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空间几何体之球的表面积与体积专题训练


空间几何体之球的表面积与体积专题训练
一.选择题(共 30 小题)

1.(2011?辽宁)已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= ∠ ASC=∠ BSC=30° ,则棱锥 S﹣ABC 的体积为( A. 3 B. 2 C. ) D. 1



2.(2011?辽宁)己知球的直径 SC=4,

A,B 是该球球面上的两点.AB=2, ∠ ASC=∠ BSC=45° ,则棱锥 S﹣ABC 的体积为( A. B. C. ) D.

3.(2008?湖北)用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为 π,则球的体积为 ( A. ) B. C. D.

4. (2014?陕西)已知底面边长为 1,侧棱长为 则该球的体积为( A. ) B.4π C.2π

的正四棱柱的各顶点均在同一球面上,

D.

5.(2014?四川模拟)三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上,SA⊥ 平面 ABC, AB⊥ BC,又 SA=AB=BC=1,则球 O 的表面积为( A. B. C.3π ) D.12π

6.(2014?郑州一模)已知四面体 ABCD 中,AB=AD=6,AC=4,CD=2 面 ACD,则四面体 ABCD 外接球的表面积为( A.36π B.88π ) C.92π D.128π

,AB⊥ 平

7. (2014?贵阳模拟) 已知正三棱柱 ABC﹣A′B′C′的所有顶点都在球 O 的球面上, AB=3, AA′=2,则球 O 的体积为( )

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A.

B.

C.

D.

8.(2014?郑州模拟)已知四面体 P﹣ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上,若 PB⊥ 平面 ABC,AB⊥ AC,且 AC=1,PB=AB=2,则球 O 的表面积为( A.7π B.8π C.9π ) D.10π

9. (2014?乌鲁木齐三模)点 A,B,C,D 在同一个球的球面上,AB=BC=2,AC=2 若四面体 ABCD 体积的最大值为 ,则该球的表面积为( A. B.8π C.9π ) D.12π



10.(2014?宝山区二模)若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积 分别记为 S1、S2,则 S1:S2=( A.1:1 B.2:1 ) C.3:2 D.4:1

11.(2014?山东模拟)三棱柱的侧棱与底面垂直,且底面是边长为 2 的等边三角形,其 正视图(如图所示)的面积为 8,则该三棱柱外接球的表面积为( )

A.

B.

C.

D.24π

12( .2014?河南模拟) 四面体 ABCD 中, 已知 AB=CD= 则四面体 ABCD 的外接球的表面积为( A.25π B.45π ) C.50π

, AC=BD=

, AD=BC=



D.100π

13.(2014?沈阳二模)四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上,AB⊥ 平面 BCD, △ BCD 是边长为 3 的等边三角形.若 AB=2,则球 O 的表面积为(
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A.

B.12π

C.16π

D.32π

14.(2014?石家庄模拟)已知球 O,过其球面上 A,B,C 三点作截面,若 O 点到该截 面的距离等于球半径的一半,且 AB=BC=2,∠ B=120° ,则球 O 的表面积为( A. B. C.4π D. )

15.(2014?滨州二模)如图,一个正三棱柱的左(侧)视图是边长为 它的外接球的表面积等于( )

的正方形,则

A.8π

B.

π

C.9π

D.

π

16.(2014?兴安盟一模)在三棱椎 A﹣BCD 中,侧棱 AB,AC,AD 两两垂直,△ ABC, △ ACD,△ ADB 的面积分别为 A.2π B.6π , , ,则该三棱椎外接球的表面积为( C. π D.24π )

17.(2013?文昌模拟)已知三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点均在半径为 1 的球面上,且满足 ? A. 2 =0, ? =0, ? B. 1 =0,则三棱锥 P﹣ABC 的侧面积的最大值为( C. D. )

18. (2012?宁波模拟)设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上, 则该球的表面积为( A.3πa
2

) B.6πa2 C.12πa2 D.24πa2

19. (2013?牡丹江一模) 三棱锥 A﹣BCD 的外接球为球 O, 球 O 的直径是 AD, 且△ ABC、 △ BCD 都是边长为 1 的等边三角形,则三棱锥 A﹣BCD 的体积是( A. B. C. ) D.

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20. (2012?黑龙江)平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的距离为 ,则此球的体积为( A. π ) π C.4 π D. 6 π

B. 4

21.(2012?江西校级模拟)球 O 的球面上有四点 S,A,B,C,其中 O,A,B,C 四 点共面,△ ABC 是边长为 2 的正三角形,面 SAB⊥ 面 ABC,则棱锥 S﹣ABC 的体积的最大值为 ( A. ) B. C. D.

