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福建省福州市第八中学2016届高三数学第六次质量检测试题 理


福州八中 2015—2016 学年高三毕业班第六次质量检查 数学(理)试题
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分 2016.2.15 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? {5, a2 ? 3a ? 5} , N ? {1,3} ,若 M ? N ? ? ,则实数

a 的值为 A. 1 B. 2 C. 4 D.1或 2 2.复数 z ?

A. 1 ? 2i D. 1 ? 2i 3.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S5=﹣20,则﹣6a4+3a5= A.﹣20 B.4 C.12 D.20 4.在平行四边形 ABCD 中,AC=5,BD=4,则 AB ? BC =

2i ? i 3 ( i 为虚数单位)的共轭复数为 i ?1 B. i ? 1 C. 1 ? i

uuu r

uuu r

41 9 9 C. D.﹣ 4 4 4 2 2 5. 已知圆 O :x ? y ? 4 上到直线 l : x ? y ? a 的距离等于 1 的点至少有 2 个, 则a 的
A. B.﹣ 取值范围为 A. (?3 2,3 2) C. (?2 2,2 2) B. (??, ?3 2) ? (3 2, ??) D. [?3 2,3 2]

41 4

6.甲、乙 等 5 人在 9 月 3 号参加了纪念抗日战争胜利 70 周年阅兵庆典后,在天安门 广场排成一排拍照留念,甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有( )种. A.12 B.24 C.48 D.120 7 . 已 知 向 量

? n?( 3 , ? A s i n 角 A 的大小为 ? ? A. B. 6 4 ? D. 2
是 A.1007 C.2016
2 2

?? 1 m ? (sin A, ) 与 向 量 2 ?ABC 共线, A 3其中 c A o是 s ) 的内角,则
C.

开始

i ? 1, S ? 0
ai ? i ? cos i? ?1 2
i =i ? 1


?
3

S ? S ? ai
i ? 2016?


8.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的值 B.2015 D.3024

输出

S

x y 9.若双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 y ? 2 x 无 a b 交点,则离心率 e 的取值范围是 A. (1, 2) B. (1, 2] C. (1, 5)
10.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体外接球 的体积为

结束

D. (1, 5]

1

A. 1000 2? B.200π

200 ? 3 1000 2 D. ? 3
C.

? x? y?2?0 11.设实数 x, y 满足条件 ? ?3 x ? y ? 6 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by ? a ? 0, b ? 0? 的最 ? x ? 0, y ? 0 ?
大值为 12,则 3 ? 2 的最小值为

a

b

25 A. 6

B.

8 3

C.

11 3

D. 4

? 1 ? 1, ? 1 ? x ? 0 ? 12. 已知定义域为 R 的函数 g (x) , 当 x∈ (﹣1, 1]时, g (x) = ? x ?1 , 2 ? x ? 3x ? 2, 0 ? x ? 1 ?
且 g(x+2)=g(x)对? x∈R 恒成立,若函数 f(x)=g(x)﹣m(x+1)在区间[﹣1,5] 内有 6 个零点,则实数 m 的取值范围是

2 2 , ) 5 3 2 2 C.[ , ) 5 3
A. (

B. (﹣ ? , D. [

2 2 ]∪( ,+ ? ) 5 3

2 2 , ] 5 3

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个考生都必须做答.第 22题~第24题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.

a? ? 13.已知 a ? ?2? sin xdx ,则二项式 ? x 2 ? ? 的展开式中 x 的系数为 . 0 x? ? ? ? ? ? 14.已知向量 a ? 1, 3 ,向量 b ? ? 3, m ? .若向量 b 在向量 a 方向上的投影为 3,则
?

5

?

?

实数 m = . 15.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? a2 ? 1 ,?nS n ? (n ? 2)an ? 为等差数列,则数 列 ?an ? 的通项公式 an ? 1 6.设点 P 在曲线 y ? 为 .

