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高考数学11个答题模板小结


数学答题模板【22个】

沧海工作室

第2讲
【模板特征概述】 数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型, 通常是高考的把关题 和压轴题,具有较好的区分层次和选拔功能.目前的高考解答题已经由单 纯的知识综合型转化为知识、 方法和能力的综合型解答题. 在高考考场上, 能否做好解答题, 是高考成败的关键, 因此, 在高考备考中学会

怎样解题, 是一项重要的内容. 本节以著名数学家波利亚的 《怎样解题》 为理论依据, 结合具体的题目类型,来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程 序和答题格式,即所谓的“答题模板”. “答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型, 把数学解题的思维过 程划分为一个个小题,按照一定的解题程序和答题格式分步解答,即化整 为零.强调解题程序化,答题格式化,在最短的时间内拟定解决问题的最 佳方案,实现答题效率的最优化.

第2讲

模板 1 【例 1】

三角函数的周期性、单调性及最值问题

已知函数 f(x)=2cos x· ? π? sin?x+3 ?- 3sin2x+sin xcos x+1. ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的最大值及最小值; (3)写出函数 f(x)的单调递增区间. 审题路线图 规范解答 不同角化同角→降幂扩角→化 f(x)=Asin(ωx+φ) +h→结合性质求解.

第2讲
解 f(x)=2cos
?1 x? ?2sin ? ? 3 ? cos x+1 x+ cos x?- 3sin2x+sin x· 2 ?

=2sin xcos x+ 3(cos2x-sin2x)+1 =sin 2x+ 3cos 2x+1 ? π? =2sin?2x+3 ?+1. ? ?

2π (1)函数 f(x)的最小正周期为 =π. 2
? π? (2)∵-1≤sin?2x+3?≤1, ? ? ? π? ∴-1≤2sin?2x+3?+1≤3. ? ?

π π π ∴当 2x+3=2+2kπ,k?Z,即 x=12+kπ,k?Z 时,f(x)取得最大值 3; π π 5π 当 2x+ =- +2kπ,k?Z,即 x=- +kπ,k?Z 时,f(x)取得最小值-1. 3 2 12

第2讲

π π π (3)由- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k?Z 2 3 2 5π π 得- +kπ≤x≤ +kπ,k?Z. 12 12 ∴函数 f(x)的单调递增区间为 ? 5π ? π ?- +kπ, +kπ? (k?Z). 12 ? 12 ?

第2讲
构建答题模板 第一步:三角函数式的化简,一般化成 y=

Asin(ωx+φ)+h 的形式或 y=Acos(ωx+φ)+h 的形式. ? π? 如:f(x)=2sin?2x+3 ?+1. ? ?

第二步:根据 f(x)的表达式求其周期、最值.
第三步:由 sin x、cos x 的单调性,将“ωx+φ”看作一个整体,转 化为解不等式问题.
第四步:明确规范表述结论.
第五步:反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.

第2讲
模板 2 【例 2】
? ? ? ?

与平面向量综合的三角函数问题 已知向量 a=(cos 2 ,sin 2 ),b=(-sin 2,-cos 2),其中
3x 3x x x

? π x? 2,π??. ?

(1)若|a+b|= 3,求 x 的值; (2)函数 f(x)=a· b+|a+b|2,若 c>f(x)恒成立,求实数 c 的取值范围. 审题路线图 (1)|a+b|= 3→a2+2a· b+b2=3→三角方程→求 x. (2) 化 f(x) 向量表示式为三角表达式 → 化简 f(x) = Asin(ωx + φ) + h→f(x)max→c>f(x)max.

规范解答 解 (1)∵a+b=(cos 2 -sin 2,sin 2 -cos 2), ∴|a+b|=
? 3x x? ? 3x x? ?cos -sin ?2+?sin -cos ?2 2 2? ? 2 2? ?