22. (2012?河北模拟)已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为 接球的表面积为( A.12π ) B.36π C.72π

,则这个四棱锥的外

D.108π

23.(2012?洛阳模拟)已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,SA⊥ 平面 ABC, ( A.4π ) B.12π C.16π D.64π ,AB=1,AC=2,∠ BAC=60° ,则球 O 的表面积为

24.(2012?钟祥市校级模拟)A,B,C,D 是同一球面上的四个点,其中△ ABC 是正三 角形,AD⊥ 平面 ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为( A. B.48π C. ) D.

25. (2011?临汾校级模拟) 在三棱锥 A﹣BCD 中, 侧棱 AB, AC, AD 两两垂直, △ ABC, △ ACD,△ ADB 的面积分别为 A. B. , , ,则该三棱锥的体积为( C.6 ) D. 2

26. (2010?成都二模) 在棱锥 P﹣ABC 中,侧棱 PA、 PB、 PC 两两垂直, Q 为底面△ ABC 内一点,若点 Q 到三个侧面的距离分别为 3、4、5,则以线段 PQ 为直径的球的表面积为( A.100π B.50π C.25π D. )

27.(2010?宜春校级模拟)在正三棱锥 S﹣ABC 中,M、N 分别是棱 SC、BC 的中点, 且 MN⊥ AM.若侧棱 ,则正三棱锥 S﹣ABC 外接球的表面积是
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) B.32π C.36π D.48π

A.12π

28.(2010?朝阳区二模)一个正方体的所有顶点都在同一球面上,若球的体积是 则正方体的表面积是( A. 8 ) B. 6 C.4 D. 3



29.(2009?长宁区二模)过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面 的面积与球的表面积的比为( A. B. ) C. D.

30. (2006?安徽)表面积为 积为( A. ) B.

的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体

C.

D.

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空间几何体之球的表面积与体积专题训练
参考答案与试题解析

一.选择题(共 30 小题) 1. (2011?辽宁)已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 则棱锥 S﹣ABC 的体积为( A. 3 B. 2 ) C. D. 1 ,∠ ASC=∠ BSC=30° ,

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题:计算题;压轴题.

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分析:设球心为点 O,作 AB 中点 D,连接 OD,CD,说明 SC 是球的直径,利用余弦定理,三 角形的面积公式求出 S△ SCD,和棱锥的高 AB,即可求出棱锥的体积. 解答:解:设球心为点 O,作 AB 中点 D,连接 OD,CD 因为线段 SC 是球的直径, 所以它也是大圆的直径,则易得:∠ SAC=∠ SBC=90° 所以在 Rt△ SAC 中,SC=4,∠ ASC=30° 得:AC=2,SA=2 又在 Rt△ SBC 中,SC=4,∠ BSC=30° 得:BC=2,SB=2 则:SA=SB,AC=BC 因为点 D 是 AB 的中点所以在等腰三角形 ASB 中,SD⊥ AB 且 SD= = = = =

在等腰三角形 CAB 中,CD⊥ AB 且 CD=

又 SD 交 CD 于点 D 所以:AB⊥ 平面 SCD 即:棱锥 S﹣ABC 的体积:V= AB?S△ SCD, 因为:SD= =( ,CD= + ﹣16) ,SC=4 所以由余弦定理得:cos∠ SDC=(SD +CD ﹣SC ) = =
2 2 2

则:sin∠ SDC=

= =3 =

由三角形面积公式得△ SCD 的面积 S= SD?CD?sin∠ SDC= 所以:棱锥 S﹣ABC 的体积:V= AB?S△ SCD= 故选 C

点评:本题是中档题,考查球的内接棱锥的体积的求法,考查空间想象能力,计算能力,有难度
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的题目,常考题型. 2.(2011?辽宁)己知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点.AB=2,∠ ASC=∠ BSC=45° , 则棱锥 S﹣ABC 的体积为( A. B. ) C. D.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;球内接多面体. 专题:计算题. 分析:由题意求出 SA=AC=SB=BC=2

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,∠ SAC=∠ SBC=90° ,说明球心 O 与 AB 的平面与 SC

垂直,求出 OAB 的面积,即可求出棱锥 S﹣ABC 的体积. 解答:解: 如图: 由题意球的直径 SC=4, A, B 是该球球面上的两点. AB=2, ∠ ASC=∠ BSC=45° , 求出 SA=AC=SB=BC=2 ,

∠ SAC=∠ SBC=90° ,所以平面 ABO 与 SC 垂直,则 进而可得:VS﹣ABC=VC﹣AOB+VS﹣AOB, 所以棱锥 S﹣ABC 的体积为: 故选 C. = .

