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北京邮电大学附中2013届高考数学第一轮复习单元训练 直线与圆 含答案


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北京邮电大学附中 2013 届高三数学一轮复习单元训练:直线与圆 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x 离为 1,则实数 c 的取值范围是( A. (

― C.[― 【答案】D 2.过直线 x+y-2=0 和直线 x-2y+1=0 的交点,且垂直于第二直线的直线方程为( A. +2y-3=0 【答案】B 3.过点(1,2)且与原点的距离最大的直线方程是( A.2x+y-4=0 【答案】B 4.已知圆 x ( ) B.
2

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

2

? y 2 ? 4 上有且仅有四个点到直线 12x―5y+c=0 的距
) B.[―13,13] D. (―13,13)

13 , 13 ) 13 , 13 ]

)

B.2x+y-3=0

C.x+y-2=0 )

D.2x+y+2=0

B. x+2y-5=0

C.x+3y-7=0

D.3x+y-5=0

? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 的圆心到直线 x ? y ? a ? 0的距离为

2 , 则a 的值为 2

A.—2 或 2

1 3 或 2 2
)

C.0 或 2

D.—2 或 0

【答案】C 2 2 5.圆 x +y ?4x+6y+3=0 的圆心坐标是( A.(2, 3) B.(?2, 3) 【答案】C

C.(2,?3) )

D.(??2,?3)

6.轴上任一点到定点(0,2)(1,1)距离之和最小值是( 、 A. C. 【答案】C 7.直线 ax ? by

2
10

B. 2 ? D.

2

5 ?1

? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 1相交于不同的 A,B 两点(其中 a, b 是实数) ,且
)

??? ??? ? ? 1 OA ? OB ? 0 (O 是坐标原点),则点 P ( a, b) 与点 (0, ) 距离的取值范围为( 2
A. (1, ??) 【答案】D B. (

1 , ??) 2

C. (

1 , 2) 2

D. (

1 1 , ? 2) 2 2

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8.如图,平面中两条直线 l1 和 l 2 相交于点 O ,对于平面上任意一点 M ,若 p 、 q 分别是 M 到 直线 l1 和 l 2 的距离,则称有序非负实数对 .已知常数 p ? 0 , ? p, q? 是点 M 的“距离坐标”

q ? 0 ,给出下列命题:

①若 p ? q ? 0 ,则“距离坐标”为 (0, 0) 的点有且仅有 1 个; ②若 p ? 0, q ? 1 ,则“距离坐标”为 (0,1) 的点有且仅有 2 个; ③若 p ? 1, q ? 2 ,则“距离坐标”为 (1, 2) 的点有且仅有 4 个. 上述命题中,正确命题的个数是( A. 0 【答案】C 9.方程 x 2 +y 2 -x+y+m=0 表示圆则 m 的取值范围是( A. m≤2 【答案】C 10.若过定点 M (?1, 0) 且斜率为 k 的直线与圆 x 点,则 k 的取值范围是( A. )
2

) C. 2 ) D. 3

B. 1

B. m<2

C. m<

1 2

D. m ≤

1 2

? 4 x ? y 2 ? 5 ? 0 在第一象限内的部分有交

?0, 5 ?

B.

??
2

5,0

?
2

C.

?0, 13?

D.

?0,5?

【答案】D 11.直线

y ? kx ? 3 与圆 ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 M,N 两点,若 MN ? 2 3 ,则 k 的取
)

值范围是(

? 3 ? 0 ? ? 4 ,? ? ? A.
? 3 3? , ? ?? ? 3 3 ? C.
【答案】A

3? ? ? ? ? ??, 4 ? ? ?0, ?? ? ? B. ? 2 ? 0 ? ? ,? D. ? 3 ?
2

12.设 m , n ? R ,若直线 (m ? 1) x+(n ? 1) y ? 2=0 与圆 (x ? 1)
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+(y ?1)2 =1相切,则 m+n 的

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取值范围是( A. C. )

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[1 ? 3,1+ 3] [2 ? 2 2,2+2 2]

B. D.

( ? ?,1 ? 3] ? [1+ 3,+?) ( ? ?,2 ? 2 2] ?[2+2 2,+?)
共 90 分)

【答案】D 第Ⅱ卷(非选择题 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.若直线 y ? kx ? 1 与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 垂直,则 k ? 【答案】 .