3x

x

3x

x

= 2-2sin 2x,

第2讲
1 由|a+b|= 3,得 2-2sin 2x= 3,即 sin 2x=- . 2 ?π ? ∵x??2,π?,∴π≤2x≤2π. ? ? π π 7π 11π 因此 2x=π+ 或 2x=2π- ,即 x= 或 x= . 6 6 12 12
3x x 3x x (2)∵a· b=-cos 2 sin 2-sin 2 cos 2=-sin 2x, ∴f(x)=a· b+|a+b|2=2-3sin 2x,∵π≤2x≤2π, ∴-1≤sin 2x≤0,0≤-3sin 2x≤3. ∴2≤f(x)=2-3sin 2x≤5. ∴f(x)max=5,由 c>f(x)恒成立,得 c>5.

第2讲

构建答题模板

第一步:根据向量运算将向量式转化为三角式;

第二步:化简三角函数式,一般化为 y=Asin(ωx+φ)+h 的形式; 第三步:解三角方程或求三角函数的单调区间、最值;

第四步:明确规范地写出答案;
第五步:反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.如本题的易 ?π ? 错点为易忽略 x??2,π?这一条件. ? ?

第2讲

模板 3 由数列的前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系求通项 an 【例 3】 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1=2Sn+1 (n?N*), 等差数列{bn}中,bn>0 (n?N*),且 b1+b2+b3=15,又 a1+b1、 a2+b2、a3+b3 成等比数列. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)求数列{an· bn}的前 n 项和 Tn.

第2讲

第2讲
规范解答 解 (1)∵a1=1,an+1=2Sn+1 (n?N*), ∴an=2Sn-1+1 (n?N*,n≥2), ∴an+1-an=2(Sn-Sn-1),即 an+1-an=2an, ∴an+1=3an (n?N*,n≥2).而 a2=2a1+1=3,∴a2=3a1. ∴数列{an}是以 1 为首项,3 为公比的等比数列, ∴an=3n-1 (n?N*).∴a1=1,a2=3,a3=9, 在等差数列{bn}中,∵b1+b2+b3=15,∴b2=5.
又∵a1+b1、 a2+b2、 a3+b3 成等比数列, 设等差数列{bn}的公差为 d, 则有(a1+b1)(a3+b3)=(a2+b2)2. ∴(1+5-d)(9+5+d)=64,解得 d=-10 或 d=2, ∵bn>0 (n?N*),∴舍去 d=-10,取 d=2, ∴b1=3,∴bn=2n+1 (n?N*).

第2讲

(2)由(1)知 Tn=3×1+5×3+7×32+?+(2n-1)3n-2+(2n+1)3n-1, ① ∴3Tn=3×3+5×32+7×33+?+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n, ∴①-②得-2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33+?+2×3n-1- (2n+1)3n =3+2(3+32+33+?+3n 1)-(2n+1)3n 3-3n =3+2× -(2n+1)3n=3n-(2n+1)3n=-2n· 3n, 1-3




∴Tn=n· 3n.

第2讲

构建答题模板

第一步:令 n=1,由 Sn=f(an)求出 a1.

第二步:令 n≥2,构造 an=Sn-Sn-1,用 an 代换 Sn-Sn-1(或用 Sn- Sn-1 代换 an,这要结合题目特点),由递推关系求通项.

第三步:验证当 n=1 时的结论是否适合当 n≥2 时的结论. 如果适合,则统一“合写”;如果不适合,则应分段表示.
第四步:写出明确规范的答案.
第五步:反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.本题的易错点, 易忽略对 n=1 和 n≥2 分两类进行讨论, 同时忽视结论中对二者的合并.