点评:本题是基础题,考查球的内接三棱锥的体积,考查空间想象能力,计算能力,球心 O 与 AB 的平面与 SC 垂直是本题的解题关键,常考题型. 3.(2008?湖北)用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为 π,则球的体积为( A. B. C. D. )

考点:球的体积和表面积. 专题:计算题.

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分析:做该题需要将球转换成圆,再利用圆的性质,获得球的半径,解出该题即可. 解答:解:截面面积为 π?截面圆半径为 1,又与球心距离为 1?球的半径是 所以根据球的体积公式知 故选 B. 点评:本题考查学生的空间想象能力, 以及学生对圆的性质认识, 进一步求解的能力, 是基础题.
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4.(2014?陕西)已知底面边长为 1,侧棱长为 球的体积为( A. ) B.4π

的正四棱柱的各顶点均在同一球面上,则该 C.2π D.

考点:球的体积和表面积.

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专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:由长方体的对角线公式, 算出正四棱柱体对角线的长, 从而得到球直径长, 得球半径 R=1, 最后根据球的体积公式,可算出此球的体积. 解答:解:∵ 正四棱柱的底面边长为 1,侧棱长为 ∴ 正四棱柱体对角线的长为 =2 又∵ 正四棱柱的顶点在同一球面上, ∴ 正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径,得球半径 R=1 根据球的体积公式,得此球的体积为 V= πR = π. 故选:D. 点评:本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长,求该球的体积,考查了正四棱柱的性质、 长方体对角线公式和球的体积公式等知识,属于基础题. 5. (2014?四川模拟) 三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上, SA⊥ 平面 ABC,AB⊥ BC, 又 SA=AB=BC=1,则球 O 的表面积为( A. B. ) C.3π D.12π
3



考点:球的体积和表面积. 专题:计算题;球.

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分析:根据题意, 三棱锥 S﹣ABC 扩展为正方体, 正方体的外接球的球心就是正方体体对角线的 中点,求出正方体的对角线的长度,即可求解球的半径,从而可求三棱锥 S﹣ABC 的外接 球的表面积. 解答:解:三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上,SA⊥ 平面 ABC,AB⊥ BC,又 SA=AB=BC=1, 三棱锥扩展为正方体的外接球,外接球的直径就是正方体的对角线的长度, ∴ 球的半径 R= = .

球的表面积为:4πR =4 故选:C.

2

=3π.

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点评:本题考查三棱锥 S﹣ABC 的外接球的表面积,解题的关键是确定三棱锥 S﹣ABC 的外接 球的球心与半径. 6.(2014?郑州一模)已知四面体 ABCD 中,AB=AD=6,AC=4,CD=2 则四面体 ABCD 外接球的表面积为( A.36π B.88π ) C.92π D.128π ,AB⊥ 平面 ACD,

考点:球的体积和表面积. 专题:计算题.

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分析:根据条件构造长方体,求出长方体的对角线的长,就是外接球的直径,然后求出表面积. 解答:解:∵ AB=AD=6,AC=4,CD=2 ∴ CD =AD +AC ,即 DA⊥ AC, ∵ AB⊥ 平面 ACD, ∴ 四面体 ABCD 是长方体的一部分,如图,构造长方体, 长方体的对角线的长为 l= ∴ 长方体的体对角线就是外接球的直径, 外接球的直径 2r= 即 r= , ) =88π.
2 2 2 2



=2





所以球的表面积为:4π( 故选:B.

点评:本题主要考查球的表面积公式,以及球内接长方体的关系,要求熟练掌握长方体的体对角 线和球直径之间的关系是解决本题的关键. 利用四面体的边长关系构造长方体是解决本题 的突破点.

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7. (2014?贵阳模拟) 已知正三棱柱 ABC﹣A′B′C′的所有顶点都在球 O 的球面上, AB=3, AA′=2, 则球 O 的体积为( A. ) B. C. D.

考点:球的体积和表面积. 专题:计算题.

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分析:根据正三棱柱的对称轴,求出球的半径,即可求球的体积. 解答:解:由题意可知:正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心, ∵ AB=BC=AC=3, ∴ BD= ∴ 外接球的半径 OB= ∴ 外接球的体积为 πR = 故选:C.
3

,OD= AA′=1, , .

