an?1 。因此, ?an ? 是以 1 为首项,-1 为公比的 或
5

等比数列,所以 S20 ? 10、14

20 1? ?1 ? ? (-1) ? ?

1? (-1)

?0

提示:设 1 ? a ? 2012 且只有三个正约数,则 a 为质数的完全平方, a ? p 2 ? 2012 。于是

2 ? p ? 43 ,即 p ? 2,3,5,7,11,13,17,19, 23, 29,31,37, 41, 43 。

11、

2 4

提示: 因为 tan B ? tan ? ( A ? B) ? A? ?

tan( A ? B) ? tan A 2 tan A ? tan A tan A ? ? 2 1 ? tan( A ? B) tan A 1 ? 2 tan A 1 ? 2 tan 2 A

?

2 2 tan A 2 ,因为等号当且仅当 tan A ? 时成立。所以, tan B 的最大值为 。 ? 2 4 2 2 tan A 4
2 15
提示:显然 b 和 d 中必有 1 个数字为 5,由对称性,不妨设 b ? 5 。显然 d ? 3

12、

(1)若 d ? 4, 则 a、c、e 是 1,2,3 的任意排列都满足,此时共有 6 种; (2)若 d ? 3, 则 a ? 4, 从而 c、e 是 1,2 的任意排列都满足,此时共有 2 种;

综上,满足条件的概率是

2(A 3+A 2)

3

2

A

5 5

?

2 . 15

三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分) 13、解: (I)由条件知 f ( x) ? 2sin( x ? 由0 ? x ?

?
3

) ?1,

(5 分)

5? 1 ? ,于是 ? sin( x ? ) ? 1 2 3 3 6 2 3 ? 1 所以 x ? 时, f ( x ) 有最小值 2 ? ? 1 ? 2 ; 2 2
知,

?

?

? x?

?

?

当x?

?

6

时, f ( x ) 有最大值 2 ?1 ? 1 ? 3 .

(10 分)

(II)由条件可知

2a sin( x ? ) ? 2b sin( x ? ? c) ? a ? b ? 1 对任意的 x ? R 恒成立, 3 3
∴ 2a sin( x ?

?

?

?

) ? 2b sin( x ? ) ? cos c ? 2b cos( x ? ) ? sin c ? (a ? b ? 1) ? 0 3 3 3

?

?

∴ 2(a ? b cos c) ? sin( x ?

?

) ? 2b sin c ? cos( x ? ) ? (a ? b ? 1) ? 0 3 3
(15 分)

?

? a ? b cos c ? 0 ? ∴ ?b sin c ? 0 , ?a ? b ? 1 ? 0 ?
由 b sin c ? 0 知 b ? 0 或 sin c ? 0 。 若 b ? 0 时,则由 a ? b cos c ? 0 知 a ? 0 ,这与 a ? b ? 1 ? 0 矛盾! 若 sin c ? 0 ,则 cos c ? 1 (舍去) cos c ? ?1 , ,

6

解得 a ? b ?

1 b cos c , c ? (2k ? 1)? ,所以, ? ?1 . 2 a

(20 分)

14、解: (I)因为 (a ? c)(b ? c) ? ab ? ac ? bc ? c 2 ? ab ? ( a ? b ? c)c ? ab ?

1 (5 分) ab

? 2 ab ?

1 ? 2 ,等号成立的条件是 ab ? 1 , ab
(10 分)

当 a ? b ? 1, c ? 2 ?1 时, S 可取最小值 2. (II)当 S 取最小值时, ab ? 1 ,从而 c(a ? b ? c) ? 1, 即 c2 ? (a ? b)c ?1 ? 0 ,令 t ? a ? b ,则 t ? 2 ab ? 2

(15 分)

?t ? t 2 ? 4 ?t ? t 2 ? 4 从而 c ? 或者 c ? ? 0 (舍去) 2 2
故 c?