14.半径为 3 的圆与 y 轴相切,圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,则此圆方程为 【答案】 ( x ? 3)
2

1 2

.

? ( y ? 1) 2 ? 9 和 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9


15.两平行直线 x+3y-4=0 与 2x+6y-9=0 的距离是 【答案】

10 20


16.直线 y=2x 与直线 x+y=3 的交点坐标是 【答案】 (1, 2)

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知半径为 5 的圆的圆心在轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线 4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相 切.求: (Ⅰ)求圆的方程; (Ⅱ)设直线 ax ? y ? 5 ? 0 与圆相交于 A, B 两点,求实数的取值范围; (Ⅲ)在(2)的条件下,是否存在实数,使得过点 P(?2, 4) 的直线 l 垂直平分弦 AB ? 若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由. 【答案】 (Ⅰ)设圆心为 M (m, 0) ( m ? Z ) .

由于圆与直线 4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相切,且半径为 5 ,所以,

4m ? 29 ? 5, 5



4m ? 29 ? 25 .

因为 m 为整数,故 m ? 1 . 故所求的圆的方程是 ( x ?1)
2

? y 2 ? 25 .

(Ⅱ)直线 ax ? y ? 5 ? 0 即 y ? ax ? 5 .代入圆的方程,消去 y 整理,得

(a2 ? 1) x2 ? 2(5a ?1) x ? 1 ? 0 .
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2

由于直线 ax ? y ? 5 ? 0 交圆于 A, B 两点,故 ? ? 4(5a ? 1)
2 即 12a ? 5a ? 0 ,解得 a ? 0 ,或 a ?

? 4(a2 ? 1) ? 0 ,

5 . 12

所以实数的取值范围是 ( ??, 0) ? (

5 , ? ?) . 12 1 , a

(Ⅲ)设符合条件的实数存在,由(2)得 a ? 0 ,则直线 l 的斜率为 ?

1 l 的方程为 y ? ? ( x ? 2) ? 4 ,即 x ? ay ? 2 ? 4a ? 0 . a
由于 l 垂直平分弦 AB ,故圆心 M (1, 0) 必在 l 上. 所以 1 ? 0 ? 2 ? 4a ? 0 ,解得 a ? 由于

3 . 4

3 5 ? ( , ? ?) , 4 12 3 故存在实数 a ? ,使得过点 P(?2, 4) 的直线 l 垂直平分弦 AB 4
18.已知圆 C 经过 A

?3,2? 、 B ?1, 2? 两点,且圆心在直线 y ? 2 x 上. ?1, 2? 且与圆 C 相切,求直线 l 的方程.
2

(Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 经过点 B

【答案】 (Ⅰ)方法 1:设所求圆的方程为 ( x ? t )

? ( y ? 2t )2 ? r 2 .依题意,可得

?( 3 t 2 ) ? ( ? t 2 2 ?r 2 2 ) ? ? , ? 2 2 2 )2 ?( 1 t ) ? ( ? t 2 ?r ? ?
解得 ?

?t ? 2 ? ?r ? 5 ?
2

∴所求圆的方程为 ( x ? 2)

? ( y ? 4) 2 ? 5 .

方法 2:由已知,AB 的中垂线方程为: x ? 2 . 由?

? x ? 2 ?x ? 2 得? .所求圆的圆心为 C(2,4). ? y ? 2x ? y ? 4

CA ?

?2 ? 3?2 ? ?4 ? 2?2
2

? 5.

∴所求圆的方程为 ( x ? 2)

? ( y ? 4) 2 ? 5 .
1 . 2

(Ⅱ)直线 CB 的斜率为 2,所以所求切线的斜率为 -

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所求切线方程为: y ? 2 ? ?