点评:本题考查正三棱柱的外接球的表面积的求法,找出球的球心是解题的关键,考查空间想象 能力,计算能力. 8.(2014?郑州模拟)已知四面体 P﹣ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上,若 PB⊥ 平面 ABC, AB⊥ AC,且 AC=1,PB=AB=2,则球 O 的表面积为( A.7π B.8π C.9π ) D.10π

考点:球的体积和表面积.

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专题:空间位置关系与距离. 分析:根据条件,根据四面体 P﹣ABC 构造长方体,然后根据长方体和球的直径之间的关系,即 可求出球的半径. 解答:解:∵ PB⊥ 平面 ABC,AB⊥ AC,且 AC=1,PB=AB=2, ∴ 构造长方体,则长方体的外接球和四面体的外接球是相同的, 则长方体的体对角线等于球的直径 2R, 则 2R= ∴ R= ,
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则球 O 的表面积为 4πR =4 故选:C.

2

=9π,

点评:本题主要考查空间几何体的位置关系,利用四面体构造长方体是解决本题的关键,利用长 方体的体对角线等于球的直径是本题的突破点. 9.(2014?乌鲁木齐三模)点 A,B,C,D 在同一个球的球面上,AB=BC=2,AC=2 面体 ABCD 体积的最大值为 ,则该球的表面积为( A. B.8π C.9π ) D.12π ,若四

考点:球的体积和表面积. 专题:计算题;球.

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分析:根据几何体的特征,判定外接球的球心,求出球的半径,即可求出球的表面积. 解答:解:根据题意知,△ ABC 是一个直角三角形,其面积为 1.其所在球的小圆的圆心在斜边 AC 的中点上,设小圆的圆心为 Q, 若四面体 ABCD 的体积的最大值,由于底面积 S△ ABC 不变,高最大时体积最大, 所以,DQ 与面 ABC 垂直时体积最大,最大值为 × S△ ABC× DQ= , S△ ABC= AC?BQ= 即 × × DQ= ,∴ DQ=2,如图.

设球心为 O,半径为 R,则在直角△ AQO 中, OA =AQ +OQ ,即 R =(
2 2 2 2

) +(2﹣R) ,∴ R=
2

2

2

则这个球的表面积为:S=4π( ) =9π; 故选:C.

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点评:本题考查的知识点是球内接多面体,球的表面积,其中分析出何时四面体 ABCD 的体积 的最大值,是解答的关键. 10.(2014?宝山区二模)若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记 为 S1、S2,则 S1:S2=( A.1:1 ) C.3:2 D.4:1 B.2:1

考点:球的体积和表面积. 专题:计算题.

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分析:根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,设为球的半径为 1,结合圆柱的表面积的公 式以及球的表面积即可得到答案. 解答:解:由题意可得:圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,设球的半径为 1, 所以等边圆柱的表面积为:S1=6π, 球的表面积为:S2=4π. 所以圆柱的表面积与球的表面积之比为 S1:S2=3:2. 故选 C. 点评:本题考查几何体的表面积,考查计算能力,特殊值法,在解题中有是有独到功效,是基础 题. 11.(2014?山东模拟)三棱柱的侧棱与底面垂直,且底面是边长为 2 的等边三角形,其正视图 (如图所示)的面积为 8,则该三棱柱外接球的表面积为( )

A.

B.

C.

D.24π

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考点:球的体积和表面积;简单空间图形的三视图. 专题:球.

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分析:由题意推出三棱柱上下底面中点连线的中点,到三棱柱顶点的距离相等,说明中心就是外 接球的球心,求出球的半径,即可求出外接球的表面积. 解答:解:∵ 正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的中,底面边长为 2,正视图(如图所示)的面积为 8,∴ 棱柱的高为 4, 由题意可得:三棱柱上下底面中点连线的中点,到三棱柱顶点的距离相等,说明中心就是 外接球的球心, ∴ 正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的外接球的球心为 O, 外接球的半径为 r, 球心到底面的距离为 2, 底面中心到底面三角形的顶点的距离为: = ,

∴ 球的半径为 r=



外接球的表面积为:4πr =4 故选:C.

2

π=



点评:本题考查空间想象能力,计算能力;三棱柱上下底面中点连线的中点,到三棱柱顶点的距 离相等,说明中心就是外接球的球心,是本题解题的关键,仔细观察和分析题意,是解好 数学题目的前提. 12.(2014?河南模拟)四面体 ABCD 中,已知 AB=CD= 则四面体 ABCD 的外接球的表面积为( A.25π B.45π ) C.50π D.100π ,AC=BD= ,AD=BC= ,

考点:球的体积和表面积.