?t ? t 2 ? 4 2 在 t ? [2, ??) 单减, ? 2 t2 ? 4 ? t
(20 分)

所以在 t ? 2 时, c 有最大值 2 ? 1 .

15、解:将直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1方程联立得 ? 化简得 (k ?1) x ? 2kx ? 2 ? 0 ①
2 2

? y ? kx ? 1
2 2 ?x ? y ? 1

(5 分)

? ?? ? 4k 2 ? 8(k 2 ? 1) ? 0 ? 2k ? 由题设知方程①有两负根,因此 ? x1 ? x2 ? ? 2 (10 分) ? 0 ,解得 1 ? k ? 2 . k ?1 ? 2 ? ? x1 ? x2 ? k 2 ? 1 ? 0 ?
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 x1 ? x2 ? ?

2k , k 2 ?1

y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 ? ?
故 AB 的中点为 (?

2k 2 2 ?2?? 2 2 k ?1 k ?1

k 1 ,? 2 ) , k ?1 k ?1 ?1 ?2 ( x ? 2) ,其在 y 轴的截距 b ? 2 所以直线 l 方程为 y ? , (15 分) 2 2k ? k ? 2 2k ? k ? 2 1 2 17 2 当 1 ? k ? 2 时, 2k ? k ? 2 ? 2(k ? ) ? ,其取值范围是 (?1, 2 ? 2) 4 8
2

7

所以 b ?

?2 的取值范围是 (??, ?2 ? 2) ? (2, ??) . 2k ? k ? 2
2

(20 分)

16、解: (I) fn' ( x) ? nxn?1 (1 ? x)2 ? 2xn (1 ? x) ? xn?1 (1 ? x)[n(1 ? x) ? 2x] , 当 x ? [ ,1] 时,由 fn' ( x) ? 0 知 x ? 1 或者 x ? 当 n ? 1 时,

1 2

n , n?2

(5 分)

n 1 1 1 1 1 ? ? [ ,1] ,又 f1 ( ) ? , f n (1) ? 0 ,故 a1 ? ; n?2 3 2 2 8 8 n 1 1 1 1 1 ? ? [ ,1] ,又 f 2 ( ) ? 当 n ? 2 时, , f n (1) ? 0 ,故 a2 ? ; n?2 2 2 2 16 16 n 1 ? [ ,1] , 当 n ? 3 时, n?2 2 1 n n ) 时, fn' ( x) ? 0 ; x ? ( ,1) 时, fn' ( x) ? 0 ; ∵ x ?[ , 2 n?2 n?2
∴ f n ( x) 在 x ?

n n n 2 2 4nn 处取得最大值,即 an ? ( ) ( ) ? n?2 n?2 n?2 (n ? 2)n? 2

?1 ? 8 ,(n ? 1) ? 综上所述, an ? ? . 4n n ? ,(n ? 2) ? (n ? 2) n?2 ?
(II)当 n ? 2 时,欲证

(10 分)

2 n 4nn 1 ,只需证明 (1 ? ) ? 4 ? n?2 2 n (n ? 2) (n ? 2)
n

∵ (1 ? ) ? Cn ? Cn ? ( ) ? Cn ? ( ) ? ? ? Cn ? ( )
n 0 1

2 n

21 2 2 2 n n n(n ? 1) 4 ? 1? 2 ? ? 2 ? 1? 2 ?1 ? 4 2 n

2 n

n

所以,当 n ? 2 时,都有 an ?

1 成立. (n ? 2)2

(15 分)

(III)当 n ? 1, 2 时,结论显然成立; 当 n ? 3 时,由(II)知 S n ?

1 1 ? ? a3 ? a4 ? ? ? an 8 16

1 1 1 1 1 ? ? ? 2 ? 2 ??? 8 16 5 6 (n ? 2) 2
1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 8 16 4 5 5 6 n ?1 n ? 2 1 1 1 7 ? ? ? ? . 8 16 4 16 7 所以,对任意正整数 n ,都有 S n ? 成立. (20 分) 16
8


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