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2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第六章第4课时课后达标检测


[基础达标] 一、选择题 1.(2012· 高考福建卷)下列不等式一定成立的是( ) 2 1 A.lg(x + )>lg x(x>0) 4 1 B.sin x+ ≥2(x≠kπ,k∈Z) sin x 2 C.x +1≥2|x|(x∈R) 1 D. 2 >1(x∈R) x +1 1 1 3 x2+ ?=lg x,故排除 A;取 x= π,则 sin x=-1,故排

除 解析:选 C.取 x= ,则 lg? 4 ? ? 2 2 1 B;取 x=0,则 2 =1,故排除 D. x +1 a2+b2 2.(2014· 河北教学质量检测)“ ≤-2”是“a>0 且 b<0”的( ) ab A.必要不充分条件 B.充要条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 ?a<0 ?a>0 a2+b2 a2+b2 ?a+b?2 解析:选 A. ≤-2? +2= ≤0?ab<0?? 或? . ab ab ab ?b>0 ?b<0 1 1 3.(2014· 江南十校联考)已知 a>0,b>0,a,b 的等比中项是 1,且 m=b+ ,n=a+ , a b 则 m+n 的最小值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 1 1 解析:选 B.由已知得 ab=1,m+n=a+b+ + =2(a+b)≥4 ab=4,当且仅当 a=b a b =1 时取等号,m+n 取得最小值 4. 4.(2013· 高考福建卷)若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是( ) A.[0,2] B.[-2,0] C.[-2,+∞) D.(-∞,-2] x y x+y x y 解析:选 D.∵2 +2 ≥2 2 ,2 +2 =1, + ∴2 2x y≤1, 1 + - ∴2x y≤ =2 2, 4 ∴x+y≤-2, 即(x+y)∈(-∞,-2]. 5.(2014· 浙江十校联考)若正数 x,y 满足 4x2+9y2+3xy=30,则 xy 的最大值是( ) 4 5 A. B. 3 3 5 C.2 D. 4 2 2 解析:选 C.由 x>0,y>0 知 4x +9y +3xy≥2×(2x)×(3y)+3xy(当且仅当 2x=3y 时等号 成立),∴12xy+3xy≤30,即 xy≤2. 二、填空题

2 6.若 0<x< ,则 y=2x-5x2 的最大值为________. 5 1 解析:y=2x-5x2=x(2-5x)= · 5x· (2-5x). 5 2 ∵0<x< ,∴5x<2,2-5x>0, 5 5x+2-5x 2 ∴5x(2-5x)≤( ) =1, 2 1 ∴y≤ ,当且仅当 5x=2-5x, 5 1 1 即 x= 时,ymax= . 5 5 1 答案: 5 7. 某公司购买一批机器投入生产, 据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单 位:万元)与机器运转时间 x(单位:年)的关系为 y=-x2+18x-25(x∈N*).则当每台机器运 转__________年时,年平均利润最大,最大值是__________万元. y 25 y 解析: 每台机器运转 x 年的年平均利润为 =18-(x+ ), 而 x>0, 故 ≤18-2 25=8, x x x 当且仅当 x=5 时,年平均利润最大,最大值为 8 万元. 答案:5 8 p 8.已知函数 f(x)=x+ (p 为常数,且 p>0),若 f(x)在(1,+∞)上的最小值为 4,则 x-1 实数 p 的值为________. p 解析: 由题意得 x-1>0, f(x)=x-1+ +1≥2 p+1, 当且仅当 x= p+1 时取等号, x-1 9 因为 f(x)在(1,+∞)上的最小值为 4,所以 2 p+1=4,解得 p= . 4 9 答案: 4 三、解答题 1 1 9.设 a、b 均为正实数,求证: 2+ 2+ab≥2 2. a b 证明:由于 a、b 均为正实数, 1 1 1 1 2 所以 2+ 2≥2 ·= , a b a2 b2 ab 1 1 当且仅当 2= 2,即 a=b 时等号成立. a b 2 2 又因为 +ab≥2 · ab=2 2, ab ab 2 当且仅当 =ab 时等号成立, ab 1 1 2 所以 2+ 2+ab≥ +ab≥2 2, a b ab 1 1 = , a2 b2 当且仅当 2 =ab ab

? ? ?

4 即 a=b= 2时取等号. 3 8 10.(1)当 x< 时,求函数 y=x+ 的最大值; 2 2x-3 (2)设 0<x<2,求函数 y= x?4-2x?的最大值.

