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中国东南地区数学奥林匹克第2届(2005)


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第二届中国东南地区数学奥林匹克
第一天(2005 年 7 月 10 日, 8:00-12:00 , 福州)
2 一、 (1)设 a ∈ R ,求证抛物线 y = x + (a + 2 )x ? 2a + 1 都经过一个定点,且顶点都落在一条抛

物线上. (2)若关于 x 的方程 x 2 + (a + 2 )x ? 2a + 1 = 0 有两个不等实根,求其较大根的取值范围. 二、如图,圆 O (圆心为 O )与直线 l 相离,作

OP ⊥ l , P 为垂足.设点 Q 是 l 上任意一点
(不与点 P 重合) ,过点 Q 作圆 O 的两条切

l

P

Q M N

A
线 QA 和 QB ,A 和 B 为切点,AB 与 OP 相

K
交 于 点 K . 过 点 P 作 PM ⊥ QB ,

o B

PN ⊥ QA , M 和 N 为垂足.
求证:直线 MN 平分线段 KP .

集合 M = { ,2,? ? ?,2n} . 求最小的正整数 k , 1 使得对于 M 的任何一个 k 元子集, 三、 n 是正整数, 设 其中必有 4 个互不相同的元素之和等于 4n + 1 . 四、试求满足 a + b + c = 2005 ,且 a ≤ b ≤ c 的所有三元正整数组 (a, b, c ) .
2 2 2

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第二届中国东南地区数学奥林匹克

第二天(2005 年 7 月 11 日, 8:00-12:00, 福州) 五、已知直线 l 与单位圆 S 相切于点 P ,点 A 与圆 S 在 l 的同侧,且 A 到 l 的距离为 h( h > 2) ,从 点 A 作 S 的两条切线,分别与 l 交于 B, C 两点. 求线段 PB 与线段 PC 的长度之乘积.

( 六、 将数集 A = {a1 , a 2 ,..., a n } 中所有元素的算术平均值记为 P ( A) , P ( A) =

a1 + a 2 + ... + a n ) . n

若 B 是 A 的非空子集,且 P ( B ) = P ( A) ,则称 B 是 A 的一个“均衡子集”. 试求数集 M = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 的所有“均衡子集”的个数.

七、 (1)讨论关于 x 的方程 | x + 1 | + | x + 2 | + | x + 3 |= a 的根的个数. (2)设 a1 , a 2 ,..., a n 为等差数列,且

a1 + a 2 + ? ? ? + a n = a1 + 1 + a 2 + 1 + ? ? ? + a n + 1 = a1 ? 2 + a 2 ? 2 + ? ? ? + a n ? 2 = 507
求项数 n 的最大值. 八、设 0 < α , β , γ <

π
2

,且 sin 3 α + sin 3

β + sin 3 γ = 1 ,

求证: tan α + tan β + tan γ ≥
2 2 2

3 3 . 2

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第二届中国东南地区数学奥林匹克答案
2 一、 (1)设 a ∈ R ,求证抛物线 y = x + (a + 2 )x ? 2a + 1 都经过一个定点,且顶点都落在一条抛

物线上. (2)若关于 x 的方程 x 2 + (a + 2 )x ? 2a + 1 = 0 有两个不等实根,求其较大根的取值范围.

解: (1) 令 f a ( x ) = x + (a + 2) x ? 2a + 1 = x + 2x + 1 + a ( x ? 2),
2 2

因此抛物线过定点(2,9). 该抛物线的顶点坐标为

x=?

a+2 , 2 4(1 ? 2a ) ? (a + 2) 2 ? a 2 ? 12a y= = 4 4 y = ? x 2 + 4x + 5 .

消去 a 得 (2)

f a ( x ) = 0 的大根为

? (a + 2) + (a + 2) 2 ? 4(1 ? 2a ) ? (a + 2) + a 2 + 12a ? (a + 2) + (a + 6) 2 ? 36 x= = = 2 2 2
令 a+6=2k,则

x=

? (2k ? 4) + 4k 2 ?36 = k 2 ? 9 ? k + 2. 2

由判别式 ? > 0 得 k>3 或 k<-3. 当 k<-3 时, x>5; 当 k>3 时, x = 2 ?

9 k ?9 +k
2

, 可得-1<x<2.

综上得,方程的大根 x 的取值范围为

(?1,2) ∪ (5,+∞)

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二、如图,圆 O (圆心为 O )与直线 l 相离,作

OP ⊥ l , P 为垂足.设点 Q 是 l 上任意一点
,过点 Q 作圆 O 的两条切 (不与点 P 重合)

l

P

Q M N

A
线 QA 和 QB ,A 和 B 为切点,AB 与 OP 相

K
交 于 点 K . 过 点 P 作 PM ⊥ QB ,

o B

PN ⊥ QA , M 和 N 为垂足.
求证:直线 MN 平分线段 KP .