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1 ( x ? 1) ,即 x ? 2 y ? 5 ? 0 2

19. 设平面直角坐标系 xoy 中,设二次函数

f ( x) ? x 2 ? 2x ? b( x ? R) 的图像与两坐标轴有三

个交点,经过这三个交点的圆记为 C .求: (1)求实数 b 的取值范围; (2)求圆 C 的方程; (3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论. 【答案】 (Ⅰ)令=0,得抛物线与 y 轴交点是(0,b) ; 令

f ? x ? ? x2 ? 2x ? b ? 0 ,由题意 b≠0 且Δ >0,解得 b<1 且 b≠0.
2

(Ⅱ)设所求圆的一般方程为 x
2

? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,
2

令 y =0 得 x ? Dx ? F ? 0 这与 x ? 2 x ? b =0 是同一个方程,故 D=2,F= b . 令=0 得 y
2

? Ey =0,此方程有一个根为 b,代入得出 E=―b―1.
2

所以圆 C 的方程为 x

? y 2 ? 2x ? (b ? 1) y ? b ? 0 .

(Ⅲ)圆 C 必过定点(0,1)和(-2,1) .证明如下:将(0,1)代入圆 C 的方程,得左边= 0 +1 +2×0-(b+1)+b=0,右边=0, 所以圆 C 必过定点(0,1) . 同理可证圆 C 必过定点(-2,1) . 20.已知直线 l : x ? m y ? 1 ? m ? 0 (m ? R) ,圆 C : x
2
2 2

? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 .

(Ⅰ)证明:对任意 m ? R ,直线 l 与圆 C 恒有两个公共点. (Ⅱ)过圆心 C 作 CM ? l 于点 M ,当 m 变化时,求点 M 的轨迹 ? 的方程. (Ⅲ)直线 l : x ? my ? 1 ? m ? 0 与点 M 的轨迹 ? 交于点 M , N ,与圆 C 交于点 A, B ,是否存

在 m 的值,使得

S ?CMN 1 ? ?若存在,试求出 m 的值;若不存在,请说明理由. S ?CAB 4

【答案】 (Ⅰ)方法 1:圆心 C 的坐标为 (?2,1) ,半径为 3 圆心 C 到直线 l 距离 d ?

| ?2 ? m ? 1 ? m | m2 ? 1

?

| 2m ? 1| m2 ? 1

4m2 ? 4m ? 1 ?5m2 ? 4m ? 8 2 ∴ d ?9 ? ?9 ? ? m2 ? 1 m2 ? 1
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2 36 ?5(m2 ? )2 ? 5 5 ?0 m2 ? 1

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2 ∴d ?9即d ? 3

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∴直线 l 与圆 C 恒有两个公共点 方法 2:联立方程组 ?

? x ? my ? 1 ? m ? 0
2 2 ?x ? y ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0

消去,得 (m

2

? 1) y 2 ? (2m2 ? 2m ? 2) y ? (m2 ? 2m ? 7) ? 0 2 ?
2 ?m 7)

? ? 22 ( m

2 ? 2 ? 2 ) ? m2 ( ? m2 ) ( ?m m 4 1

4(5 ? 8) ?

0

∴直线 l 与圆 C 恒有两个公共点 方法 3:将圆 C : x
2

? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 化成标准方程为 ( x ? 2) 2 ? - 1 2 ? 9 . (y )

由 x ? my ? 1 ? m ? 0 可得: x ? 1 ? m(1 ? y) ? 0 .

解?

? x ? 1 ? 0 ? x ? ?1 得? ,所以直线 l 过定点 N (?1,?1) . ?1 ? y ? 0 ? y ? ?1

因为 N 在圆 C 内,所以直线 l 与圆 C 恒有两个公共点. (Ⅱ)设 CN 的中点为 D ,由于 ?CMN ? 90 °, ∴ | DM |?

1 | CN | 2

∴ M 点的轨迹 ? 为以 CN 为直径的圆.

3 CN 中点 D 的坐标为 (- ,) , CN ? 5 . 0 2 3 2 2 ∴所以轨迹 ? 的方程为 ( x ? ) ? y ? 5 . 2
(Ⅲ)假设存在 m 的值,使得 如图所示,有

S ?CMN 1 ? . S ?CAB 4

MN 1 MN 1 S ?CMN 1 ? ? ? , ? ? 2 MB 4 MB 2 S ?CAB 4
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又 MB ? 9 ? d , MN
2 2 2

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? 5?d2,

其中 d

?