1 8 3 解:(1)y= (2x-3)+ + 2 2x-3 2 8 ? 3 ?3-2x =-? 2 + ?+ . 3-2x? 2 ? 3 当 x< 时,有 3-2x>0, 2 3-2x 3-2x 8 8 ∴ + ≥2 · =4, 2 2 3-2x 3-2x 3-2x 8 1 当且仅当 = ,即 x=- 时取等号. 2 2 3-2x 3 5 5 于是 y≤-4+ =- ,故函数的最大值为- . 2 2 2 (2)∵0<x<2, ∴2-x>0, x+2-x ∴y= x?4-2x?= 2· x?2-x?≤ 2· = 2, 2 当且仅当 x=2-x,即 x=1 时取等号, ∴当 x=1 时,函数 y= x?4-2x?的最大值为 2. [能力提升] 一、选择题 1 1 k 1.设 a>0,b>0,且不等式 + + ≥0 恒成立,则实数 k 的最小值等于( ) a b a+b A.0 B.4 C.-4 D.-2 ?a+b?2 ?a+b?2 b a 1 1 k 解析: 选 C.由 + + ≥0 得 k≥- , 而 = + +2≥4(a=b 时取等号), a b a+b ab ab a b 2 2 ?a+b? ?a+b? 所以- ≤-4,因此要使 k≥- 恒成立,应有 k≥-4,即实数 k 的最小值等于 ab ab -4. 1 2. (2014· 浙江嘉兴调研)已知正实数 a, b 满足 a+2b=1, 则 a2+4b2+ 的最小值为( ) ab 7 A. B.4 2 161 17 C. D. 36 2 1 1 解析:选 D.因为 a>0,b>0,1=a+2b≥2 2ab,所以 ab≤ ,当且仅当 a=2b= 时取等 8 2 1? 1 1 1 1 号. 又因为 a2+4b2+ ≥2a· (2b)+ =4ab+ , 令 t=ab, 所以 f(t)=4t+ , 因为 f(t)在? ?0,8? ab ab ab t 1? 17 1 上单调递减,所以 f(t)min=f? ?8?= 2 ,此时 a=2b=2,故选 D. 二、填空题 3.规定记号“?”表示一种运算,即 a?b= ab+a+b(a、b 为正实数).若 1?k=3,则 k?x k 的值为________,此时函数 f(x)= 的最小值为________. x 解析:1?k= k+1+k=3,即 k+ k-2=0, ∴ k=1 或 k=-2(舍去). ∴k=1. 1?x x+x+1 1 f(x)= = =1+ x+ ≥1+2=3, x x x

当且仅当 x= 答案:1 3

1 ,即 x=1 时等号成立. x

4 4.设 a≥b>0,a+b≤2 2,(a-b)2= ,则 log(a-1)(b+1)=________. ab 4 解析:(a+b)2=(a-b)2+4ab= +4ab≥8,① ab ∴a+b≥2 2.又 a+b≤2 2,∴a+b=2 2,② 由①中等号成立条件得 ab=1,③ 联立②、③得 a= 2+1,b= 2-1,log(a-1)(b+1)=1. 答案:1 三、解答题 1 9 5.正数 x,y 满足 + =1. x y (1)求 xy 的最小值; (2)求 x+2y 的最小值. 1 9 19 1 9 解:(1)由 1= + ≥2 ·,得 xy≥36,当且仅当 = ,即 y=9x=18 时取等号,故 x y xy x y xy 的最小值为 36. 1 9? 2y 9x 2y 9x (2)由题意可得 x+2y=(x+2y)? =19+6 2,当且仅 ?x+y?=19+ x + y ≥19+2 x · y 2y 9x 当 = ,即 9x2=2y2 时取等号,故 x+2y 的最小值为 19+6 2. x y 6.(选做题)某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉 6 吨,每吨面粉的价格为 1 800 元,面粉的保管等其他费用为平均每吨每天 3 元,购买面粉每次需支付运费 900 元. (1)求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少? (2)某提供面粉的公司规定:当一次购买面粉不少于 210 吨时,其价格可享受 9 折优惠, 问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由. 解:(1)设该厂应每隔 x 天购买一次面粉,其购买量为 6x 吨, 由题意可知,面粉的保管等其他费用为 3[6x+6(x-1)+6(x-2)+?+6×1]=9x(x+1). 设平均每天所支付的总费用为 y1 元, [9x?x+1?+900] 则 y1= +1 800×6 x 900 = +9x+10 809 x 900 ≥2 · 9x+10 809=10 989, x 900 当且仅当 9x= ,即 x=10 时取等号. x 即该厂应每隔 10 天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少. (2)因为不少于 210 吨,每天用面粉 6 吨,所以至少每隔 35 天购买一次面粉. 设该厂利用此优惠条件后,每隔 x(x≥35)天购买一次面粉,平均每天支付的总费用为 y2 元, 1 则 y2= [9x(x+1)+900]+6×1 800×0.90 x 900 = +9x+9 729(x≥35). x 100 令 f(x)=x+ (x≥35),x2>x1≥35, x 100? ? 100? 则 f(x1)-f(x2)=? ?x1+ x1 ?-?x2+ x2 ?

?x2-x1??100-x1x2? x1x2 ∵x2>x1≥35, ∴x2-x1>0,x1x2>0,100-x1x2<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2), 100 即 f(x)=x+ ,当 x≥35 时为增函数, x ∴当 x=35 时,f(x)有最小值,此时 y2<10 989. ∴该厂应接受此优惠条件. =


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