第2讲
模板 4 数列求和问题 1 (2012· 江西)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=- n2+kn(其中 2

【例 4】

k?N+),且 Sn 的最大值为 8. (1)确定常数 k,并求 an; ? ?9-2an? ? ? ?的前 n 项和 Tn. (2)求数列 n ? ? ? 2 ? 审题路线图 1 Sn=- n2+kn 为关于 n 的二次函数 2 ↓当 n=k 时,Sn 取最大值 1 2 1 2 2 ↓Sk=- k +k = k =8 2 2 ↓解关于 k 的方程得:k=4 1 2 ↓定 Sn=- n +4n 2

第2讲
9 ↓an=Sn-Sn-1= -n (n≥2) 2 9-2an n ↓bn= = n-1 2n 2 2 3 4 n ↓Tn=1+ + 2+ 3+?+ n-1 2 2 2 2 ↓用错位相减求和

规范解答 1 2 解 (1)当 n=k?N+时,Sn=-2n +kn 取最大值, 1 2 2 1 2 即 8=Sk=- k +k = k , 2 2 故 k2=16,因此 k=4, 9 从而 an=Sn-Sn-1=2-n(n≥2). 7 9 又 a1=S1= ,所以 an= -n. 2 2

第2讲

9-2an n (2)因为 bn= n = n-1, 2 2 n- 1 2 3 n Tn=b1+b2+?+bn=1+ + 2+?+ n-2 + n-1, 2 2 2 2 1 1 n 所以 Tn=2Tn-Tn=2+1+ +?+ n-2- n-1 2 2 2 n+ 2 1 n =4- n-2- n-1=4- n-1 . 2 2 2

第2讲

构建答题模板

第一步:利用条件求数列{bn}的通项公式.

第二步:写出 Tn=b1+b2+?+bn 的表达式. 第三步:分析表达式的结构特征、确定求和方法. (例如:公式法、 裂项法,本题用错位相减法). 第四步:明确规范表述结论. 第五步:反思回顾.查看关键点,易错点及解题规范.如本题中在 求 an 时,易忽视对 n=1,n≥2 时的讨论.

第2讲
模板 5 立体几何中的基本关系与基本量问题 【例 5】 在如图所示的空间几何体中,平面 ACD⊥平面 ABC,AB= BC=CA=DA=DC=BE=2,BE 和平面 ABC 所成的角为 60° , 且点 E 在平面 ABC 上的射影落在∠ABC 的平分线上.

(1)求证:DE∥平面 ABC; (2)求多面体 ABCDE 的体积. 审题路线图 在平面 ABC 内作辅助线 OF→证明 DE∥OF→将多 面体 ABCDE 分割→分别求两个三棱锥体积之和.

第2讲
规范解答 (1)证明

由题意知, △ABC,△ACD 都是边长为 2 的等边三角形, 取 AC 中点 O,连接 BO,DO, 则 BO⊥AC,DO⊥AC. ∵平面 ACD⊥平面 ABC, ∴DO⊥平面 ABC,作 EF⊥平面 ABC,

第2讲
那么 EF∥DO,根据题意,点 F 落在 BO 上, ∴∠EBF=60° ,易求得 EF=DO= 3, ∴四边形 DEFO 是平行四边形,DE∥OF. ∵DE ? 平面 ABC,OF?平面 ABC, ∴DE∥平面 ABC.

(2)解 ∵平面 ACD⊥平面 ABC,OB⊥AC, ∴OB⊥平面 ACD. 又∵DE∥OB,∴DE⊥平面 DAC. ∴三棱锥 E—DAC 的体积 3- 3 1 1 V1=3S△DAC· DE=3· 3· ( 3-1)= 3 .

第2讲

又三棱锥 E—ABC 的体积 1 1 V2= S△ABC· EF= · 3· 3=1, 3 3 6- 3 ∴多面体 ABCDE 的体积为 V=V1+V2= . 3

第2讲

构建答题模板

第一步:画出必要的辅助线,根据条件合理转化.

第二步:写出推证平行或垂直所需条件,注意条件要充分. 第三步:明确写出所证结论. 第四步:对几何体进行合理转化(分割或拼补).
第五步:分别计算几何体的体积并求和.
第六步:反思回顾,查看关键点,易错点及答题规范.