1 x e 上 , 点 Q 在 曲 线 y ? ln(2 x) 上 , 则 | PQ | 的 最 小 值 2

. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 如图所示 ,在四边形 ABCD 中, ?D = 2? B ,且 AD ? 1 ,

3 CD ? 3 , cos B ? . 3 (Ⅰ)求△ ACD 的面积; (Ⅱ)若 BC ? 2 3 ,求 AB 的长.
18. (本小题满分 12 分)

A

D

B

C
2

2015 年高中学业水平考试之后,为了调查同学们的考试成绩,随机抽查了某高中的高 二一班的 10 名同学的语文、数学、英语成绩,已知其考试等级分为 A,B,C,现在对他们 的成绩进行量化:A 级记为 2 分,B 级记为 1 分,C 级记为 0 分,用(x,y,z)表示每位同 学的语文、数学、英语的得分情况,再用综合指标 w=x+y+z 的值评定该同学的得分等级 .若 w≥4,则得分等级为一级;若 2≤w≤3.则得分等级为二级;若 0 ≤w≤1,则得分等级为三 级.得到如下结果: 人员编 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 号 (x,y,(1,1, (2,1,(2,2,(0,0,(1,2,(1,2,(1,1,(1,2,(1,2,(1,1, z) 2) 1) 2) 1) 1) 2) 1) 2) 1) 1) (Ⅰ)在这 10 名同学中任取两人,求这两位同学英语得分相同的概率; (Ⅱ)从得分等级是一级的同学中任取一人,其综合指标为 a,从得分等级不是一级的 同学中任取一人,其综合指标为 b,记随机变量 X=a﹣b,求 X 的分布 列及其数学期望. 19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC=2, A1A=4,A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点,D 是 B1C1 的中点. (1)证明:A1D⊥平面 A1BC; (2)求二面角 A1﹣BD﹣B1 的平面角的余弦值.

20. (本小题满分 12 分)

x2 y2 ? ? 1 上的任一点,从原点 O 向圆 M : 如 图 , 已 知 M ( x0 , y0 ) 是 椭 圆 C : 6 3

? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ?
2

2

? 2 作两条切线,分别交椭圆于点 P 、 Q .
2 2

(Ⅰ)若直线 OP , OQ 的斜率存在,并记为 k1 , k2 ,求证: k1k 2 为定值; (Ⅱ)试问 OP ? OQ 是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? a( x2 ? 3x ? 2) ,其中 a ? R . (Ⅰ)讨论 f ( x ) 极值点的个数;

1 ,函数 g ( x) ? 2 f ( x )? ? ,若 x1 , x2 ( x1 ? x2 )满足 ( ? 3)x ? 2 2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 且 x1 ? x2 ? 2 x0 ,证明: g '( x0 ) ? 0 .
(Ⅱ)设 a ? ? 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题做答.答题时请写清题 号并将相应信息点涂黑. 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 如图,正方形 ABCD 边长为 2,以 D 为圆心、 DA 为半 径的圆弧与以 BC 为直径的半圆 O 交于点 F ,连结 CF 并延 长交 AB 于点 E . (Ⅰ)求证: AE ? EB ; (Ⅱ)求 EF ? FC 的值.

A

D

E

F

B

O

C

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】
3

已知曲线 C 的参数方程是 ?

?? ? (其中坐标系满足极坐标原点与直角坐标系原点重合,极轴与直角坐 ?? 2. 4? ? 标系 x 轴正半轴重合,单位长度相同.) (Ⅰ)将曲线 C 的参数方程化为普通方程,将直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)设 M 是直线 l 与 x 轴的交点, N 是曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值. ? sin ?? ?
24. (本小题满分 10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】 已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? 2 x ? 1 . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? ?2 的解集; (Ⅱ)对任意 x ? ?a,?? ? ,都有 f ( x) ? x ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

? x ? 1 ? cos? ( ? 为参数) ,直线 l 的极坐标方程为 ? y ? 2 ? sin ?

4

福州八中 2015—2016 学年高三毕业班第六次质量检查 数学(理)试卷参考答案及评分标准 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C C A B C D 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. ?640 14. 3 15.

9 D

10 D

11 D

12 C

n 2n ?1

16. 2 (1 ? ln 2)

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) cos D ? cos 2 B ? 2 cos B ? 1 ? ?
2

1 3

………………………2 分

因为 ?D ? ? 0, ? ? ,所以 sin D ? 所以△ACD 的面积 S ?