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专题:空间位置关系与距离. 分析:将四面体补成长方体, 通过求解长方体的对角线就是球的直径, 然后求解外接球的表面积. 解答:解:由题意可采用割补法,考虑到四面体 ABCD 的四个面为全等的三角形, 所以可在其每个面补上一个以 , , 为三边的三角形作为底面,且以分别 x, y,z 长、两两垂直的侧棱的三棱锥,从而可得到一个长、宽、高分别为 x,y,z 的长方
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体,并且 x +y =29,x +z =34,y +z =37, 则有(2R) =x +y +z =50(R 为球的半径),得 R = 所以球的表面积为 S=4πR =50π. 故选:C. 点评:本题考查几何体的外接球的表面积的求法,割补法的应用,判断外接球的直径是长方体的 对角线的长是解题的关键之一. 13.(2014?沈阳二模)四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上,AB⊥ 平面 BCD,△ BCD 是边长为 3 的等边三角形.若 AB=2,则球 O 的表面积为( A. B.12π C.16π ) D.32π
2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

2



考点:球的体积和表面积. 专题:球.

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分析:取 CD 的中点 E,连结 AE,BE,作出外接球的球心,求出半径,即可求出表面积. 解答:解:取 CD 的中点 E,连结 AE,BE,∵ 在四面体 ABCD 中,AB⊥ 平面 BCD, △ BCD 是边长为 3 的等边三角形. ∴ Rt△ ABC≌ Rt△ ABD,△ ACD 是等腰三角形, △ BCD 的中心为 G,作 OG∥ AB 交 AB 的中垂线 HO 于 O,O 为外接球的中心, BE= ,BG= ,

R=

=

=2.
2

四面体 ABCD 外接球的表面积为:4πR =16π. 故选:C.

点评:本题考查球的内接体知识,考查空间想象能力,确定球的切线与半径是解题的关键. 14.(2014?石家庄模拟)已知球 O,过其球面上 A,B,C 三点作截面,若 O 点到该截面的距 离等于球半径的一半,且 AB=BC=2,∠ B=120° ,则球 O 的表面积为( A. B. C.4π ) D.

考点:球的体积和表面积. 专题:计算题;球.

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分析:设出球的半径,小圆半径,通过已知条件求出两个半径,再求球的表面积. 解答:解:如图,设球的半径为 r,O′是△ ABC 的外心,外接圆半径为 R, 则 OO′⊥ 面 ABC.AB=BC=2,∠ B=120° , 在 Rt△ ACD 中,则 sinA= . 在△ ABC 中,由正弦定理得
2

=2R,R=2,即 O′B=2.
2 2

在 Rt△ OBO′中,由题意得 r ﹣ r =4,得 r = 球的表面积 S=4πr =4π× 故选:A.
2



=



点评:本题考查球面距离弦长问题,正弦定理的应用,考查学生分析问题解决问题能力,空间想 象能力,是中档题. 15.(2014?滨州二模)如图,一个正三棱柱的左(侧)视图是边长为 球的表面积等于( ) 的正方形,则它的外接

A.8π

B.

π

C.9π

D.

π

考点:球的体积和表面积;由三视图求面积、体积;球内接多面体. 专题:计算题. 分析:由题意可得: 正三棱柱的高是 , 底面正三角的高也是

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. 设球心为 O, 半径为 R, △ ABC ,所以 GA= .在

的中心为 G,所以△ OGA 是直角三角形,OG 是高的一半,OG= △ OAG 中由勾股定理得:R =
2

.进而得到答案. 的正方形, .

解答:解:因为正三棱柱 ABC﹣DEF 的左视图是边长为 所以正三棱柱的高是 ,底面正三角的高也是

设它的外接球的球心为 O,半径为 R,底面△ ABC 的中心为 G,

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所以△ OGA 是直角三角形,OG 是高的一半,OG= GA 是正三角形 ABC 的高的 , 所以 GA= .
2 2 2



在△ OAG 中由勾股定理得:R =OG +GA 解得:R =
2


2

∴ 球的表面积为 4πR = 故选 B.



点评:解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征与及球的定义, 在球的内接多面体中一 般容易出现直角三角形,进而利用勾股定理解决问题即可. 16. (2014?兴安盟一模)在三棱椎 A﹣BCD 中,侧棱 AB,AC,AD 两两垂直,△ ABC,△ ACD, △ ADB 的面积分别为 A.2π , B.6π , ,则该三棱椎外接球的表面积为( C. π ) D.24π

考点:球的体积和表面积.