第2讲
模板 6 空间角或空间距离问题

【例 6】 如图,在七面体 ABCDMN 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,MD⊥平面 ABCD,NB⊥平面 ABCD,且 MD=2, NB=1,MB 与 ND 交于 P 点.

(1)在棱 AB 上找一点 Q,使 QP∥平面 AMD,并给出证明; (2)求平面 BNC 与平面 MNC 所成锐二面角的余弦值.

第2讲
审题路线图 (1)P 是△ABM 的一边 BM 上的点→在另一边 AB 上一 BQ BP NB 1 定存在一点 Q 使 PQ∥AM→QA=PM=MD= . 2 (2)建立坐标系→构造法向量→求夹角.
规范解答 解 (1)

1 当 BQ= AB 时,有 QP∥平面 AMD. 3

第2讲
证明:∵MD⊥平面 ABCD,NB⊥平面 ABCD,∴MD∥NB. BP NB 1 QB 1 ∴PM=MD= .又QA= . 2 2 QB BP ∴QA=PM. ∴在△MAB 中,QP∥AM. 又 QP ? 面 AMD,AM?面 AMD, ∴QP∥面 AMD.
(2)

以 DA、DC、DM 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐 标系如图,

第2讲
则 D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,0,2),N(2,2,1). → =(0,-2,2),CN → =(2,0,1),DC → =(0,2,0). ∴CM 设平面 CMN 的法向量为 n1=(x,y,z),
? → ? n1 · CM=0, 则? → ? CN=0. ? n1 ·
? ?-2y+2z=0, ∴? ? ?2x+z=0.

取 x=1,∴n1=(1,-2,-2). 又 NB⊥平面 ABCD,∴NB⊥DC,又 DC⊥BC. ∴DC⊥平面 BNC.

→ =(0,2,0), ∴平面 BNC 的法向量 n2=DC -4 n1· n2 2 cos〈n1,n2〉= = =- . |n1||n2| 3×2 3

第2讲

设所求的锐二面角大小为 θ, 2 则 cos θ=|cos〈n1,n2〉|= . 3 2 故平面 BNC 与平面 MNC 所成锐二面角的余弦值为 . 3

第2讲
构建答题模板 的直线.
第二步:建立空间直角坐标系,写出特殊点坐标. 第三步:求(或找)两个半平面的法向量.
第四步:求法向量 n1,n2 的夹角或 cos〈n1,n2〉(若为锐二面角则求 |cos〈n1,n2〉|).

第一步: 作出(或找出)具有公共交点的三条相互垂直

第五步:将法向量的夹角转化为二面角的夹角.
第六步:反思回顾,查看关键点、易错点及解题规范.如本题求得 2 2 cos〈n1,n2〉=- 后易答当二面角的余弦值为- 而出错,一定要 3 3 注意这一点.

第2讲

模板 7 解析几何中的探索性问题 【例 7】 已知定点 C(-1,0)及椭圆 x2+3y2=5,过点 C 的动直线与 椭圆相交于 A,B 两点. 1 (1)若线段 AB 中点的横坐标是- ,求直线 AB 的方程; 2 →· → 为常数?若存在,求出点 (2)在 x 轴上是否存在点 M,使MA MB M 的坐标;若不存在,请说明理由. 审题路线图 设 AB 的方程 y=k(x+1)→待定系数法求 k→写出 →· → →在MA →· → 为常数的条件 方程; 设 M 存在即为(m,0)→求MA MB MB 下求 m.

第2讲
规范解答 解 (1)依题意,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y=k(x+1), 将 y=k(x+1)代入 x2+3y2=5, 消去 y 整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),
① ?Δ=36k4-4?3k2+1??3k2-5?>0, ? 6k2 则? x1+x2=- 2 . ② ? 3 k + 1 ? x1+x2 1 3k2 1 由线段 AB 中点的横坐标是-2,得 2 =- 2 =-2, 3k +1 3 解得 k=± 3 ,适合①.

第2讲
所以直线 AB 的方程为 x- 3y+1=0 或 x+ 3y+1=0.