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三、设 n 是正整数,集合 M = { ,2,? ? ?,2n} . 求最小的正整数 k ,使得对于 M 的任何一个 k 元 1 子集,其中必有 4 个互不相同的元素之和等于 4n + 1 .

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四、试求满足 a + b + c = 2005 ,且 a ≤ b ≤ c 的所有三元正整数组 (a, b, c ) .
2 2 2

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第二届中国东南地区数学奥林匹克

第二天(2005 年 7 月 11 日, 8:00-12:00, 福州) 五、已知直线 l 与单位圆 S 相切于点 P ,点 A 与圆 S 在 l 的同侧,且 A 到 l 的距离为 h( h > 2) ,从 点 A 作 S 的两条切线,分别与 l 交于 B, C 两点. 求线段 PB 与线段 PC 的长度之乘积.

解:设 PB、PC 的长度分别为 p、q,设 ∠ABP = β , ∠ACP = γ ,设 AC 与 S 的切点为 E,记圆心 为 O,设 AE 的长度为 t,连接 AO、OE,则在直角三角形 AOE 中,我们有 ∠AOE = 因此 t = tan

1 ( β + γ ), 2

1 p+q . (β + γ ) = 2 pq ? 1
pq (p + q ) , pq ? 1

这样我们可得 ?ABC 的面积 S ?ABC 为 S ?ABC = ( p + q + t ) × 1 =

又因为 S ?ABC = 整理得 pq =

1 1 pq (p + q ) × h , 所以可得 h = 2 2 pq ? 1

h . h?2

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六、 将数集 A = {a1 , a 2 ,..., a n } 中所有元素的算术平均值记为 P ( A) , P ( A) = (

a1 + a 2 + ... + a n ) . n

若 B 是 A 的非空子集,且 P ( B ) = P ( A) ,则称 B 是 A 的一个“均衡子集”. 试求数集 M = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 的所有“均衡子集”的个数. 解: 由于 P (M) 令 M’={x-5 | x ∈ M}={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}, 则 P(M’)=0, 依照此平移关系, =5, M 和 M’的均衡子集可一一对应。 用 f(k)表示 M’的 k 元均衡子集的个数, 显然有 f(9)=1, f(1)=1 (M’ 的 9 元均衡子集只有 M’,一元均衡子集只有{0}). M’的二元均衡子集共四个,为 B i = {?i, i}, i = 1,2,3,4 , 因此 f(2)=4. M’的三元均衡子集有两种情况: (1)含有元素 0 的为 B i ∪ {0} = {?2,0, i}, i = 1,2,3,4 , 共四个; (2) 不含元素 0 的, 由于等式 3=1+2,4=1+3 可表示为-3+1+2=0, 3-1-2=0 以及-4+1+3=0, 4-1-3=0 得到 4 个均衡子集{-3,1,2},{3,-1,-2},{-4,1,3},{4,-1,-3},因此 f(3)=4+4=8. M’的四元均衡子集有三种情况: (1)每两个二元均衡子集之并: B i ∪ B j ,1 ≤ i < j ≤ 4 , 共 6 个集; (2)不含元素 0 的三元均衡子集与{0}的并集,共 4 个集; (3)以上两种情况之外者,由于等式 1+4=2+3 可表为-1-4+2+3=0 以及 1+4-2-3=0 得 2 个均衡 子集{-1,-4,2,3}与{1,4,-2,-3},因此 f(4)=6+4+2=12. 又注意到,除 M’本身外,若 B’是 M’的均衡子集,当且仅当其补集 C M ' B' 也是 M’的均衡子 集,二者一一对应. 因此 f(9-k)=f(k) ,k=1,2,3,4. 从而 M’的均衡子集个数为 即 M 的均衡子集有 51 个.

∑ f (k ) = f (9) + 2∑ f (k) = 1 + 2(1 + 4 + 8 + 12) = 51 .
k =1 k =1

9

4

-9-

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七、 (1)讨论关于 x 的方程 | x + 1 | + | x + 2 | + | x + 3 |= a 的根的个数. (2)设 a1 , a 2 ,..., a n 为等差数列,且

a1 + a 2 + ? ? ? + a n = a1 + 1 + a 2 + 1 + ? ? ? + a n + 1 = a1 ? 2 + a 2 ? 2 + ? ? ? + a n ? 2 = 507
求项数 n 的最大值.

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八、设 0 < α , β , γ <

π
2

,且 sin

3

α + sin 3 β + sin 3 γ = 1 ,
2

求证: tan α + tan β + tan γ ≥
2 2

3 3 . 2

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