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专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:三棱锥 A﹣BCD 中,侧棱 AB、AC、AD 两两垂直,补成长方体,两者的外接球是同一个, 长方体的对角线就是球的直径,求出长方体的三度,转化为对角线长,即可求三棱锥外接 球的表面积. 解答:解:三棱锥 A﹣BCD 中,侧棱 AB、AC、AD 两两垂直,补成长方体,两者的外接球是同 一个,长方体的对角线就是球的直径, ∵ 侧棱 AC、AC、AD 两两垂直,△ ABC、△ ACD、△ ADB 的面积分别为 ∴ AB?AC= ∴ AB= , AD?AC= , AB?AD= 、 、 ,

,AC=1,AD= =

∴ 球的直径为: ∴ 半径为 ∴ 三棱锥外接球的表面积为 4π× =6π 故选:B.

点评:本题考查三棱锥外接球的表面积,三棱锥转化为长方体,两者的外接球是同一个,以及长 方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在.

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17. (2013?文昌模拟) 已知三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点均在半径为 1 的球面上, 且满足 ? A. 2 =0, ? =0,则三棱锥 P﹣ABC 的侧面积的最大值为( B. 1 C. ) D.

?

=0,

考点:棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 专题:计算题.

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分析:由已知,三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点均在半径为的球面上,且满足: ,则在 P 点处 PA,PB,PC 两两垂直,球直径等于 以 PA,PB,PC 为棱的长方体的对角线,由基本不等式易得到三棱锥 P﹣ABC 的侧面积 的最大值. 解答: 解:∵ ∴ PA,PB,PC 两两垂直, 又∵ 三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点均在半径为 1 的球面上, ∴ 以 PA,PB,PC 为棱的长方体的对角线即为球的一条直径. ∴ 4=PA +PB +PC , 则由基本不等式可得 PA +PB ≥2PA?PB,PA +PC ≥2PA?PC,PB +PC ≥2PB?PC, 即 4=PA +PB +PC ≥PA?PB+PB?PC+PA?PC 则三棱锥 P﹣ABC 的侧面积 S= (PA?PB+PB?PC+PA?PC)≤2, 则三棱锥 P﹣ABC 的侧面积的最大值为 2, 故选 A 点评:本题考查的知识点是棱锥的侧面积,基本不等式,棱柱的外接球,其中根据已知条件,得 到棱锥的外接球直径等于以 PA,PB,PC 为棱的长方体的对角线,是解答本题的关键. 18.(2012?宁波模拟)设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该 球的表面积为( A.3πa2 ) B.6πa2 C.12πa2 D.24πa2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



考点:球的体积和表面积. 专题:计算题.

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分析:本题考查的知识点是球的体积和表面积公式,由长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其 顶点都在一个球面上,则长方体的对角线即为球的直径,即球的半径 R 满足(2R) =6a , 代入球的表面积公式,S 球=4πR ,即可得到答案. 解答:解:根据题意球的半径 R 满足 (2R) =6a , 所以 S 球=4πR =6πa . 故选 B 点评:长方体的外接球直径等于长方体的对角线长.
2 2 2 2 2 2 2

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19. (2013?牡丹江一模) 三棱锥 A﹣BCD 的外接球为球 O, 球 O 的直径是 AD, 且△ ABC、 △ BCD 都是边长为 1 的等边三角形,则三棱锥 A﹣BCD 的体积是( A. B. C. ) D.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题:空间位置关系与距离.

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分析:利用等边、等腰三角形的性质,勾股定理的逆定理、三角形的面积计算公式、三棱锥的体 积计算公式即可得出. 解答:解:如图所示,连接 OB,OC. ∵ △ ABC、△ BCD 都是边长为 1 的等边三角形, ∴ OB⊥ AD,OC⊥ AD,OB=OC= ∴ OB +OC =BC ,∴ ∠ BOC=90° . ∴ 三棱锥 A﹣BCD 的体积 V= 故选 D. = = .
2 2 2

=

=



点评:熟练掌握等边、等腰三角形的性质,勾股定理的逆定理、三角形的面积计算公式、三棱锥 的体积计算公式是解题的关键. 20.(2012?黑龙江)平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的距离为 则此球的体积为( A. π ) B. 4 π C.4 π D. 6 π ,

考点:球的体积和表面积. 专题:计算题.

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分析:利用平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的距离为 径,然后求解球的体积.

,求出球的半 ,

解答:解:因为平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的距离为 所以球的半径为: 所以球的体积为: 故选 B. 点评:本题考查球的体积的求法,考查空间想象能力、计算能力.
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= =4

. π.