→· → (2)假设在 x 轴上存在点 M(m,0),使MA MB为常数.
(ⅰ)当直线 AB 与 x 轴不垂直时,
3k2-5 6 k2 由(1)知 x1+x2=-3k2+1,x1x2=3k2+1.



→· → 所以MA MB=(x1-m)(x2-m)+y1y2
=(x1-m)(x2-m)+k2(x1+1)(x2+1) =(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1+x2)+k2+m2. ?6m-1?k2-5 → → 将③代入,整理得MA· MB= +m2
3k2+1



? 1? 14 ?2m- ??3k2+1?-2m- 3? 3 ?

3k + 1

2

+m2

1 6m+14 =m2+2m- -3?3k2+1?. 3

第2讲

→· → 注意到MA MB是与 k 无关的常数, 7 4 → → 从而有 6m+14=0,m=- ,此时MA· MB= . 3 9
(ⅱ)当直线 AB 与 x 轴垂直时,此时点 A、B
? 2? ?-1,- ?, 3? ? ? 2? - 1 , ? ?、 的坐标分别为 3 ? ?

7 4 → → 当 m=- 时,也有MA· MB= . 3 9 综上,在 x 轴上存在定点
? 7 →· → 为常数. M -3,0??,使MA MB ? ? ? ? ?

第2讲

构建答题模板

第一步:假设结论存在.

第二步:以存在为条件,进行推理求解.

第三步:明确规范表述结论.若能推出合理结果,经验证成立即可 肯定正确;若推出矛盾,即否定假设.
第四步:反思回顾.查看关键点,易错点及解题规范. 如本题中第(1)问容易忽略 Δ>0 这一隐含条件. 第(2)问易忽略直线 AB 与 x 轴垂直的情况.

第2讲
模板 8 概率与统计问题
【例 8】

(2012· 山东)袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分

别为 1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为 1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之 和小于 4 的概率; (2)向袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片,从这六张卡片中任取 两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率. 审题路线图 确定概率模型 → 列出所有取卡片的结果 ( 基本事 件)→构成事件的基本事件→求概率.

第2讲
规范解答 解 (1)标号为 1,2,3 的三张红色卡片分别记为 A,B,C,标号为 1,2 的两张蓝色卡片分别记为 D,E,从五张卡片中任取两张的所有可能 的结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B, E),(C,D),(C,E),(D,E),共 10 种.由于每一张卡片被取到的 机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 从五张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的结果为(A,D),(A,E),(B,D),共 3 种. 3 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的概率为 . 10 (2)记 F 是标号为 0 的绿色卡片,从六张卡片中任取两张的所有可能的
结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D), (B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E, F),共 15 种.

第2讲

由于每一张卡片被取到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可 能的. 从六张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的结果为(A,D),(A,E),(B,D),(A,F),(B,F),(C,F),(D, F),(E,F),共 8 种. 8 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的概率为 . 15

第2讲

构建答题模板

第一步:列出所有基本事件,计算基本事件总数;

第二步:将所求事件分解为若干个互斥的事件,或转化为其对立事 件.(也许不用分解,但分解必须注意互斥) 第三步:分别计算每个互斥事件的概率. 第四步:利用概率的加法公式求出问题事件概率. 第五步:反思回顾.查看关键点、易错点及答题规范.

第2讲
模板 9 离散型随机变量的分布列、期望与方差 【例 9】 已知一个袋中装有 3 个白球和 3 个红球, 这些球除颜色外 完全相同. (1)每次从袋中取一个球,取出后不放回,直到取到一个红球为 止,求取球次数 ξ 的分布列和数学期望 E(ξ); (2)每次从袋中取一个球,取出后放回接着再取一个球,这样取 3 次,求取出红球次数 η 的数学期望 E(η). 审题路线图 取到红球为止→取球次数的所有可能 1,2,3,4→求 对应次数的概率→列分布列→求 E(ξ). 取出后放回,这是条件→每次取到红球的概率相同→三次独立 重复试验→利用公式.