? 2 ? m ?1? m 1 ? m2
2

?

2m ? 1 1 ? m2

为 C 到直线 l 的距离.

所以 9 ? d

? 4(5 ? d 2 ) ,化简得 m 2 ? 12m ? 8 ? 0 .解得 m ? ?6 ? 2 11 .
S ?CMN 1 ? 且 m ? ?6 ? 2 11 . S ?CAB 4

所以存在 m ,使得

21.已知半径为 5 的圆的圆心在轴上,圆心的横坐标是整数,且与 4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相切. (Ⅰ)求圆的方程; (Ⅱ)设直线 ax ? y ? 5 ? 0 (a ? 0) 与圆相交于 A, B 两点,求实数的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数,使得弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P(?2, 4) ,若存在, 求出实数的值;若不存在,请说明理由. 【答案】 (Ⅰ)设圆心为 M (m, 0) ( m ? Z ) .由于圆与直线 4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相切,且半径为

(Ⅲ)设符合条件的实数存在,由于,则直线 l 的斜率为 ?

1 a

1 l 的方程为 y ? ? ( x ? 2) ? 4 ,即 x ? ay ? 2 ? 4a ? 0 a
由于 l 垂直平分弦 AB,故圆心 M (1, 0) 必在 l 上, 所以 1 ? 0 ? 2 ? 4a ? 0 ,解得 a ?
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3 3 3 ? 5 ? 。由于 ? ? , ?? ? ,故存在实数 a ? 4 4 4 ? 12 ?

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使得过点 P(?2, 4) 的直线 l 垂直平分弦 AB 22.已知点 P(2, 0) 及圆 C : x
2

? y 2 ? 6x ? 4 y ? 4 ? 0 .

(1)若直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为 1,求直线 l 的方程; (2)设过点 P 的直线 l1 与圆 C 交于 M 、 N 两点,当 的方程; (3)设直线 ax ? y ? 1 ? 0 与圆 C 交于 A ,B 两点, 是否存在实数, 使得过点 P(2, 0) 的直线 l2 垂 直平分弦 AB ?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由. 【答案】 (1)设直线 l 的斜率为 k ( k 存在) , 则方程为 y ? 0 ? k ( x ? 2) . 即 kx ? y ? 2k ? 0 又圆 C 的圆心为 (3, ?2) ,半径 r ? 3 ,

MN ? 4 时,求以线段 MN 为直径的圆 Q



3k ? 2 ? 2k k ?1
2

3 ? 1 , 解得 k ? ? . 4

3 ( x ? 2) , 即 3x ? 4 y ? 6 ? 0 . 4 当 l 的斜率不存在时, l 的方程为 x ? 2 ,经验证 x ? 2 也满足条件.
所以直线方程为 y ? ? (2)由于

CP ? 5 ,而弦心距 d ? r 2 ? ( CP ? 5 .

MN 2

)2 ? 5 ,

所以 d ?

所以 P 恰为 MN 的中点. 故以 MN 为直径的圆 Q 的方程为 ( x ? 2)
2

? y2 ? 4 .

(3)把直线 y ? ax ? 1 .代入圆 C 的方程, 消去 y ,整理得

(a2 ? 1) x2 ? 6(a ?1) x ? 9 ? 0 .
由于直线 ax ? y ? 1 ? 0 交圆 C 于 A, B 两点, 故 ? ? 36(a ?1)
2

? 36(a2 ? 1) ? 0 ,

即 ?2a ? 0 ,解得 a ? 0 . 则实数的取值范围是 ( ??, 0) . 设符合条件的实数存在, 由于 l2 垂直平分弦
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AB ,故圆心 C (3, ? 2) 必在 l2 上.

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所以 l2 的斜率 kPC 所以 a ? 由于

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1 , kPC

? ?2 ,而 k AB ? a ? ?

1 . 2

1 ? (??, 0) ,故不存在实数,使得过点 P(2, 0) 的直线 l2 垂直平分弦 AB . 2

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