21.(2012?江西校级模拟)球 O 的球面上有四点 S,A,B,C,其中 O,A,B,C 四点共面, △ ABC 是边长为 2 的正三角形,面 SAB⊥ 面 ABC,则棱锥 S﹣ABC 的体积的最大值为( A. B. C. D. )

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题:计算题.

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分析:由于面 SAB⊥ 面 ABC,所以点 S 在平面 ABC 上的射影 H 落在 AB 上,根据球体的对称性 可知,当 S 在“最高点”,也就是说 H 为 AB 中点时,SH 最大,棱锥 S﹣ABC 的体积最大. 解答:解:由题意画出几何体的图形如图 由于面 SAB⊥ 面 ABC,所以点 S 在平面 ABC 上的射影 H 落在 AB 上,根据球体的对称性 可知,当 S 在“最高点”,也就是说 H 为 AB 中点时,SH 最大,棱锥 S﹣ABC 的体积最大. ∵ △ ABC 是边长为 2 的正三角形,所以球的半径 r=OC= CH= 在 RT△ SHO 中,OH= OC= OS, ∴ ∠ HSO=30° ,求得 SH=OScos30° =1, 所以体积 V= Sh= = .

点评:本题考查锥体体积计算, 根据几何体的结构特征确定出 S 位置是关键. 考查空间想象能力、 计算能力. 22.(2012?河北模拟)已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为 表面积为( A.12π ) B.36π C.72π D.108π ,则这个四棱锥的外接球的

考点:球的体积和表面积;球内接多面体. 专题:计算题.

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分析:先画出图形, 正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心, 然后根据勾股定理解出球的半径, 最后根据球的表面积公式解之即可. 解答:解:如图,设正四棱锥底面的中心为 O,则 在直角三角形 ABC 中,AC= 在直角三角形 PAO 中,PO= ∴ 正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为 3, ∴ 正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心,且球半径 r=3,
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× AB=6,∴ AO=CO=3, =3,

球的表面积 S=4πr =36π 故选 B.

2

点评:本题主要考查球的表面积, 球的内接体问题, 考查计算能力和空间想象能力, 属于中档题. 23.(2012?洛阳模拟)已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,SA⊥ 平面 ABC, ,AB=1,AC=2,∠ BAC=60° ,则球 O 的表面积为 ( A.4π ) B.12π C.16π D.64π

考点:球的体积和表面积.

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专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:由三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,SA⊥ 平面 ABC, AC=2, ∠ BAC=60° , 知 BC= ,AB=1, =1,

, ∠ ABC=90° . 故△ ABC 截球 O 所得的圆 O′的半径 r=

由此能求出球 O 的半径,从而能求出球 O 的表面积. 解答:解:如图,三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, ∵ SA⊥ 平面 ABC, ∴ BC= ∴ ∠ ABC=90° . ∴ △ ABC 截球 O 所得的圆 O′的半径 r= ∴ 球 O 的半径 R= ∴ 球 O 的表面积 S=4πR =16π. 故选 C. .
2

,AB=1,AC=2,∠ BAC=60° , = ,

=1,

=2,

点评:本题考查球的表面积的求法,合理地作出图形,数形结合求出球半径,是解题时要关键. 24.(2012?钟祥市校级模拟)A,B,C,D 是同一球面上的四个点,其中△ ABC 是正三角形, AD⊥ 平面 ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为( A. B.48π C.
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) D.

考点:球的体积和表面积;棱锥的结构特征;球内接多面体. 专题:计算题.

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分析:由题意把 A、B、C、D 扩展为三棱柱如图,求出上下底面中心连线的中点与 A 的距离为 球的半径,然后求出球的体积. 解答:解:由题意画出几何体的图形如图, 把 A、B、C、D 扩展为三棱柱, 上下底面中心连线的中点与 A 的距离为球的半径, AD=2AB=6,OE=3,△ ABC 是正三角形, 所以 AE= = .

AO= 所求球的体积为: 故选 A.

=2

. = .

点评:本题考查球的内接体与球的关系,考查空间想象能力,利用割补法结合球内接多面体的几 何特征求出球的半径是解题的关键. 25. (2011?临汾校级模拟) 在三棱锥 A﹣BCD 中, 侧棱 AB, AC, AD 两两垂直, △ ABC, △ ACD, △ ADB 的面积分别为 A. , B. , ,则该三棱锥的体积为( C.6 ) D. 2

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题:计算题.

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分析:通过三个△ ABC,△ ACD,△ ADB 的面积,求出侧棱 AB,AC,AD 的长,然后求出体积. 解答: 解: AB?AC= ∴ AB= , AD?AC= . , AB?AD= ,

,AC=1,AD= ? = .