第2讲
(1)ξ 的可能取值为 1,2,3,4. 1 3× 3 3 3 1 A1 A 3 3 P(ξ=1)= = ,P(ξ=2)= 2 = = , 6 2 A6 6×5 10 1 3×2×3 3 A2 3A3 P(ξ=3)= 3 = = , A6 6×5×4 20 1 3×2×3 A3 1 3A3 P(ξ=4)= 4 = = . A6 6×5×4×3 20 解 故 ξ 的分布列为 ξ P 1 1 2 2 3 10 3 3 20 4 1 20

1 3 3 1 7 数学期望 E(ξ)=1× +2× +3× +4× = . 2 10 20 20 4

第2讲
(2)取出后放回,取球 3 次,可看作 3 次独立重复试验, 1 1 3 所以 η~B(3, ),所以 E(η)=3× = . 2 2 2
构建答题模板 第一步:确定离散型随机变量的所有可能值.
第二步:求出每个可能值的概率.
第三步:画出随机变量的分布列. 第四步:求期望和方差.

第五步:反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.如本题可重点 查看随机变量的所有可能值是否正确;根据分布列性质检查概率是否 正确.

第2讲
模板 10 函数的单调性、最值、极值问题 2a2 【例 10】 已知函数 f(x)=aln x+ x +x (a≠0). (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线 x-2y=0 垂直, 求实数 a 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调性; (3)当 a?(-∞,0)时,记函数 f(x)的最小值为 g(a), 1 2 求证:g(a)≤ e . 2 审题路线图 (1)f′(1)=-2→求 a. (2)讨论 f′(x)>0 或 f′(x)<0→f(x)的单调区间. (3)求 f(x)的最小值 g(a)的函数表达式→求 g(a)在(-∞,0)上的最 1 2 大值→g(a)≤ e . 2

第2讲
规范解答 (1)解 f(x)的定义域为{x|x>0}. a 2a2 f′(x)=x- 2 +1 (x>0). x

根据题意,有 f′(1)=-2,所以 2a2-a-3=0, 3 解得 a=-1 或 a= . 2
x2+ax-2a2 a 2a2 (2)解 f′(x)=x - x2 +1= x2 ?x-a??x+2a? = (x>0). x2 ①当 a>0 时,因为 x>0, 由 f′(x)>0 得(x-a)(x+2a)>0,解得 x>a; 由 f′(x)<0 得(x-a)(x+2a)<0,解得 0<x<a. 所以函数 f(x)在(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减.

第2讲

②当 a<0 时,因为 x>0, 由 f′(x)>0 得(x-a)(x+2a)>0,解得 x>-2a; 由 f′(x)<0 得(x-a)(x+2a)<0,解得 0<x<-2a. 所以函数 f(x)在(0,-2a)上单调递减,在(-2a,+∞)上单调递增.
(3)证明 由(2)知,当 a?(-∞,0)时,函数 f(x)的最小值为 f(-2a), 2a2 即 g(a)=f(-2a)=aln(-2a)+ -2a=aln(-2a)-3a. -2a -2 g′(a)=ln(-2a)+a· -3=ln(-2a)-2, -2a 1 令 g′(a)=0,得 a=- e2. 2

第2讲
当 a 变化时,g′(a),g(a)的变化情况如下表: a g′(a) g(a) (-∞,-2e2) + ?↗
1

-2e2 0 极大值

1

(-2e2,0) - ?↘

1

1 2 - e 是 g(a)在(-∞,0)上的唯一极值点,且是极大值点,从而也是 2 g(a)的最大值点.
1 2? 所以 g(a)最大值=g -2e ?? ? ? ? ? 1 2 ?? 1 2? 1 2? ? ?? ? =- e ln?-2×?-2e ??-3?-2e ?? 2 ? ? ?? ? ?
? ? ? ?