2 2 ,…………………………4 分 3

1 ? AD ? CD ? sin D ? 2 .………………6 分 2 (Ⅱ)解法一:在△ACD 中, AC2 ? AD2 ? DC2 ? 2 AD ? DC ? cos D ? 12 , 所以 AC ? 2 3 .……………………………………………………8 分 在△ABC 中, AC2 ? AB2 ? BC2 ? 2 AB ? BC ? cos B ? 12 ……………10 分 把已知条件代入并化简得: AB2 ? 4 AB ? 0 因为 AB ? 0 ,所以 AB ? 4 ……12 分 解法二:在△ACD 中,在△ACD 中, AC2 ? AD2 ? DC2 ? 2 AD ? DC ? cos D ? 12 , 所以 AC ? 2 3 .…………………………………………………………8 分
因为 BC ? 2 3 ,

2 3 AB AC AB ? ? ,所以 ,………10 分 sin B sin ?ACB sin B sin ?? ? 2B ?

得 AB ? 4 .…………………………………………………………………………12 分 18. (本小题满分 12 分)试题解析:解: (Ⅰ)在这 10 名同学中任取两人,基本事件总数 n= =45,……………1 分 ∵A1,A3,A6,A8 等 4 名学生的英语成绩都是 2 分,另外 6 名学生的英语成绩都是 1 分, ∴任取的两名学生的英语成绩相同的基本事件个数 m= =21,………3 分 ∴这两位同学英语得分相同的概率 p= .…………………………4 分

(Ⅱ)得分等级是一级的同学有 A1,A2,A3,A5,A6,A8,A9,其中 A1,A2,A5,A9 的综合指 标为 4,A6,A8 的综合指标为 5,A3 的综合指标为 6,得分等级为二级的同学有 A4,综合指标 为 1,A7,A10,综合指标都是 3, ∴X 的可能取值为 1 ,2,3,4,5,………………………………5 分 P(X=1)= = ,…… …………………………6 分

P(X=2)=

=

,………………………………7 分

5

P( X=3)=

= ,………………………………8 分

P(X=4)=

=

,………………………………8 分

P(X=5)= ∴X 的分布列为: X P

=

,………………………………9 分

1

2

3

4

5

……………………………………………………10 分 所以,X 的数学期望 EX= = .…………12 分

考点:离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 点评:本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,在历年高 考中这部分内容都是必考知识点,是中档题. 19. (本小题满分 12 分) 【试题解析】 (1)证明:如图,以 BC 中点 O 为坐标原点,以 OB、OA、OA1 所在直线分别为 x、 y、z 轴建系.………………1 分 则 BC= AC=2 ,A1O= = , 易知 A1(0,0, ) ,B( A(0, ,0) ,D(0,﹣ ) ,……………2 分 =(0,﹣ =(﹣ 0, ∵ ,0) , ,0,0) ,C(﹣ , ) ,B1( =(﹣ =(﹣2 ,﹣ , ,0,0) , ,﹣ , ) , =(0,

,0,0) ,

,0,0) ,

) ,……………………4 分

?

=0,∴A1D⊥OA1,又∵

?

=0,∴A1D⊥

BC, 又∵OA1∩BC=O, ∴A1D⊥平面 A1BC; …………………… 6分 (2)解:设平面 A1BD 的法向量为 =(x,y,z) , 由 ,得 ,取 z=1,得 =( ,0,1) ,…7 分

设平面 B1BD 的法向量为 =(x,y,z) , 由 ,得 = ,取 z=1,得 =(0, = ,………10 分 ,1) ,8 分

∴cos< , >=

又∵该二面角为钝角,……………………11 分 ∴二面角 A1﹣BD﹣B1 的平面角的余弦值为﹣ .……………………12 分 考点:二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 点评:本题考查空间中线面垂直的判定定理,考查求二面角的三角函数值,注意解题方法
6

的积累,属于中档题. 20. (本小题满分 12 分) 【试题解析】 ( 1 ) 因 为 直 线 OP : y ? k1 x 以 及 OQ : y ? k2 x 与 圆 M 相 切 , 所 以

| k1 x0 ? y0 | 1 ? k12

? 2,

2 2 化简得: ( x0 ? 2)k12 ? 2x0 y0k1 ? y0 ? 2 ? 0 ……………………1 分
2 2 2 同理: ( x0 ? 2)k2 ? 2x0 y0k2 ? y0 ? 2 ? 0 ,……………………2 分

?