∴ V= ? ?1? 故选 B

点评:本题考查棱锥的结构特征,考查计算能力,是基础题.
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26.(2010?成都二模)在棱锥 P﹣ABC 中,侧棱 PA、PB、PC 两两垂直,Q 为底面△ ABC 内一 点,若点 Q 到三个侧面的距离分别为 3、4、5,则以线段 PQ 为直径的球的表面积为( A.100π B.50π C.25π D. )

考点:球的体积和表面积;棱柱的结构特征. 专题:计算题;压轴题.

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分析:根据题意,点 Q 到三个侧面的垂线与侧棱 PA、PB、PC 围成一个棱长为 3、4、5 的长方 体,分析可知以 PQ 为直径的球是它的外接球,再由长方体和其外接球的关系求解. 解答:解:根据题意:点 Q 到三个侧面的垂线与侧棱 PA、PB、PC 围成一个棱长为 3、4、5 的 长方体, 则其外接球的直径即为 PQ 且为长方体的体对角线. ∴ 2r= ∴ 由球的表面积公式得:S=4πr =50π 故选 B. 点评:本题主要考查空间几何体的构造和组合体的基本关系. 27( .2010?宜春校级模拟) 在正三棱锥 S﹣ABC 中, M、 N 分别是棱 SC、 BC 的中点, 且 MN⊥ AM. 若 侧棱 ( ) B.32π C.36π D.48π A.12π ,则正三棱锥 S﹣ABC 外接球的表面积是
2

考点:球的体积和表面积. 专题:计算题;压轴题.

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分析:由题意推出 MN⊥ 平面 SAC,即 SB⊥ 平面 SAC,∠ ASB=∠ BSC=∠ ASC=90° ,将此三棱锥 补成正方体,则它们有相同的外接球,正方体的对角线就是球的直径,求出直径即可求出 球的表面积. 解答:解:∵ 三棱锥 S﹣ABC 正棱锥,∴ SB⊥ AC(对棱互相垂直)∴ MN⊥ AC 又∵ MN⊥ AM 而 AM∩AC=A,∴ MN⊥ 平面 SAC 即 SB⊥ 平面 SAC ∴ ∠ ASB=∠ BSC=∠ ASC=90° ,将此三棱锥补成正方体,则它们有相同的外接球 ∴ 2R=2 故选 C. ,∴ R=3,∴ S=4πR =4π?(3) =36π,
2 2

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点评:本题是基础题, 考查三棱锥的外接球的表面积, 考查空间想象能力, 三棱锥扩展为正方体, 它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键.

28.(2010?朝阳区二模)一个正方体的所有顶点都在同一球面上,若球的体积是 体的表面积是( A. 8 ) B. 6 C.4 D. 3

,则正方

考点:球的体积和表面积;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 专题:计算题.

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分析:由题意球的直径等于正方体的体对角线的长,求出球的半径,再求正方体的棱长,然后求 正方体的表面积. 解答: 解:设球的半径为 R,由 得 R=1, 所以 a=2,?a=
2



表面积为 6a =8. 故选 A. 点评:本题考查球的内接体,球的表面积,考查空间想象能力,计算能力,是基础题. 29.(2009?长宁区二模)过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积 与球的表面积的比为( A. ) B. C. D.

考点:球的体积和表面积. 专题:计算题.

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分析:由题意设出球的半径,圆 M 的半径,二者与 OM 构成直角三角形,求出圆 M 的半径,然 后可求球的表面积,截面面积,再求二者之比. 解答:解:设球的半径为 R,圆 M 的半径 r, 由图可知,R = R +r , ∴ R =r ,∴ S 球=4πR , 截面圆 M 的面积为:πr = πR ,
2 2 2 2 2 2 2 2

则所得截面的面积与球的表面积的比为: 故选 A.



点评:本题是基础题,考查球的体积、表面积的计算,仔细体会,理解并能够应用小圆的半径、 球的半径、以及球心与圆心的连线的关系,是本题的突破口.

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30.(2006?安徽)表面积为 ( A. ) B.

的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为 C. D.

考点:球的体积和表面积. 专题:计算题;综合题.

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分析:设出正八面体的边长,利用表面积,求出边长,然后求球的直径,再求体积. 解答: 解:此正八面体是每个面的边长均为 a 的正三角形,所以由 知,a=1,

则此球的直径为 故选 A.

,球的体积为



点评:本题考查学生空间想象能力,逻辑思维能力,正八面体的外接球的体积,是中档题.

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