1 3 1 =- e2ln e2+ e2= e2. 2 2 2 1 2 所以,当 a?(-∞,0)时,g(a)≤ e 成立. 2

第2讲
构建答题模板 (0,+∞). 第一步:确定函数的定义域.如本题函数定义域为

第二步:求函数 f(x)的导数 f′(x).
第三步:求方程 f′(x)=0 的根.

第四步:利用 f′(x)=0 的根和不可导点的 x 的值从小到大顺次将定 义域分成若干个小开区间,并列出表格. 第五步:由 f′(x)在小开区间内的正、负值判断 f(x)在小开区间内的 单调性;求极值、最值.
第六步:明确规范地表述结论.

第七步:反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.如本题第(2) 问易忽视定义域,对 a 不能正确分类讨论.

第2讲
模板 11 含参不等式的恒成立问题 【例 11】 2 已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d,当 x=- 和 x=1 时取 3

得极值. (1)求 b 和 c 的值; (2)若对于任意 x?[-1,2], f(x)<2d2-1 恒成立, 求 d 的取值范围. ? 2? ? ?f′?- ?=0 审题路线图 f(x)→f′(x)→? ? 3? →求 b,c→在[-1,2] ? ?f′?1?=0 上求 f(x)的最大值→解不等式 f(x)max<2d2-1→d 的取值范围.

规范解答 解 (1)∵f(x)=x3+bx2+cx+d,∴f′(x)=3x2+2bx+c.

第2讲
2 又∵x=- 和 x=1 是 f(x)的极值点, 3 2 2 2 ? ? ?f′?- ?=0 ?3×?- ?2+2b×?- ?+c=0, 3 3 3 ∴? ,即? 2 ? ? ?f′?1?=0 ?3×1 +2b×1+c=0, 1 ? ?b=- 2 . 解之得? ? ?c=-2 1 检验 b=- ,c=-2 符合要求. 2 1 (2)由(1)知 f(x)=x3-2x2-2x+d,
∴f′(x)=3x2-x-2, 2 令 f′(x)=0 得 x1=-3,x2=1, 2 当 x?[-1,- )时,f′(x)>0, 3

第2讲
2 即 f(x)在[-1,- )上为增函数. 3 2 当 x?(- ,1)时,f′(x)<0, 3 2 即 f(x)在(- ,1)上为减函数. 3 当 x?[1,2]时,f′(x)>0,即 f(x)在(1,2]上为增函数. 2 22 又 f(- )= +d,f(2)=2+d, 3 27 2 22 ∴f(2)=2+d>f(- )= +d, 3 27 ∴当 x?[-1,2]时,f(x)max=2+d,又 x?[-1,2]时,f(x)<2d2-1 恒 成立. 3 ∴2+d<2d -1,解之得 d<-1 或 d> , 2 3 故 d 的取值范围是(-∞,-1)∪( ,+∞). 2
2

第2讲
构建答题模板 恒成立的问题. 第一步: 将问题转化为形如不等式 f(x)≥a(或 f(x)≤a)

第二步:求函数 f(x)的最小值 f(x)min 或 f(x)的最大值 f(x)max.
第三步:解不等式 f(x)min≥a(或 f(x)max≤a).
第四步:明确规范地表述结论.
第五步:反思回顾.查看关键点、易错点及规范解答.如本题重点 反思每一步转化的目标及合理性,最大或最小值是否正确.

第2讲

高考数学解答题虽然具有较强的知识综合性,思维的灵活性, 但所考查的数学知识、方法,基本数学思想是不变的,题目形式的 设置是相对稳定的,因而本讲结合近几年高考的重点、热点题型, 通过对答题思路的分析、梳理,构建了几类重点题型的“答题模板”, 目的是给考生在考前一个回顾如何规范思维,如何有效答题的辅助 材料.重点是思维过程、规范解答和反思回顾,结合着具体题型给 出了具有可操作性的答题程序.希望能够举一反三,对考生答题有 所帮助.

谢谢!
谦 谦 君 温 润 子 如 玉


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