2 y0 ?2 ………………………………3 分 k1 ? k2 ? 2 x0 ? 2

x0 2 y0 2 1 2 2 ? ? 1 ,即 y0 因为点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上,所以 ,……4 分 ? 3 ? x0 6 3 2 1 2 1 ? x0 1 所以 k1k2 ? 2 2 ? ? .………………6 分 x0 ? 2 2
(2) OP ? OQ 是定值,定值为 9.………………7 分 理由如下: 法一: (i)当直线 OP 、 OQ 不落在坐标轴上时,设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,
2 2

6 ? 2 ? y ? k1 x, ? x1 ? 1 ? 2k 2 , ? ? 1 联立 ? x 2 y 2 解得 ? 2 ? 1, ? ? ? y 2 ? 6k1 . 3 ?6 1 ? 1 ? 2k12 ? 6(1 ? k12 ) 2 2 所以 x1 ? y1 ? , 1 ? 2k12
同理,得 x2 ? y2 ?
2 2

6(1 ? k2 2 ) ,………………9 分 1 ? 2k 2 2

由 k1k2 ? ?

6(1 ? k12 ) 6(1 ? k2 2 ) 1 ? ,所以 OP2 ? OQ2 ? x12 ? y12 ? x22 ? y22 ? 1 ? 2k12 1 ? 2k 2 2 2 1 2 6(1 ? (? ) ) 2 6(1 ? k1 ) 2k1 9 ? 18k12 ? ? ? ? 9 ……………………10 分 2 1 2 1 ? 2k12 1 ? 2 k 1 1 ? 2(? ) 2k1
2 2 2 2

(ii)当直线 OP 、 OQ 落在坐标轴上时,显然有 OP ? OQ ? 9 ,…………11 分 综上: OP ? OQ ? 9 ……………………9 分 法二: (i)当直线 OP 、 OQ 不落在坐标轴上时,设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , 因为 k1k2 ? ?

1 1 2 2 2 ,所以 y1 ,…………………………7 分 y2 ? x12 x2 2 4
1 ? 2 ? x12 y12 y1 ? 3 ? x12 ? ?1 ? ? ? 2 ,…8 分 Q( x2 , y2 ) 在 椭圆 C 上,所以 ? 6 3 ,即 ? ? 2 2 1 ? y 2 ? 3 ? x2 ? x2 ? y2 ? 1 2 2 ? ? ? 2 3 ?6
7

因为 P( x1 , y1 ) ,

1 2 1 2 1 2 2 2 x1 )(3 ? x2 ) ? x12 x2 ,整理得 x1 ? x2 ?6, 2 2 4 1 ? ? 1 2? ? 2 2 2 2 所以 y1 ? y2 ? ? 3 ? x12 ? ? ? 3 ? x2 ? ? 3 ,所以 OP ? OQ ? 9 .…………10 分 2 2 ? ? ? ? 2 2 (ii)当直线 OP 、 OQ 落在坐标轴上时,显然有 OP ? OQ ? 9 ,…………11 分 2 2 综上: OP ? OQ ? 9 .…………………………12 分
所以 (3 ? 考点:1.椭圆的定义与几何性质;2.直线与圆的位置关系;3.直线与椭圆的位置关系. 21. (本小题满分 12 分) 【 试 题 解 析 】 ( 1 ) 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 ( 0 ??, , )

1 ax(2 x ? 3) ? 1 ? a (2 x ? 3) ? .……1 分 x x 令 g ( x) ? ax(2 x ? 3) ? 1 . ①当 a ? 0 时, 所以, 函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增, 无极值; …… ? ( x) ? 1 ,f ( x) ? ln x , f '( x) ?
2分

3 4 ? ( x) 在 (0, ??) 上有唯一零点,从而函数 f ( x) 在 (0, ??) 上有唯一极值点;…… ……3 分 3 9 8 ③当 a ? 0 时,若 ? ( ) ? 1 ? a ? 0 ,即 0 ? a ? 时,则 ? ( x ) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, 4 8 9 从而 f '( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增,无极值;…………4
分 若?( ) ? 1?

②当 a ? 0 时,? ( x) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( , ??) 上单调递减,且 ? (0) ? 1 ? 0 ,所以,

3 4

9 8 a ? 0 ,即 a ? ,由于 ? (0) ? 1 ? 0 ,则 ? ( x) 在 (0, ??) 上有两个零点,从 8 9 而函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上有两个极值点.………………5 分
综上所述: 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上有唯一极值点; 当0 ? a ? 当a ?

3 4

8 时,函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上无极值点; 9

8 时,函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上有两个极值点.…………………………6 分 9 2 2 (2) g ( x) ? 2ln x ? x ? ? x , g ( x ) ? ? 2 x ? ? . x ? ?2ln x ? x 2 ? ? x ? 2ln x ? x 2 ? ? x , ① 1 1 1 2 2 2 ? ? 假设结论不成立,则有 ? x1 ? x2 ? 2 x0 , ② …………7 分 ?2 ? ? 2 x0 ? ? ? 0, ③ ? ? x0

x1 x2 x ? 2 x0 ,……8 分 由①,得 2ln 1 ? ( x12 ? x2 2 ) ? ? ( x1 ? x2 ) ? 0 ,∴ ? ? 2 x1 ? x2 x2 ln

8

x x1 x 2 1 ?2 ln 1 x x2 x2 x2 1 2 2 由③, 得? ? ∴ , 即 ln 1 ? . ④…… ? ,即 ? ? 2 x0 , x x2 x1 ? x2 x0 x1 ? x x ? 2x x0 1 2 1 ?1 x2

ln

9分 令t ?

2t ? 2 x1 ,不妨设 x1 ? x2 , u (t ) ? ln t ? (0 ? t ?1) ,………………10 分 t ?1 x2

(t ? 1)2 ? 0 ,………………11 分 t (t ? 1)2 ∴ u(t ) 在 0 ? t ? 1 上增函数, u (t ) ? u (1) ? 0 ,
则 u '(t ) ? ∴④式不成立,与假设矛盾. ∴ g '( x0 ) ? 0 .………………12 分 考点:1、利用导数研究函数的单调性;2、函数的极值;3、反证法. 在第 22、23、24 题中任选一题做答. 22(本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)由以 D 为圆心 DA 为半径作圆,而 ABCD 为正方形, ∴EA 为圆 D 的切线 ………………………………………………(1 分) 依据切割线定理得 EA2 ? EF ? EC ………………………………(2 分) 另外圆 O 以 BC 为直径,∴EB 是圆 O 的切线,………………(3 分) 同样依据切割线定理得 EB 2 ? EF ? EC ……………………………(4 分) 故 AE ? EB ………………………………………(5 分) (Ⅱ)连结 BF ,∵BC 为圆 O 直径, A ∴ BF ? EC ………………………………(6 分)

D

1 1 BC ? BE ? CE ? BF 2 2 1? 2 2 5 得 BF ? …………………………(8 分) ? 5 5
由 S ?BCE ? 又 在
Rt?BCE
2

E

F

















4 EF ? FC ? BF ? ……………………(10 分) 5
23. (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)曲线 C 的参数 方程可化为 直线 l 的方程为 ? sin ?? ?

B

O

C

?x ? 1?2 ? ? y ? 2?2 ? 1

………………(2 分)

? ? 2 展开得 ? cos? ? ? sin ? ? 2 …………(4 分) 4? 直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 ………………………………………(5 分)
(Ⅱ)令 y ? 0 ,得 x ? 2 ,即 M 点的坐标为(2,0)………………………(6 分) 又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为 ?1,2? ,半径 r ? 1 ,则 MC ? 5 ………(8 分) 所 以 MN ≤ MC ? r ? 5 ? 1 ,? MN 的最大值为 5 ? 1 .…………………(10 分) 24(本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? -2 当 x ? ?2 时, x ? 4 ? ?2 , 即 x ? 2 ,∴ x ? ? ;………………………………(1 分)

? ?

??

2 2 ,∴ ? ? x ? 1 …………………………(2 分) 3 3 当 x ? 1 时, ? x ? 4 ? ?2 , 即 x ? 6 , ∴1 ? x ? 6 ………………………………(3 分)
当 ? 2 ? x ? 1 时, 3 x ? ?2 ,即 x ? ?
9

2 ? x ? 6} …………………………………………………(4 分) 3 ? x ? 4, x ? ?2 ? (Ⅱ) f ( x) ? ?3 x,?2 ? x ? 1 ,……………………………………(5 分) ? ? x ? 4, x ? 1 ? 令 y ? x ? a , ? a 表示直线的纵截距,当直线过 ?1,3? 点时, ? a ? 2 ; ∴当 ? a ? 2,即 a ? -2 时成立;……………………………………………(7 分) a 当 ? a ? 2 ,即 a ? ?2 时,令 ? x ? 4 ? x ? a , 得 x ? 2 ? , 2 a ∴ a ? 2+ ,即 a ? 4 时成立,………………………………………………(9 分) 2 综上 a ? -2 或 a ? 4 …………………………………………………………(10 分)
综上,解集为{ x | ?

10


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